数学:2[1].4《正态分布》PPT课件(新人教A版选修2-3)_图文


新课标人教版课件系列

《高中数学》
选修2-3 选修

2.4《正态分布》

教学目标
? (1)通过实际问题,借助直观(如实际问题 的直方图),了解什么是正态分布曲线和正态 分布; ? (2)认识正态分布曲线的特点及曲线所表示 的意义; ? (3)会查标准正态分布表,求满足标准正态 分布的随机变量在某一个范围内的概率. ? 教学重点,难点 教学重点, ? (1) 认识正态分布曲线的特点及曲线所表示 的意义; ? (2) 求满足标准正态分布的随机变量在某一 个范围内的概率

引入
正态分布在统计学中是很重要的分布。 正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知 离散型随机变量最多取可列个不同值, 道,离散型随机变量最多取可列个不同值,它等于 某一特定实数的概率可能大于0, 某一特定实数的概率可能大于 ,人们感兴趣的是 它取某些特定值的概率,即感兴趣的是其分布列; 它取某些特定值的概率,即感兴趣的是其分布列; 连续型随机变量可能取某个区间上的任何值, 连续型随机变量可能取某个区间上的任何值,它等 于任何一个实数的概率都为0, 于任何一个实数的概率都为 ,所以通常感兴趣的 是它落在某个区间的概率。 是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率 分布规律用分布列描述, 分布规律用分布列描述,而连续型随机变量的概率 分布规律用密度函数(曲线)描述。 分布规律用密度函数(曲线)描述。

复习
100个产品尺寸的频率分布直方图 个产品尺寸的频率分布直方图 个产品尺寸的
频率 组距

产品 尺寸 (mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535

复习
200个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距

产品 尺寸 (mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535

复习
样本容量增大时 频率分布直方图
频率 组距

总体密度曲 线

产品 尺寸 (mm)

复习

总体密度曲 线

产品 尺寸 (mm)

高尔顿板

11

Y

总体密度曲 线

0

X

导入
产品尺寸的总体密度曲线 就是或近似地是以下函数的图象: 就是或近似地是以下函数的图象:

1 、正态曲线的定义: 正态曲线的定义: 函数

1 ? f (x) = e 2πσ

( x??)2 2σ 2

x ∈(?∞,+∞)

式中的实数?、 是参数, 式中的实数 、σ(σ>0)是参数,分别表示 是参数 总体的平均数与标准差, 的图象称为正态曲线 总体的平均数与标准差,称f( x)的图象称为正态曲线 的图象称为

Y

a

b

c

d 平均数

X

若用X表示落下的小球第 次与高尔顿板底部接触时 若用 表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时 表示落下的小球第 的坐标,则 是一个随机变量 落在区间(a,b]的概率为 是一个随机变量.X落在区间 的概率为: 的坐标 则X是一个随机变量 落在区间 的概率为

P (a < X ≤ b) ≈ ∫ ? ? ,σ ( x)dx
a

b

2.正态分布的定义 正态分布的定义: 正态分布的定义
随机变量X满足 如果对于任何实数 a<b,随机变量 满足 随机变量 满足:

P(a < X ≤ b) ≈ ∫ ? ? ,σ ( x)dx
a

b

则称为X 的正态分布 正态分布由参数?、σ唯一确定. 则称为 的正态分布. 正态分布记作N( ?,σ2).其图象称为正态曲线 其图象称为正态曲线 正态曲线.

如果随机变量X服从正态分布, 如果随机变量 服从正态分布, 服从正态分布 则记作 X~ N( ?,σ2) ( ,

在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服 从正态分布: 从正态分布:

在生产中,在正常生产条件下各种产品的质量指标; 在生产中,在正常生产条件下各种产品的质量指标; 在测量中,测量结果; 在测量中,测量结果; 在生物学中,同一群体的某一特征; ; 在生物学中,同一群体的某一特征;……; 在气象中,某地每年七月份的平均气温、 在气象中,某地每年七月份的平均气温、平均湿度
以及降雨量等,水文中的水位; 以及降雨量等,水文中的水位;

总之,正态分布广泛存在于自然界、 总之,正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。 产及科学技术的许多领域中。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。

? 的意义
总体平均数反映总体随机变量的 总体平均数反映总体随机变量的 平均水平

ξ= ?

