2018-2019学年数学人教A版选修2-1优化练习:第二章+2.2+2.2.2+第2课时+椭圆方程及性质的应用+Word版含解析


2018-2019 学年[课时作业] [A 组 基础巩固] ) x2 y2 1.直线 y=kx+1 与椭圆 5 +m=1 总有公共点,则 m 的取值范围是( A.m>1 C.0<m<5 或 m≠1 解析:∵直线 y=kx+1 恒过(0,1)点, 若 5>m,则 m≥1,若 5<m,则必有公共点, ∴m≥1 且 m≠5. 答案:D B.m≥1 或 0<m<1 D.m≥1 且 m≠5 x2 y2 3 2. 椭圆a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 3 ,若直线 y=kx 与其一个交点的横坐标为 b,则 k 的值为( A.± 1 ) 3 C.± 3 D.± 3 B.± 2 3 c 3 3 1 解析:因为椭圆的离心率为 3 ,所以有a= 3 ,即 c= 3 a,c2=3a2=a2-b2, 所以 2 b2=3a2.当 x=b 时,交点的纵坐标为 y=kb,即交点为(b,kb), b2 k2b2 2 1 3 代入椭圆方程a2+ b2 =1,即3+k2=1,k2=3,所以 k=± 3 ,选 C. 答案:C x2 y2 3.已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 → =2PB → ,则椭圆的离心率是( BF⊥x 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P.若AP 3 A. 2 2 B. 2 1 C.3 1 D.2 ) b2? ? 解析:由题意知:F(-c,0),A(a,0),B?-c,±a ?. ? ? AP a ∵BF⊥x 轴,∴PB=c . → =2PB → ,∴a=2 即 e=c =1. 又∵AP c a 2 答案:D y 4.若点(x,y)在椭圆 4x2+y2=4 上,则 的最小值为( x-2 A.1 2 C.-3 3 解析:由题意知 B.-1 D.以上都不对 y 的几何意义是椭圆上的点(x,y)与点(2,0)两点连线的斜率, x-2 y x-2 =k 最小. ) ∴当直线 y=k(x-2)与椭圆相切(切点在 x 轴上方)时, ? ?y=k?x-2? 由? 2 2 ? ?4x +y =4 整理得(4+k2)x2-4k2x2+4k2-4=0. 2 3 2 3 (k= 舍去)时,符 3 3 Δ=(-4k2)2-4(4+k2)(4k2-4)=16(4-3k2)=0,即 k=- 合题意. 答案:C x2 2 5.已知椭圆 C: 2 +y =1 的右焦点为 F,直线 l:x=2,点 A∈l,线段 AF 交椭 → =3FB → ,则|AF → |=( 圆 C 于点 B,若FA A. 2 B.2 C. 3 ) D.3 解析:设点 A(2,n),B(x0,y0). x2 由椭圆 C: 2 +y2=1 知 a2=2,b2=1, ∴c2=1,即 c=1.∴右焦点 F(1,0). → =3FB →, 由FA 得(1,n)=3(x0-1,y0). ∴1=3(x0-1)且 n=3y0. 4 1 ∴x0=3,y0=3n. x2 2 将 x0,y0 代入 2 +y =1,得 1 ?4?2 ?1 ?2 ? ? ? n? 2×?3? +?3 ? =1. 解得 n2=1, → ∴|AF|= 故选 A. 答案:A 6.如果椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形,焦 点在 x 轴上,且 a-c= 3,那么椭圆的方程是________. 解析:若短轴的端点与两焦点组成一个正三角形,则 a=2c, 又 a-c= 3, 故 c= 3,a=2 3, ∴b2=(2 3)2-3=9, x2 y2 椭圆的方程为12+ 9 =1. x2 y2 答案:12+ 9 =1 x2 7.设 P,Q 分别为圆 x +(y-6) =2 和椭圆10+y2=1 上的点,则 P,Q 两点间 2 2 ?2-1?2+n2= 1+1= 2. 的最大距离是________. 解析:如图所示,设以(0,6)为圆心,以 r 为半径的圆的方 x2 程为 x2+(y-6)2=r2(r>0),与椭圆方程10+y2=1 联立得 方程组,消掉 x2 得 9y2+12y+r2-46=0. 令 Δ=122-4×9(r2-46)=0,解得 r2=50, 即 r=5 2. 由题意易知 P,Q 两点间的最大距离为 r+ 2=6 2. 答案:6 2 x2 y2 → |=1, →· → 8. 已知动点 P(x, y)在椭圆25+16=1 上, 若 A 点坐标为(3,0), |AM 且PM AM → |的最小值是________. =0,则|PM 解析:易知点 A(3,0)是椭圆的右焦点. →· → =0, ∵PM AM → ⊥PM →. ∴AM → |2=|AP → |2-|AM → |2=|AP → |2-1, ∴|PM → | =2, ∵椭圆右顶点到右焦点 A 的距离最小,故|AP min → | = 3. ∴|PM min 答案: 3 9.已知椭圆的短轴长为 2 3,焦点坐标分别是(-1,0)和(1,0). (1)求这个椭圆的标准方程; (2)如果直线 y=x+m 与这个椭圆交于不同的两点,求 m 的取值范围. 解析:(1)∵2b=2 3,c=1, ∴b= 3,a2=b2+c2=4. x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 4 + 3 =1. ?y=x+m, (2)联立方程组?x2 y2 ? 4 + 3 =1, 消去 y 并整理得 7x2+8mx+4m2-12=0. x2 y2 若直线 y=x+m 与椭圆 4 + 3 =1 有两个不同的交点, 则有 Δ=(8m)2-28(4m2-12)>0,即 m2<7, 解得- 7<m< 7. x2 y2 10.过椭圆 5 + 4 =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点,求△OAB 的面积. 解析:椭圆的右焦点为 F(1,0), ∴lAB:y=2x-2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), ?y=2x-2, 由?x2 y2 ? 5 + 4

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