函数的应用题一高三


函数的应用题(1)
一、 建构函数模型的应用性问题
1.某公司为帮助尚有 26.8 万元无息贷款没有偿还的残疾人商店,借出 20 万元将该商店改建成经营状况良好的某种消 费品专卖店,并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).已知该种消费品的进价为每件 40 元; 该店每月销售量 q(百件)与销售价 p(元/件)之间的关系用右图中的一条折线(实线)表示;职工每人每月工资 为 600 元,该店应交付的其它费用为每月 13200 元.
q 60

(Ⅰ)若当销售价 p 为 52 元/件时,该店正好收支平衡,求该 店的职工人数; (Ⅱ)若该店只安排 40 名职工,则该店最早可在几年后还清所 有债务,此时每件消费品的价格定为多少元?
40 58 81 p

24 1

2.某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品.根据经验知道,该厂生产这种仪器,次

? 1 ?1 ? x ? c, x ? N ? ? 品率 P 与日产量 x(件)之间大体满足关系: P ? ? 96 ? x . ? 其中c为小于96的正常数? ? ? 1 2 1 ? x ? c , x ? N ? ? ? ? x ? c, ? x ? N ? 96 ? x ? 3? ?? P ? 其中c为小于96的正常数? ? ?2 x ? c , x ? N ? ? ? 次品数 ?3
注:次品率 P

?

生产量

,如 P

? 0.1 表示每生产 10 件产品,约有 1 件为次品.其余为合格品.

已知每生产一件合格的仪器可以盈利 A 元,但每生产一件次品将亏损

A 元,故厂方希望定出合适的日产量. 2

(Ⅰ)试将生产这种仪器每天的盈利额 T(元)表示为日产量 x(件)的函数; (Ⅱ)当日产量为多少时,可获得最大利润?

3.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律:每生产产品 x(百台) ,其总成本为 G(x) 万元,其中固定成本为 2 万元,并且每生产 100 台的生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本) ,销售收入 R(x) 满足 R(x)= ?

?? 0.4 x 2 ? 4.2 x ? 0.8 ?10.2

(0 ? x ? 5) .假定该产品销售平衡,那么根据上述统计规律. ( x ? 5)

(1)要使工厂有盈利,产品 x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时赢利最大?并求此时每台产品的售价为多少?

4.为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱(如图) ,污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长度为 a 米,高度为 b 米,已知流出的水中该杂质的质量分数与 a、b 的乘积 ab 成反比,现有制箱材 料 60 平方米,问当 a、b 各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B 孔的面积忽略不计)?

5.运输一批海鲜,可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择,它们的速度分别为 v 千米/小时、2v 千米/小时、10v 千米 /小时,每千米的运费分别为 a 元、b 元、c 元.且 b<a<c,又这批海鲜在运输过程中的损耗为 m 元/小时,若使用三种运 输工具分别运输时各自的总费用(运费与损耗之和)互不相等.试确定使用哪种运输工具总费用最省.(题中字母均为正 的已知量)

6.已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位小时)的函数,记作 y=f(t),下表是某日各时的浪高数据
t y 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.49 15 1 18 0.51 21 0.99 24 1.5

经长期观测 y=f(t)的曲线可近似地看成函数 y=Acosω t+b. (1)根据以上数据,求出函数 y=Acosω t+b 的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午 8:00 至晚 上 20:00 之间,有多少时间可供冲浪者进行运动.

7.某外商到一开放区投资 72 万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费 12 万美元,以后每年增加 4 万美元,每年销 售蔬菜收入 50 万美元. (1)若扣除投资及各种经费,则从第几年开始获取纯利润? (2)若干年后,外商为开发新项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时以 48 万美元出售该厂;②纯利润总和 最大时,以 16 万元出售该厂,问哪种方案最合算?

8.某厂使用两种零件 A、B 装配两种产品 P、Q,该厂的生产能力是月产 P 产品最多有 2500 件,月产 Q 产品最多有 1200 件;而且组装一件 P 产品要 4 个 A、2 个 B,组装一件 Q 产品要 6 个 A、8 个 B,该厂在某个月能用的 A 零件最多 14000 个;B 零件最多 12000 个.已知 P 产品每件利润 1000 元,Q 产品每件 2000 元,欲使月利润最大,需要组装 P、Q 产品各 多少件?最大利润多少万元.