产品 尺寸 (mm)

x3

x4

x1

平均数

x2

σ的意义
总体平均数反映总体随机变量的 总体平均数反映总体随机变量的 平均水平 总体标准差反映总体随机变量的 总体标准差反映总体随机变量的 集中与分散的程度

σ1 σ2
平均数
产品 尺寸 (mm)

正态总体的函数表示式 正态总体的函数表示式 ? 1 f ( x) = e 2π σ
当?= 0,σ=1时

( x?? )2 2σ 2

x ∈ (?∞,+∞)
y

?=0

标准正态总体的函数表示式 标准正态总体的函数表示式

σ=1
x2

1 ?2 f (x) = e x ∈(?∞,+∞) 2π

-3 -2 -1 0

1 2 3 x

标准正态曲线

正态总体的函数表示式 正态总体的函数表示式
? 1 f (x) = e 2πσ ( x??)2 2σ 2

x ∈(?∞,+∞)
y

(1)当x = ? 时,函数值为最大.

1 (0, ] (2)f (x) 的值域为 2πσ
(3) f (x) 的图象关于

?=0 σ=1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

x =?

对称.

(-∞, (- ,?] 时f (x)为增函数. (4)当 x∈ ( , ) 当 x∈ ?,+∞) 时f (x)为减函数.

标准正态曲线

例1、下列函数是正态密度函数的是( B ) 、下列函数是正态密度函数的是(
1 e A. f ( x ) = 2πσ
B.
( x ? ? )2 2σ 2

, ? , σ (σ > 0)都是实数

2π f ( x) = e 2π

x2 ? 2

C.

1 f ( x) = e 2 2π

( x?1) 2 x? ? 4

D.

1 f ( x) = e 2π

x2 2

例2、标准正态总体的函数为 、

1 f ( x) = e 2π

x2 ? 2

, x ∈ (?∞, +∞).

是偶函数; (1)证明 )证明f(x)是偶函数; 是偶函数 的最大值; (2)求f(x)的最大值; ) 的最大值 的增减性。 (3)利用指数函数的性质说明 的增减性。 )利用指数函数的性质说明f(x)的增减性

练习: 练习:
1、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函 、 的解析式。 的解析式。
1 数的最大值等于 ,求该正态分布的概率密度函数 4 2π
y

2、如图,是一个正态曲线, 、如图,是一个正态曲线, 试根据图象写出其正态分布 的概率密度函数的解析式, 的概率密度函数的解析式, 求出总体随机变量的期望和 方差。 方差。

1 2 π

5 10 15 20 25 30 35 x

3、正态曲线的性质 、

??,σ ( x) =
y
?= -1 σ=0.5

1 2πσ

e

?

( x ? ? )2 2σ 2

, x ∈ (?∞, +∞)
y
?=1

y
?=0 σ=1

σ=2

-3 -2 -1 0

1 2

x

-3 -2 -1 0

1 2 3

x

-3 -2 -1 0

1

2 3

4x

具有两头低、中间高、左右对称的基本特征 具有两头低、中间高、左右对称的基本特征 两头低

3、正态曲线的性质

??,σ ( x) =
y ?= -1 σ=0.5

1

2πσ y

e

?

( x ? ? )2 2σ 2

, x ∈ (?∞, +∞)
y ?=1

?=0 σ=1 σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

-3 -2 -1 0

1 2

x

-3 -2 -1 0

1 2 3 x

轴的上方, 轴不相交. (1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交. 曲线在 轴的上方 轴不相交 它关于直线x=?对称 对称. (2)曲线是单峰的 它关于直线 )曲线是单峰的,它关于直线 对称 处达到峰值(最高点 (3)曲线在 )曲线在x=?处达到峰值 最高点 处达到峰值 最高点) 轴之间的面积为1 (4)曲线与 轴之间的面积为 )曲线与x轴之间的面积为
1 σ 2π

方差相等、 方差相等、均数不等的正态分布图示
?=0 ?= -1 ?= 1

σ=0.5

固定, 若σ 固定 随 ?值 的变化而 沿x轴平 轴平 移, 故 ? 称为位置 参数; 参数;

?3

?1

?2

均数相等、方差不等的正态分布图示 均数相等、
?=0
σ=0.5

σ=1

固定, 大时 大时, 若 ?固定 σ 曲线矮而胖; 曲线矮而胖; 小时, σ 小时 曲线瘦 而高, 而高 故称 σ 为 形状参数。 形状参数。
σ=2

?

3、正态曲线的性质
y X=?

??,σ ( x) =

1 2πσ

e

?

( x ? ? )2 2σ 2

σ=0.5

σ=1 σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 3 x

曲线上升;当 曲线下降.并且当曲线 (5)当 x<?时,曲线上升 当x>?时,曲线下降 并且当曲线 ) 时 曲线上升 时 曲线下降 向左、右两边无限延伸时,以 轴为渐近线 向它无限靠近. 轴为渐近线,向它无限靠近 向左、右两边无限延伸时 以x轴为渐近线 向它无限靠近 (6)当?一定时,曲线的形状由 确定 . 当 一定时 曲线的形状由σ确定 一定时, σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散; 越大, 越大 曲线越“矮胖” 表示总体的分布越分散; σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中 越小, 越小 曲线越“瘦高” 表示总体的分布越集中.

