江苏省海安中学 高一数学下学期期中试题创新班(含答案)


江苏省海安中学 2017-2018 学年高一数学下学期期中试题(创新班) 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 4 页,包含填空题(共 14 题) 、解答题(共 6 题) ,满分为 160 分,考试时间 为 120 分钟。考试结束后,请将答题卡交回。 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写 在答题卡上。 3. 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位 置作答一律无效。如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1. 已知集合 A ? x x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 ?R A ? ? ? ▲ . ▲ . 2. 设 i 是虚数单位,若复数 z 满足 z (1 ? i ) ? (1 ? i ) ,则复数 z 的模 z = 3. 函数 y ? 1 的定义域为 log 1 (2 x ?1) 3 ▲ . 4. 若 sin ? ? π ? 1 ,则 cos ? ? 7π 的值为 12 3 12 ? ? ? ? ▲ . . ? ? ? 0, ?? ,且 tan ?? ? ? ? ? 1 , tan ? ? ? 1 ,则 tan? 的值为 ▲ 5. 已知 ?, 5 2 x2 y2 6. 已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点与抛物线 a b y2=16x 的焦点相同,则双曲线的方程为 ▲ . ▲ 2n ?1 7. 由 0,1,2,3,4,5 这 6 个数字共可以组成 个没有重复数字的四位偶数. 8. 用数学归纳法证明: “ 1 ? 1 ? 1 ? … ? n1 ? n 即 ? 1 ? n ,其中 n≥2 ,且 n ? N* ”时, k 2 3 2 ?1 k ?1 第一步需验证的不等式为: “ ▲ . ” ▲ . 9. 已知函数 f ( x) ? 2 ? x 2 ? x ? b 有且只有一个零点,则实数 b 的取值范围是 10.设 x,y,z 均是不为 0 的实数,9x,12y,15z 成等比数列,且 1 , 1 , 1 成等差数列, z x y 则 x ? z 的值是 z x ▲ . -1- ? x ≤ 0, ? 11.设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 0, 则目标函数 z ? xy 的取值范围为 ? 2 x ? y ? 1≥ 0, ? 12. 如图,在△ABC 中,边 BC 的四等分点依次为 D,E,F. ▲ . A → → → → 若 AB · AC =2, AD · AF =5,则 AE 的长为________ ▲ . 13. 设 函 数 f ( x) 在 R 上 存 在 导 数 f ' ( x) , 对 任 意 的 x ? R 有 f (? x) ? f ( x) ? x 2 , 且 在 B (0,??) 上 f ?( x ) ▲ ? x .若 f (2 ? a) ? f (a) ? 2 ? 2a ,则实数 a 的取值范围 (第 12 题 ) D E F C . 14.设 a, b, c 是三个正实数,且 b(a ? b ? c) ? ac ,则 b 的最大值为 ▲ . a?c 二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 D , E 分别为 BC ,B1C1 的中点,点 F 在棱 CC1 A1 C1 E 上,且 EF ? C1 D .求证: B11 D (1)直线 A1E ∥平面 ADC1 ; F A (2)直线 EF ? 平面 ADC1 . A B (第 15 题) A D A C A 16.(本题满分 14 分) sin A ? 3 cos A 共线,其中 A 是△ABC 的内角. 已知向量 m ? sin A,1 与 n ? 3, 2 ? ? ? ? (1)求角 A 的大小; (2)若 BC=2,求△ABC 面积 S 的最大值,并判断 S 取得最大值时△ABC 的形状. -2- 17. (本题满分 14 分) 已知椭圆 C : 且 AB ? 2 . x2 y 2 3 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的离心率为 ,椭圆 C 与 y 轴交于 A, B 两点, 2 a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 P 是椭圆 C 上的一个动点,且点 P 在 y 轴的右侧,直线 PA, PB 与直线 x ? 4 交 于 M , N 两点,若以 MN 为直径的圆与 x 轴交于 E , F ,求点 P 横坐标的取值范围及 EF 的最大值. 18.(本小题满分 16 分) 如图,一个角形海湾 AOB,∠AOB=2θ (常数 θ 为锐角).拟用长度为 l(l 为常数)的 围网围成一个养殖区,有以下两种方案可供选择: 方案一 如图 1,围成扇形养殖区 OPQ,其中PQ=l; 方案二 如图 2,围成三角形养殖区 OCD,其中 CD=l; ⌒ (1)求方案一中养殖区的面积 S1 ; (2)求证:方案二中养殖区的最大面积 S2= ; 4tanθ (3)为使养殖区的面积最大,应选择何种方案?并说明理由. l 2 -3- 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? b ? a (a > 0,b,c ? R ). (1)设 c ? 0 . ①若 a ? b , f ( x) 在 x ? x0 处的切线过点(1,0),求 x0 的值; 1] 上的最大值; ②若

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