9. 随着机构改革工作的深入进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员 2 a 人(140< 2 a <420,且 a 为偶数) ,每 人每年可创利 b 万元.据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员 多创利 0.01b 万元,但公 ...1 人,则留岗职员每人每年 .... 司需付下岗职员每人每年 0.4b 万元的生活费, 并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的 济效益,该公司应裁员多少人?

3 4

, 为获得最大的经

10.医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防,将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验,经检测,病 毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表. 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过 108 的时候小白鼠将死亡.但注 射某种药物,将可杀死其体内该病毒细胞的 98%. (1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡,第一次最迟应在何时注射该种药物?(精确到天) (2)第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维持小白鼠的生命?(精确到天) 已知:lg2=0.3010.

天数 t 1 2 3 4 5 6 7 …

病毒细胞总数 N 1 2 4 8 16 32 64 …

天数 t 1 2 3 4 5 6 7 …

病毒细胞总数 N 1 2 4 8 16 32 64 …

11.在一很大的湖岸边(可视湖岸为直线)停放着一只小船,由于缆绳突然断开,小船被风刮跑,其方向与湖岸成 15° 角,速度为 2.5km/h,同时岸边有一人,从同一地点开始追赶小船,已知他在岸上跑的速度为 4km/h,在水中游的速度为 2km/h.,问此人能否追上小船.若小船速度改变,则小船能被人追上的最大速度是多少?

12.有一个受到污染的湖泊,其湖水的容积为 V 立方米,每天流出湖泊的水量都是 r 立方米,现假设下雨和蒸发正好平 衡,且污染物质与湖水能很好地混合,用 g(t)表示某一时刻 t 每立方米湖水所含污染物质的克数,我们称为在时刻 t 时的湖水污染质量分数,已知目前污染源以每天 p 克的污染物质污染湖水,湖水污染质量分数满足关系式 g(t)=

p r

+

[g(0)-

p r

] ·e

r ? t v

(p≥0),其中,g(0)是湖水污染的初始质量分数.

(1)当湖水污染质量分数为常数时,求湖水污染的初始质量分数; (2)求证:当 g(0)< 越来越严重;

p r

时,湖泊的污染程度将

(3)如果政府加大治污力度,使得湖泊的所有污染停止,那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平

下降到开始时污染水平的 5%?

13.某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加 50 元时,未 租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (Ⅰ)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

14.某机床厂今年年初用 98 万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保养费用 12 万元,从第 二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加 4 万元,该机床使用后,每年的总收入为 50 万元,设使用 x 年后数 控机床的盈利额为 y 万元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值) ; (3 ) 使用若干年后,对机床的处理方案有两种: (i )当年平均盈利额达到最大值时,以 30 万元价格处理该机床; (ii )当盈利额达到最大值时,以 12 万元价格处理该机床,问用哪种方案处理较为合算?请说明你的理由.

二、建构不等关系的应用性问题
1. 某人上午 7 时乘摩托艇以匀速 V 千米/小时(4≤V≤20)从 A 港出发前往 50 千米处的 B 港,然后乘汽车以匀速 W 千米/小时(30≤W≤100)自 B 港向 300 千米处的 C 市驶去,在同一天的 16 时至 21 时到达 C 市, 设汽车、摩托艇所需 的时间分别是 x 小时、y 小时,若所需经费 费最少?并求出这时所花的经费.

p ? 100 ? 3(5 ? x) ? 2(8 ? y) 元,那么 V、W 分别为多少时,所需经

2. 某商场经过市场调查分析后得知,2003 年从年初开始的前 n 个月内,对某种商品需求的累计数 地满足下列关系: 万件?

f (n) (万件)近似

f ( n) ?

1 n(n ? 2)(18 ? n) , n ? 1 ,2 , 3 , ?, 12 90

(Ⅰ)问这一年内,哪几个月需求量超过 1.3

(Ⅱ)若在全年销售中,将该产品都在每月初等量投放市场,为了保证该商品全年不脱销,每月初至少要投放多 少件商品?(精确到件)







维生素 A(单位/千克) 3.已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表,若 用甲、乙、丙三种食物各 x 千克,y 千克,z 千克配成 100 千克混合食物, 并使混合食物内至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B. (Ⅰ)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; (Ⅱ)确定 x,y,z 的值,使成本最低. 维生素 B(单位/千克) 成本(元/千克)

600 800 11

700 400 9

400 500 4

三、建构数列模型的应用性问题
1.某县位于沙漠边缘,当地居民与风沙进行着艰苦的斗争,到 2000 年底全县的绿地已占全县总面积的 30%.从 2001 年起,市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度,则每年有 16%的原沙漠地带变成了绿地,但同时,原有绿地的 4% 又被侵蚀,变成了沙漠. (Ⅰ)在这种政策之下,是否有可能在将来的某一年,全县绿地面积超过 80%? (Ⅱ)至少在多少年底,该县的绿地面积才能超过全县总面积的 60%?