沿着横轴方向向右移动2个单 例3、把一个正态曲线 沿着横轴方向向右移动 个单 、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动 得到新的一条曲线b。 位,得到新的一条曲线 。下列说法中不正确的是 ( C) A.曲线 仍然是正态曲线; 曲线b仍然是正态曲线 曲线 仍然是正态曲线; B.曲线 和曲线 的最高点的纵坐标相等 曲线a和曲线 的最高点的纵坐标相等; 曲线 和曲线b的最高点的纵坐标相等 C.以曲线 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线 为 以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线 以曲线 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为 概率密度曲线的总体的期望大2; 概率密度曲线的总体的期望大 D.以曲线 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 为 以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 以曲线 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为 概率密度曲线的总体的方差大2。 概率密度曲线的总体的方差大 。

正态曲线下的面积规律
? X轴与正态曲线所夹面积恒等于 。 轴与正态曲线所夹面积恒等于1 轴与正态曲线所夹面积恒等于 ? 对称区域面积相等。 对称区域面积相等。

S(-∞,-X)

S(X,∞)=S(-∞,-X)

?

正态曲线下的面积规律
? 对称区域面积相等。 对称区域面积相等。

S(-x1, -x2)

S(x1,x2)=S(-x2,-x1)

-x1 -x2

?

x2 x1

4、特殊区间的概率: 、特殊区间的概率
若X~N

则对于任何实数a>0,概率 ( ? , σ 2 ),则对于任何实数 概率 则对于任何实数

P(? ? a < ξ ≤? + a) =

?+a
?a

为如图中的阴影部分的面积, 而言, 为如图中的阴影部分的面积,对于固定的 ? 和 σ 而言,该面 的减少而变大。 越小, 积随着 σ 的减少而变大。这说明 σ 越小 落在区间 ( ? ? a, ? + a ] 的概率越大, 周围概率越大。 的概率越大,即X集中在 ? 周围概率越大。 集中在

∫ ?? σ ( x)dx ?
,

特别地有 x=?

P( ? ? σ < X ≤ ? + σ ) = 0.6826, P( ? ? 2σ < X ≤ ? + 2σ ) = 0.9544, P( ? ? 3σ < X ≤ ? + 3σ ) = 0.9974.
?+a

?-a

P( ? ? σ < X ≤ ? + σ ) = 0.6826, P( ? ? 2σ < X ≤ ? + 2σ ) = 0.9544, P( ? ? 3σ < X ≤ ? + 3σ ) = 0.9974.

我们从上图看到,正态总体在 (? ? 2σ , ? + 2σ ) 我们从上图看到, 以外取值的概率只有4.6%, %,在 以外取值的概率只有 %,在(? ? 3σ , ? + 3σ )以外 取值的概率只有0.3 取值的概率只有 %。 当 a = 3σ 时正态总体的取值几乎总取值于区间 由于这些概率值很小(一般不超过5 %在实 由于这些概率值很小(一般不超过 . ), 之内, 其他区间取值几乎不可能. ( ? ? 3σ , ? + 3σ ) 之内, 其他区间取值几乎不可能 通常称这些情况发生为小概率事件 则 小概率事件。 通常称这些情况发生为小概率事件。. 运用中 考虑这 区间, 际运用中就只考虑这个区间,称为 3σ 原

例4、在某次数学考试中,考生的成绩 ξ 服从一个 、在某次数学考试中, 正态分布, ξ 正态分布,即 ~N(90,100). (1)试求考试成绩 ) 多少? 多少?

ξ 位于区间 位于区间(70,110)上的概率是 上的概率是

名考生, (2)若这次考试共有 )若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩 名考生 间的考生大约有多少人? 在(80,100)间的考生大约有多少人? 间的考生大约有多少人 练习: 、已知一次考试共有60名同学参加 名同学参加, 练习:1、已知一次考试共有 名同学参加,考生的 (100,52 ),据此估计,大约应有 人的分 成绩X~ 据此估计,大约应有57人的分 成绩 数在下列哪个区间内?( 数在下列哪个区间内?( C ) A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]

2、已知X~N (0,1),则X在区间 (?∞, ?2) 内取值的概率 、已知 , 在区间 等于( 等于( D ) A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 0.5 , 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X ≤ 0)= 、设离散型随机变量 则

P (?2 < X < 2) =

0.9544

.

4、若X~N(5,1),求P(6<X<7). 、 求


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