高二新课程数学《3.2一元二次不等式及其解法》教案1(新人教A版)必修五


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【学习过程】 一、引入 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型: (互联网的收费问题) 上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分,因特网服务公司 (ISP)的任务就是负责将用户的计算机接入因特网,同时收取一定的费用。 某同学要把自己的计算机接入因特网,现有两家 ISP 公司可供选择。公 司 A 每小时收费 1.5 元(不足 1 小时按 1 小时计算) ;公司 B 的收费原则如 下图所示,即在用户上网的第 1 小时内(含恰好 1 小时,下同)收费 1.7 元, 第 2 小时内收费 1.6 元,以后每小时减少 0.1 元(若用户一次上网时间超过 17 小时,按 17 小时计算) 。 一般来说,一次上网时间不会超过 17 小时,所以,不妨设一次上网时间 总小于 17 小时。那么,一次上网在多长时间以内能够保证选择公司 A 的上 网费用小于或等于选择公司 B 所需费用? 分析问题:假设一次上网 x 小时,则公司 A 收取的费用为 1.5x(元) ,公司 B

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x(35 ? x) (元) ,如果能够保证选择公司 A 比选择公司 B 所 20 x(35 ? x) 需费用少,则 ? 1.5 x ,整理得:一元二次不等式模型: 20
收取的费用为

x 2 ? 5 x ? 0 ………… ①
二、新课学习 1、一元二次不等式的定义 象 x ? 5 x ? 0 这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2
2

的不等式,称为一元二次不等式。 2、探究一元二次不等式 x ? 5 x ? 0 的解集
2

怎样求不等式 x ? 5 x ? 0 的解集呢?
2

探究: (1)二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道:二次方程的有两个实数根: x1 ? 0, x2 ? 5 ,二次函数有两个 零点: x1 ? 0, x2 ? 5 。 于是,我们得到:二次方程的根就是二次函数 的零点。 (2)观察图象,获得解集 画出二次函数 y ? x 2 ? 5 x 的图象,如图,观察 函数图象,可知: 当 x < 0,或 x > 5 时,函数图象位于 x 轴上方,此 时,y > 0,即 x ? 5 x ? 0 ;
2

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当 0 < x < 5 时,函数图象位于 x 轴下方,此时,y < 0,即 x ? 5 x ? 0 ;
2

所以,不等式 x ? 5 x ? 0 的解集是 {x | 0 ? x ? 5} ,从而解决了本节开
2

始时提出的问题。 (3)探究一般的一元二次不等式的解法 任意的一元二次不等式, 总可以化为以下两种形式: (a > ax ? bx ? c > 0
2

0)或 ax ? bx ? c < 0(a > 0) ,怎样确定一元二次不等式 ax ? bx ? c >0 与
2 2

ax 2 ? bx ? c <0 的解集呢?
组织讨论: 从上面的例子出发,综合学生的意见,可以归纳出确定一元二次不等式 的解集,关键要考虑以下两点: (1)抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴的相关位置的情况,也就是一元二
2

次方程 ax ? bx ? c = 0 的根的情况;
2

(2)抛物线 y ? ax ? bx ? c 的开口方向,也就是 a 的符号。
2

总结讨论结果: (1)抛物线 y ? ax ? bx ? c (a > 0)与 x 轴的相关位置,分为三种
2

情况,这可以由一元二次方程 ax ? bx ? c = 0 的判别式 ? ? b ? 4ac 三种
2 2

取值情况(Δ > 0,Δ = 0,Δ < 0)来确定,因此,要分三种情况讨论; (2)a < 0 可以转化为 a > 0。 一元二次不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0或ax 2 ? bx ? c ? 0?a ? 0 ? 的解集: 设相应的一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0?a ? 0 ? 的两根为

x1、x2 且 x1 ? x2 , ? ? b 2 ? 4ac ,则不等式的解的各种情况如下表:(让
学生独立完成课本第 86 页的表格)

??0
二次函数

??0

??0

y ? ax 2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

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一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
三、应用示例

?x x ? x 或x ? x ? ? x x ? ?
1 2

? ?

b? ? 2a ?

R

?x x
2

1

? x ?x2?

?

?

例 1、求不等式 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的解集。 解:因为 ? ? 0 , 方程 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 的解是 x1 ? x 2 ? 不等式的解集是 ? x x ?

1 ,所以,原 2

? ?

1? ?。 2?

例 2、解不等式 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 。
2

解:整理,得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,因为 ? ? 0 , 方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 无实数
2

解,所以不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是 ? ,从而,原不等式的解集是 ? 。
2

小结:解一元二次不等式的步骤: (数轴标根法) (1)化简:将不等式化成标准形式(右边为 0) ; (2)化正:将最高次的系数化为正(如 1) ; (3)求根:计算判别式的值,若值为正,则求出相应方程的两根; (4)标根:将两根在数轴上依次标出; (5)结论:记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集。 六、知识拓展 下面用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来: (见教材第 86 页) 具 有 一 般 形 式 ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0) 对 应 的 一 元 二 次 方 程
2

ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的求根程序:
input “a,b,c=”;a,b,c d=b*b-4*a*c p=-b/(2*a) q=sqr(abs(d))/(2*a) if d<0 then print “the result is R”

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else x1=p-q x2=p+q if x1=x2 then print “the result is {x/x<> “;p,”}” else print “the result is {x/x> “;x2, “or x<”;x1,”}” endif endif end 七、课堂练习 教材 80 页练习 1,2. 八、小结 解一元二次不等式的步骤: ① 将二次项系数化为“+” :A = ax ? bx ? c > 0(或<0) (a > 0)
2

② 计算判别式 ? ,分析不等式的解的情况: ⅰ. ? >0 时,求根 x1 < x 2 , ?

?若A ? 0,则x ? x1或 ? x 2; ?若A ? 0,则x1 ? x ? x 2 .

?若A ? 0,则x ? x0的一切实数; ? ⅱ. ? =0 时,求根 x1 = x 2 = x 0 , ?若A ? 0,则x ? ?; ?若A ? 0,则x ? x . 0 ?
ⅲ. ? <0 时,方程无解, ? ③ 写出解集。 六、作业布置: 同步学案 3.2(1)

?若A ? 0,则x ? R; ?若A ? 0,则x ? ? .

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