2. 某铁路指挥部接到预报,24 小时后将有一场超历史记录的大暴雨,为确保万无一失,指挥部决定在 24 小时内筑一道 归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。经测算,其工程量除现有施工人员连续奋战外,还需要 20 辆翻斗车 同时作业 24 小时。但是,除了有一辆车可以立即投入施工外,其余车辆需要从各处紧急抽调,每隔 20 分钟有一辆车到 达并投入施工,而指挥部最多可组织 25 辆车。问 24 小时内能否完成防洪堤坝工程?并说明理由.

参考答案
1. 讲解 本题题目的篇幅较长,所给条件零散杂乱,为此,不仅需要划分段落层次,弄清每一层次独立的含义和相互

间的关系,更需要抓住矛盾的主要方面.由题目的问题找到关键词——“收支平衡” 、 “还清所有债务” ,不难想到,均 与“利润”相关. 从阅读和以上分析,可以达成我们对题目的整体理解,明确这是一道函数型应用题.为此,首先应该建立利润与职 工人数、月销售量 q、单位商品的销售价 p 之间的关系,然后,通过研究解析式,来对问题作出解答. 由于销售量和各种支出均以月为单位计量,所以,先考虑月利润. (Ⅰ)设该店的月利润为 S 元,有职工 m 名.则

S ? q ? p ? 40? ?100 ? 600m ?13200 .
又由图可知: q 所以,

? ??2 p ? 140, ?? ? ?? p ? 82

? 40 ? p ? 58? . ? 58 ? p ? 81?
? 40 ? p ? 58 ? ?58<p ? 81?

? ?? ?2 p ? 140 ?? p ? 40 ? ?100 ? 600m ? 13200 S ?? ? ?? ? p ? 82 ?? p ? 40 ? ?100 ? 600m ? 13200

由已知,当

p ? 52 时, S ? 0 ,即

? ?2 p ?140?? p ? 40? ?100 ? 600m ?13200 ? 0 解得 m ? 50 .即此时该店有 50 名职工.
(Ⅱ)若该店只安排 40 名职工,则月利润
? ?? ?2 p ? 140 ?? p ? 40 ? ?100 ? 37200 S ?? ? ?? ? p ? 82 ?? p ? 40 ? ?100 ? 37200

? 40 ? p ? 58? 当 40 ? p ? 58 时,求得 p ? 55 时,S 取最大值 7800 元. ? 58<p ? 81?

当 58 ?

p ? 81 时,求得 p ? 61时,S 取最大值 6900 元. p ? 55 时,S 有最大值 7800 元.

综上,当

设该店最早可在 n 年后还清债务,依题意,有 12n ? 7800 ? 268000 ? 200000 ? 0 . 解得 n

? 5.

所以,该店最早可在 5 年后还清债务,此时消费品的单价定为 55 元. 点评 求解数学应用题必须突破三关: (1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审题,找出关键词、句,理解其意义. (2)建模关:即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题. (3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.

2. 讲解: (Ⅰ)当 x ? c 时, P ?
当1 ?

2 1 2 A ? 0. ,所以,每天的盈利额 T ? xA ? x ? 3 3 2 3

x ? c 时,P ?

1 1 ? ? ? 1 ? 件. , 所以, 每日生产的合格仪器约有 ?1 ? 次品约有 ? x 件, ? ? x 故, 96 ? x ? 96 ? x ? ? 96 ? x ?

每天的盈利额

? 1 ? 3x ? ? 1 ? A ? T ? ?1 ? x? ?A ? xA ? ? ? x? ? ? ? 2 ? 96 ? x ? ? ? 96 ? x ? ? 96 ? x ? 2 ? ?

