【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第十章 第四节二项式定理及其应用 理


第四节

二项式定理及其应用

1.能用计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题.

知识梳理 n * 1.二项式定理:(a+b) =__________________________(n∈N ). 其通项是:Tr+1=________________(r=0,1,2,?,n),亦可写成:Tr+1=Cna ? ? .其 a
r n

?b?r ? ?

中,Cn(r=0,1,2,?,n)叫做二项式系数,而系数则是字母前的常数. (a-b)n=________________________(n∈N*). n * 特别地:(1+x) =__________________________(n∈N ).

r

答案:

2.二项展开式系数的性质: (1)对称性:在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即 ____________________. (2)增减性与最大值: 在二项式展开式中, 二项式系数先增后减, 且在中间取得________ (Cr n )m ax = 值. 如果二项式的幂指数是偶数, 则中间一项的二项式系数最大, 即 n 为偶数时: C

n
2
n

;如果二项式的幂指数是奇数,则中间两项的二项式系数相等并且最大,即 n 为奇数时:

(Cr n )max

n+1 n = C n . 2 2 n n (3)所有二项式系数的和等于 2 ,即________________=2 (用赋值法可以证明). 0 2 1 3 n- 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等,即 Cn+Cn+?=Cn+Cn+?=2
= C

n-1

1

. 答案:

3.在使用二项展开式的通项公式 Tr + 1 =Cna b 时,要注意: (1)通项公式是表示第 r+1 项,而不是第 r 项. r (2)展开式中第 r+1 项的二项式系数 Cn与第 r+1 项的系数不同. (3)通项公式中含有 a,b,n,r,Tr + 1 五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以 求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中,常常遇到已知这五个元素中的若干个,求另
1

r n-r r

外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式,把问题归纳为解方程(或方程组).这里 必须注意 n 是正整数,r 是非负整数,且 r≤n. 4.证明组合恒等式常用赋值法. 基础自测 5 2 1.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知(1+ax)(1+x) 的展开式中 x 的系数为 5,则 a = ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 解析:由 x 的系数为 5 得 C5+aC5=5,解得 a=-1.故选 D. 答案:D 1 ?8 ? 2.? x+ ? 的展开式中常数项为( 2 x? ? 35 35 35 A. B. C. 16 8 4 ) D.105
2 2 1

(

解析:原式展开式的第 r+1 项为 Tr+1=C8( x)

r

8-r

·?

? 1 ?r ?1?r r 4-r ? =? ? C8x .令 4-r=0,则 ?2 x? ?2?

r=4.所以展开式中常数项为? ?4C4 .故选 B. 8= 2
答案:B

?1? ? ?

35 8

? 的展开式中,第 4 项与第 7 项的二项式系数相 2 x? 6 等,则展开式中 x 的系数为_______ _______.(用数字作答)
解析:由题意可得,Cn=Cn,解得 n=9. 1 ?9 ? 因为?x+ ? 的展开式的通项为 ? 2 x? ?1? x9-rx-r=?1?rCrx9-3r, Tr+1=? ?rCr 9 ? ? 9 2 ?2? 2 ?2? 3r 令 9- =6,解得 r=2. 2 ?1?2 2 此时的系数为? ? C9=9. ?2? 答案:9 4.若(x- 2) =a5x +a4x +a3x +a2x +a1x+a0, 则 a1+a2+a3+a4+a5=________(用数 字作答). 解析:令 x=1 得 a5+a4+a3+a2+a1+a0=-1;令 x=0,得 a0=-32.所以 a5+a4+a3 +a2+a1=31. 答案:31
5 5 4 3 2 3 6

3.(2013·揭阳一模)若二项式?x+

? ?

1 ?n

2

1.(2013·辽宁卷)使?3x+ A.4 B.5

? ?

? (n∈N )的展开式中含有常数项的最小的 n 为( x x?
*

1 ?n

)

C.6
r n-r

D.7 5 ? 1 ?r n-r r 所以 Tr+1=3 Cnxn- r, r=0,1,2, ?, ? ?, 2 ? x x?

解析: 展开式的通项公式 Tr+1=Cn(3x)

n.
5 5 令 n- r=0,n= r,故最小正整数 n=5.故选 B. 2 2 答案:B 2.(2012·湖北卷)设 a∈Z,且 0≤a<13,若 51 A.0 B.1 C.11 D.12
2 012 2 012 2 012

+a 能被 13 整除,则 a= (

)

解析: 51 +a=a+(13× 4-1) =a+(1-13×4) =a+1-C2 012(13×4)+C2 012 2 2 012 2 012 2 (13×4) - ?+C2 012 (13×4) ,显然当 a+1=13k,k∈Z,即 a=-1+13k,k∈Z 时,51 012 1 2 1 2 012 2 011 +a=13×4[-C2 012+C2 012(13×4) -?+C2 012(13×4) ]+13k, 能被 13 整除. 因为 a∈Z, 且 0≤a<13, 所以 a=12.故选 D. 答案:D 3.(2013·大纲全国卷)(1+x) (1+y) 的展开式中 x y 的系数是( A.56 B.84 C.112 D.168
8 2 2 4 2 8 4 2 2

2 012

1

2

)

解析: (1+x) 展开式中 x 的系数是 C8,(1+y) 的展开式中 y 的系数是 C4,根据多项 8 4 2 2 2 2 式乘法法则可得(1+x) (1+y) 展开式中 x y 的系数为 C8C4=28×6=168.故选 D. 答案:D

2

? 1?n 1.如果?x+ ? 展开式中,第 4 项与第 6 项的系数相等,则 n=________,展开式中的 ?
x?
常数项的值等于________. 答案:8 70 2.(2013·江门二模)(1+2x) 的展开式中 x 的系数等于 x 的系数的 4 倍,则 n 等于 ________. 解析:设(1+2x) 的展开式的通项公式为 Tr+1, r r r r r 则 Tr+1=Cn(2x) =2 ·Cn·x , 3 3 令 r=3 得展开式中 x 的系数为:8Cn, 2 2 令 r=2 得展开式中 x 的系数为 4Cn. 3 2 依题意,8Cn=4×4Cn, n n- n- n n- 即 =2× ,解得 n=8. 3×2×1 2 答案:8 3.已知展开式(x-1) =a0+a1x+?+a6x ,则 a0+a6=________.
6 6

n

3

2

n

3

解析:展开式的通项公式为 Tr+1=C6x 以 a0+a6=2. 答案:2

r 6-r

·(-1) ,r=6 时,a0=1;r=0 时,a6=1,所

r

4


相关文档

高考数学总复习 基础知识名师讲义 第十章 第四节二项式定理及其应用 理
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第十章 第四节二项式定理及其应用 理
【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第九章 第四节 用样本估计总体 理
【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第十一节函数模型及其应用 理
【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ ) 理
【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第四章 第三节平面向量的数量积 理
【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第三章 第七节正弦定理和余弦定理 理
【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第十章 第八节条件概率与事件的独立性 理
【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第八章 第八节空间向量的应用(一) 理
【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第一节不等关系与不等式 理
电脑版