综上,日盈利额 T (元)与日产量 x (件)的函数关系为:

?? ? 3x ?? x ? ? A, T ? ?? 2 ? 96 ? x ? ? ? x?c ?0,

1? x ? c .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x ? c 时,每天的盈利额为 0. 当1 ?

x ? c 时, T ? ? ?x?
? ?

? .为表达方便,令 96 ? x 3x ?A 2 ? 96 ? x ? ? ?

? t ,则 0 ? 96 ? c ? t ? 95 .故

3 ? 96 ? t? ? ? ?? 144 144 ? ?? 1 1 ? ? 147 147 3 ? 96 t ? ? ? ? 11 144 ? 144 T ? ?T 96 t? ?? A?? 97 ? 2 ?2 t? ?A? ? ?? ?t ? A 97 ? ?tt ? ? 97 t ? ? A ? A ? 0A ? 0 ?A ? 97 ?A ? ? 96 ? ? ? ? 2t 2t ? ? ? ? 22 t ?? ? t ? t t ? ? ? ? 2 2 ?? 2 2 ?

.( 等 号 当 且 仅 当

t?

144 ,即 t ? 12 ?即x ? 88? 时成立) .所以, t 147 A (等号当且仅当 x ? 88 时成立) (1)当 c ? 88 时, Tmax ? . 2
(2) 当 1 ? c ? 88 时,由 1 ?

x ? c 得 12 ? 96 ? c ? t ? 95 ,易证函数 g ? t ? ? t ?

144 在 t ? (12, ??) 上 t

单调递增(证明过程略) . 所以, g (t ) ? g

?96 ? c? .所以,

2 ?144 2 2c ? 144 144 ? 189 ? ? 1 ? 144 ?? 1? 1 ? 1 ? A144 144 ??A ? ? ? 189 c ?c 2c T ? ? 97 T ?? t? ? 97 ? 96 ? c ? A?0. ? ? 97 ?? t ? ?? A ? ? 97 ? ? 96 ? c ? ? ? A ? ?? ? A ??0 96 ?? cc?? 192 2 ? t ?? 2? 2 96 ? 2? c 2c ? ? ? 2 ? ? t ? ? 192 ?

即 Tmax

? 144 ? 189c ? 2c 2 ? (等号当且仅当 x ? c 时取得) ?? ? A. 192 ? 2c ? ?

综上,若 88 ? c ? 96 ,则当日产量为 88 件时,可获得最大利润;若 1 ? c ? 88 ,则当日产量为 c 时,可获得 最大利润. 点评 基本不等式和函数的单调性是求解函数最值问题的两大重要手段. 3. 解:依题意,G(x)=x+2,设利润函数为 f(x),则

?? 0.4 x 2 ? 3.2 x ? 2.8 f ( x) ? ? ?8.2 ? x

(0 ? x ? 5) (1)要使工厂有赢利,则有 f(x)>0. ( x ? 5)

当 0≤x≤5 时,有–0.4x2+3.2x–2.8>0,得 1<x<7,∴1<x≤5. 当 x>5 时,有 8.2–x>0,得 x<8.2,∴5<x<8.2. 综上,要使工厂赢利,应满足 1<x<8.2.即产品应控制在大于 100 台小于 820 台的范围内. (2)0≤x≤5 时,f(x)=–0.4(x–4)2+3.6 故当 x=4 时,f(x)有最大值 3.6. 而当 x>5 时 f(x)<8.2–5=3.2 所以当工厂生产 400 台产品时,赢利最大,此时只须求 x=4 时,每台产品售价为

R ( 4) =2.4(万元/百台)=240(元/台). 4

4 分析:关键在于理解题意而列出关系式,找到 a 与 b 间的等量关系.函数最小值可应用重要不等式或利用导数解决.
解法一:设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为 y ,则由条件 y= 2a+4b+2ab=60 ①

k ab

(k > 0 为比例系数 ) 其中 a 、 b 满足

要求 y 的最小值,只须求 ab 的最大值.由①(a+2)(b+1)=32(a>0,b>0)且 ab=30–(a+2b) 应用重要不等式 a+2b=(a+2)+(2b+2)–4≥ 2

(a ? 2)(2b ? 2) ? 4 ? 12

∴ab≤18,当且仅当 a=2b 时等号成立将 a=2b 代入①得 a=6,b=3. 故当且仅当 a=6,b=3 时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.

解法二:由 2a+4b+2ab=60,得 b 记u

?

30 ? a , 2?a

? ab ?

(30 ? a)a (0<a<30)则要求 y 的最小值只须求 u 的最大值. 2?a
,令 u′=0 得 a=6,且当 0<a<6 时,u′>0,当 6<u<30 时

由 u? ?

64 ? (a ? 2) 2 (a ? 2) 2
?

u′<0,∴ u

(30 ? a )a k 在 a=6 时取最大值,此时 b=3.,从而当且仅当 a=6,b=3 时,y= 2?a ab

取最小值.

5. 解:设运输路程为 S(千米) ,使用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用分别为 y1(元)、y2(元)、y3(元).

S m m m m m ? (a ? ) S . y 2 ? (b ? ) S , y3 ? (c ? ) S . y1 ? y 2 ? [( a ? b) ? ]S ,由 a>b, v v 2v 10v 2v 2m 2m 各字母均为正值, 所以 y1–y2>0, 即 y2<y1.由 y3–y2= [(c–b)– ] S.令 y3–y2>0,由 c>b 及每字母都是正值, 得 c>b+ . 5v 5v 2m 2m 所以,当 c>b+ 时 y2<y3,由 y2<y1 即 y2 最小,当 b<a<c<b+ 时,y3<y2<y1,y3 最小. 5v 5v
则由题意,y1

? aS ?

6. 解: (1)由表中数据,知 T=12,ω =
由 t=0,y=1.5 得 A+b=1.5.

2? ? ? T 6

.

1 1 ? ,∴y= cos t ? 1 2 2 6 1 ? ? t >0. (2)由题意知,当 y>1 时,才可对冲浪者开放.∴ cos t ? 1 >1, cos 6 2 6
由 t=3,y=1.0,得 b=1.0.所以,A=0.5,b=1.振幅 A= ∴2kπ –

?

2

?

?

6

t ? 2k? ?

?

2

,

即有 12k–3<t<13k+3. 由 0≤t≤24,故可令 k=0,1,2,得 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24. ∴在规定时间内有 6 个小时可供冲浪者运动即上午 9:00 至下午 15:00.

7. 解:由题意知,每年的经费是以 12 为首项, 4 为公差的等差数列,设纯利润与年数的关系为 f(n), 则 f(n)=50n –
[12n+

n( n ? 1) ×4]–72 2

=–2n2+40n–72 (1)获纯利润就是要求 f(n)>0,∴–2n2+40n–72>0,解得 2<n<18.由 n∈N 知从第三年开始获利. (2)①年平均利润=

f (n) 36 =40–2(n+ )≤16.当且仅当 n=6 时取等号.故此方案先获利 6×16+48=144(万美元) , n n

此时 n=6,②f(n)=–2(n–10)2+128. 当 n=10 时,f(n)|max=128.故第②种方案共获利 128+16=144(万美元). 故比较两种方案,获利都是 144 万美元,但第①种方案只需 6 年,而第②种方案需 10 年,故选择第①种方案.

8. 解:设分别生产 P、Q 产品 x 件、y 件,则有
?0 ? x ? 2500 ?4 x ? 6 y ? 14000 ?2 x ? 3 y ? 7000设利润 S=1000x+2000y=1000(x+2y) 依题意有? 则有? ? 0 ? y ? 1200 2 x ? 8 y ? 12000 ? ? ? x ? 4 y ? 6000

要使利润 S 最大,只需求 x+2y 的最大值.

x+2y=m(2x+3y)+n(x+4y)=x(2m+n)+y(3m+4n) ∴?

?2m ? n ? 1 ?3m ? 4n ? 2
2 5

2 ? m? ∴? ? 5 ? ?n ? 1 ? 5 ?

有 x+2y=

(2x+3y)+

1 2 (x+4y)≤ 5 5

×7000+

1 ×6000. 5

当且仅当 ?

?2 x ? 3 y ? 7000 ? x ? 2000 解得 ? 时取等号,此时最大利润 Smax=1000(x+2y)=4000000=400(万元). ?x ? 4 y ? 6000 ? y ? 1000

另外此题可运用“线性规划模型”解决.

9. 解 设裁员 x 人,可获得的经济效益为 y 万元,则 y ? (2a ? x)(b ? 0.01 bx) ? 0.4bx

b [ x 2 ? 2(a ? 70) x] ? 2ab 100 3 依题意 2a ? x ≥ ? 2a 4 a ∴0< x ≤ . 2 又 140< 2 a <420, 70< a <210. a (1)当 0< a ? 70 ≤ ,即 70< a ≤140 时, x ? a ? 70 , y 取到最大值; 2 a a (2)当 a ? 70 > ,即 140< a <210 时, x ? , y 取到最大值; 2 2
=? 综上所述,当 70< a ≤140 时,应裁员 a ? 70 人;当 140< a <210 时,应裁员

a 人. 2

在多字母的数学问题当中,分类求解时需要搞清:为什么分类?对谁分类?如何分类?

10. 讲解 (1)由题意病毒细胞关于时间 n 的函数为 两边取对数得

y ? 2 n?1 ,

则由 2 n?1 ? 108 ,

(n ? 1) lg 2 ? 8,

n ? 27.5,

即第一次最迟应在第 27 天注射该种药物. (2)由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为 2 再经过 x 天后小白鼠体内病毒细胞为 2 由题意 2
26 x

26

? 2% ,

26

? 2% ? 2 ,
x

? 2% ? 2 ≤10 ,两边取对数得
8

26lg 2 ? lg 2 ? 2 ? x lg 2 ? 8, 得x ? 6.2 ,
故再经过 6 天必须注射药物,即第二次应在第 33 天注射药物. 本题反映的解题技巧是“两边取对数” ,这对实施指数运算是很有效的.

B 11 讲解: 不妨画一个图形,将文字语言翻译为图形语言, 进而想法建立
数学模型. 设船速为 v,显然

v ? 4km / h

vt
时人是不可能追上小船,当

2(1-k)t

0 ? v ? 2 km/h 时,人不必在岸上跑,而只要立即从同一地点直接下水就可 以追上小船,因此只要考虑 2 ? v ? 4 的情况,由于人在水中游的速度小于

O

15° 4kt

A

船的速度,人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶,当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一 个封闭的三角形时,人才能追上小船。设船速为 v,人追上船所用 时间为 t,人在岸上跑的时间为 kt (0

? k ? 1) ,则人在水中游的时间

为 (1 ? k )t ,人要追上小船,则人船运动的路线满足如图所示的三角形.

? | OA |? 4kt, | AB |? 2(1 ? k )t , | OB | vt, 由余弦是理得
| AB |2 ?| OA |2 ? | OB |2 ?2 | OA | ? | OB | ? cos15? 即 4(1 ? k ) 2 t 2 ? (4kt) 2 ? (vt) 2 ? 2.4kt ? vt ? 6 ? 2
4

整理得 12k 2 ? [2( 6 ? 2 )v ? 8]k ? v 2 ? 4 ? 0 .
2 要使上式在(0,1)范围内有实数解,则有 0 ? v ? 4 ? 1 且 ? ? [2( 6 ? 2 )v ? 8]2 ? 4 ?12? (v 2 ? 4) ? 0 12

解得 2 ? v ? 2 2 , 即v max ? 2 2km / h . 故当船速在 (2,2 人船运动路线可物成三角形, 即人能追上小船, 船能使人追上的最大速度为 2 2km / h , 2 ] 内时,

由此可见当船速为 2.5km/h 时, 人可以追上小船. 涉及解答三角形的实际应用题是近年高考命题的一个冷点, 复课时值得关注.

12. 讲解(1)∵g(t)为常数, 有 g(0)∴g(0)=

p r

=0, (2) 我们易证得 0<t1<t2, 则
r t2 r t1

p r

.

g(t1)-g(t2)=[g(0)-

p r

]e

r ? t1 v

-[g(0)-

p r

?

]e

r t2 v1

=[g(0)-

p r

] [e

r ? t1 v

?

-e

r t2 v1

]=[g(0)-

p r



(e v ? e v ) e
r ( t1 ? t2 ) v

,

∵g(0)·

p r

<0,t1<t2,e

r t2 v1

>e

r t1 v

,∴g(t1)<g(t2) .

故湖水污染质量分数随时间变化而增加,污染越来越严重. (3)污染停止即 P=0,g(t)=g(0)·e
r ? t v

,设经过 t 天能使湖水污染下降到初始污染水平 5%即 g(t)=5% g(0)



1 20

=e

r ? t v

,∴t=

v r

ln20,

故需要

v r

ln20 天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的 5%.

13. 讲解: (Ⅰ)当每辆车的月租金定为 3600 元时,未租出的车辆数为 辆车. (Ⅱ)设每辆车的月租金定为 x 元,则租赁公司的月收益为:

3600 ? 3000 ? 12 ,所以这时租出了 88 50

x ? 3000 ? x ? 3000 ? . f ? x ? ? ?100 ? ? 50 ? ? x ? 150 ? ? 50 ? 50 ?
2 整理得: f ? x ? ? ? x ? 162 x ? 21000 ? ? 1 ? x ? 4050 ?2 ? 307050 .

50

50

所以,当 x

? 4050 时, f ? x ? 最大,最大值为 307050.即当每辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益

最大,最大月收益是 307050 元. 点评:实际问题的最值要注意自变量的取值范围.

14. 讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题. (1)

y ? 50 x ? [12 x ?
= ? 2x
2

x( x ? 1) ? 4] ? 98 2

? 40x ? 98 .

(2)解不等式 得

? 2 x 2 ? 40x ? 98 >0,

10 ? 51<x< 10 ? 51 .
∵ x∈N, ∴ 3 ≤x≤ 17. 故从第 3 年工厂开始盈利.

(3)(i) ∵

y 98 98 ? ?2 x ? 40 ? ? 40 ? (2 x ? ) x x x

≤40 ? 2 当且仅当 2 x

2 ? 98 ? 12
? 98 时,即 x=7 时,等号成立. x
2

∴ 到 2008 年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利 12×7+30=114 万元. (ii)

? y=-2x +40x-98=
max

-2(x-10) +102,

2

? 当 x=10 时,y

=102.

故到 2011 年,盈利额达到最大值,工厂共获利 102+12=114 万元. 解答函数型最优化实际应用题,二、三元均值不等式是常用的工具. 二.1.讲解: 题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解. 由于 y ? 50 及4 ? V ? 100 ,? 2.5 ? y ? 12.5,同理 3 ? x ? 10 又 9 ? V

x ? y ? 14 ,

P ? 100? 3(5 ? x) ? 2(8 ? y) ? 131? (3x ? 2 y),令z ? 3x ? 2 y.
则 z 最大时 P 最小. 作出可行域,可知过点(10,4)时, z 有最大值 38, ∴P 有最小值 93,这时 V=12.5,W=30. 视z

? 3x ? 2 y 这是整体思维的具体体现, 当中的换元法是数学解题的常用方法.

2. 讲解: (Ⅰ)首先,第 n 个月的月需求量= ?

? ? f ?1? , n ? 1 ? ? f ? n ? ? f ? n ? 1? , 2 ? n ? 12

∵ ∴

f ( n) ?

1 n(n ? 2)(18 ? n) , 90 17 f ?1? ? ? 1.3 . 30
1 (n ? 1)( n ? 1)(19 ? n) 90
n3?5
2

当n ∴

? 2 时, f (n ? 1) ?
f (n )? f n ( ? 1? )

1 ? ( n 23? 90

19)

令 f (n) ? f (n ? 1) ? 1.3 ,即 ? 3n ∵ n∈N, ∴n = 5 ,6

? 35n ? 19 ? 117

,解得:

14 ? n ? 7, 3

即这一年的 5、6 两个月的需求量超过 1.3 万件. (Ⅱ)设每月初等量投放商品 a 万件,要使商品不脱销,对于第 n 个月来说,不仅有本月投放市场的 a 万件商品, 还有前几个月未销售完的商品.所以,需且只需: na ? ∴ a?

f (n) ? 0 ,

f (n) (n ? 2)(18 ? n) ? n 90
90 2 9

又∵ (n ? 2)(18 ? n) ? 1 [ (n ? 2) ? (18 ? n) ] 2 ? 10
90

∴ a?

10 9

即每月初至少要投放 11112 件商品,才能保证全年不脱销. 点评:实际问题的解答要注意其实际意义.本题中 a 的最小值,不能用四舍五入的方法得到,否则,不符合题意.

3. 讲解: (Ⅰ)由题, c ? 11x ? 9 y ? 4 z ,又 x ?

y ? z ? 100 ,所以, c ? 400 ? 7 x ? 5 y .

(Ⅱ)由 ?600 x ? 700 y ? 400 z ? 56000 , 及z ? 100 ? x ? y 得, ? ?

?800 x ? 400 y ? 500 z ? 63000

?4 x ? 6 y ? 320 ?3x ? y ? 130



所以, 7 x ? 5 y

? 450.

所以, c ? 400 ? 7 x ? 5 y ? 400 ? 450 ? 850,

当且仅当 ?

?4 x ? 6 y ? 320 ? x ? 50 时等号成立. , 即? ?3x ? y ? 130 ? y ? 20

所以,当 x=50 千克,y=20 千克,z=30 千克时,混合物成本最低,为 850 元.

?x ? 0 ?y ? 0 ? 点评: 本题为线性规划问题, 用解析几何的观点看, 问题的解实际上是由四条直线所围成的区域 ? ?4 x ? 6 y ? 320 ? ?3x ? y ? 130
上使得 c

? 400 ? 7 x ? 5 y 最大的点.不难发现,应在点 M(50,20)处取得.

三、1.讲解:本题为实际问题,首先应该读懂题意,搞清研究对象,然后把它转化为数学问题.不难看出,这是 一道数列型应用问题.因此,我们可以设: 全县面积为 1,记 2000 年底的全县绿地面积占总面积的百分比为 a0 ,经过 n 年后全县绿地面积占总面积的百分比

为 an ,则我们所要回答的问题就是: (Ⅰ)是否存在自然数 n ,使得 an >80% ? (Ⅱ)求使得 an >60%成立的最小的自然数 n . 为了解决这些问题, 我们可以根据题意, 列出数列

y 3x-y=130

?an ? 的相邻项之间的
M 4x+6y=320 x

函数关系,然后由此递推公式出发,设法求出这个数列的通项公式.

3 由题可知: a0 ? 30% ? , 10 4 4 a n ?1 ? ?1 ? 4% ?a n ? 16%?1 ? a n ? ? a n ? 5 25 4 4 所以,当 n ? 1 时, a n ? a n ?1 ? ,两式作差得: 5 25 4 a n ?1 ? a n ? ?a n ? a n ?1 ? 5
又a ?a ?? 4a ? 4 ??a ? 4 ?1a ? 1 , 1 0 0 ? 0 ? 0

?5

25 ?

25 5

10

所以,数列

?an ? an?1? 是以 a1 ? a0 ? 10 为首项,以 5 为公比的等比数列.
? ? a1 ? a0 ? ? a0
1 4 (1 ? ( ) n ) 3 4 1 4 10 5 ? ? ? ? ? ( )n 4 10 5 2 5 1? 5

1

4

所以, an ? ? an ? an?1 ? ? ? an?1 ? an?2 ? ?

由上式可知:对于任意 n ? N ,均有 a n (Ⅱ)令 a n

?

4 .即全县绿地面积不可能超过总面积的 80%. 5

3 4 n 2 ,得 ( ) ? , 5 5 5 4 n 由指数函数的性质可知: g ? n ? ? ( ) 随 n 的增大而单调递减,因此,我们只需从 n ? 0 开始验证,直到找到 5 4 n 2 第一个使得 ( ) ? 的自然数 n 即为所求. 5 5 4 n 2 4 n 2 验证可知:当 n ? 0,1, 2,3, 4 时,均有 ( ) ? ,而当 n ? 5 时, ( ) ? 0.32768 ? , 5 5 5 5 4 n 2 由指数函数的单调性可知:当 n ? 5 时,均有 ( ) ? . 5 5 ?
所以,从 2000 年底开始,5 年后,即 2005 年底,全县绿地面积才开始超过总面积的 60%. 点评: (Ⅱ)中,也可通过估值的方法来确定 n 的值. 2.讲解: 引入字母, 构建等差数列和不等式模型. 由 20 辆车同时工作 24 小时可完成全部工程可知,每辆车,每小时的工作效率为 起,各车的工作时间为 a1,a2,…, a25 小时,依题意它们组成公差 d ? ?

1 480

,设从第一辆车投入施工算

1 (小时)的等差数列,且 3

a1 ? 24, 则有

a a1 a 1 192 . ? 2 ? ? ? 25 ? 1,即 (a1 ? a 25 ) ? 25 ? 480,化简可得 2a1 ? 8 ? 5 480 480 480 2

解得 a1 ? 23 1 ,由于 23 1 ? 24 .

5

5

可见 a1 的工作时间可以满足要求,即工程可以在 24 小时内完成.


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