广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析


广东省广州市执信中学 2015 届高三上学期期中数学试卷(理科)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的)

1.(5 分)若集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B,则集合 B 可能是()

A.{1,2}

B. {x|x≤1}

C. {﹣1,0,1}

D.R

2.(5 分)下列说法正确的是() A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2=1,则 x≠1” B. 命题“?x≥0,x2+x﹣1<0”的否定是“?x0<0,x02+x0﹣1≥0” C.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为假命题
D.若“p∨q”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题

3.(5 分)设{an}为等差数列,公差 d=﹣2,sn 为其前 n 项和,若 S10=S11,则 a1=()

A.18

B. 20

C. 22

D.24

4.(5 分)将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何体的 左视图为()

A.

B.

C.

D.

5.(5 分)在△ ABC 中,已知 AB=4

A.

B.

,则△ ABC 的面积是()

C. 或

D.

6.(5 分)设曲线

在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=()

A.2

B.

C.

D.﹣2

7.(5 分)在△ ABC 中,点 P 在 BC 上,且

,点 Q 是 AC 的中点,若



,则 =()

A.(﹣2,7)

B. (﹣6,21)

C. (2,﹣7)

D.(6,﹣21)

8.(5 分)已知函数 f(x)=

,把函数 g(x)=f(x)﹣x 的零点

按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为()

A.

B. an=n﹣1

C.an=n(n﹣1) D.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 30 分)(一)必做题(9~13 题) 9.(5 分)已知复数 a+bi=i(1﹣i)(其中 a,b∈R,i 是虚数单位),则 a+b 的值为.

10.(5 分)若

,则常数 T 的值为.

11.(5 分)设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最大值是.

12.(5 分)已知( + )n 的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数比为 56:3,则 n=.
13.(5 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 为椭圆 E: + =1 (a>b>0)的左顶 点,B,C 在椭圆 E 上,若四边形 OABC 为平行四边形,且∠OAB=30°,则椭圆 E 的离心率 等于.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(5 分)在极坐标系中,曲线 ρ=cosθ+1 与 ρcosθ=1 的公共点到极点的距离为.
15.(5 分)(几何证明选做题)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F,E 是 AB 延长 线上一点,且 DF=CF= ,AF:FB:BE=4:2:1,若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长为.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(13 分)已知函数 f(x)=( sinx+cosx)cosx﹣ .
(Ⅰ)用五点作图法列表,作出函数 f(x)在 x∈[0,π]上的图象简图; (Ⅱ)若 f( + )= ,﹣ <a<0,求 sin(2a﹣ )的值.
17.(14 分)在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,已知 AB=AC=AA1= ,BC=4,A1 在底面 ABC 的 射影是线段 BC 的中点 O. (Ⅰ)证明:在侧棱 AA1 上存在一点 E,使得 OE⊥平面 BB1C1C,并求出 AE 的长; (Ⅱ)求二面角 A1﹣B1C﹣C1 的余弦值.

18.(14 分)袋中装着标有数字 1、2、3、4、5 的小球各 2 个,从袋中任取 3 个小球,每个小 球被取出的可能性都相等,用 ξ 表示取出的 3 个小球上的最大数字,求: (1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率; (2)随机变量 ξ 的概率分布列和数学期望.

19.(12 分)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中 n=1,2,3,… (1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2)设 Tn=(1+a1)?(1+a2)…(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项;

(3)记 bn=

,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

20.(13 分)已知椭圆 C1 的离心率为 e= ,过 C1 的左焦点 F1 的直线 l:x﹣y+2=0 被圆 C2:
(x﹣3)2+(y﹣3)2=r2(r>0)截得的弦长为 2 . (1)求椭圆 C1 的方程;

(2)设 C1 的右焦点为 F2,在圆 C2 上是否存在点 P,满足|PF1|= |PF2|,若存在,指出有几 个这样的点(不必求出点的坐标);若不存在,说明理由.

21.(14 分)设函数



(1)当 k=1 时,判断函数 f(x)的单调性,并加以证明; (2)当 k=0 时,求证:f(x)>0 对一切 x>0 恒成立; (3)若 k<0,且 k 为常数,求证:f(x)的极小值是一个与 a 无关的常数.

广东省广州市执信中学 2015 届高三上学期期中数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的)

1.(5 分)若集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B,则集合 B 可能是()

A.{1,2}

B. {x|x≤1}

C. {﹣1,0,1}

D.R

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题;集合. 分析: 由集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B,得 B?A,由此能求出结果. 解答: 解:∵集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B, ∴B?A, 观察备选答案中的 4 个选项, 只有{1,2}?A. 故选:A. 点评: 本题考查交集性质的应用,是基础题,解题时要认真审题.

2.(5 分)下列说法正确的是() A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2=1,则 x≠1” B. 命题“?x≥0,x2+x﹣1<0”的否定是“?x0<0,x02+x0﹣1≥0” C.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为假命题
D.若“p∨q”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题

考点: 专题: 分析: 解答:

复合命题的真假;四种命题间的逆否关系;命题的否定. 简易逻辑. 通过复合命题的定义,四种命题的关系,命题的否定,逐项进行判断. 解:对于 A:否命题为“若 x2≠1,则 x≠1”,故 A 错误;

对于 B:否定是“?x0≥0,x02+x0﹣1≥0”,故 B 错误; 对于 C:逆否命题为:若“sin x≠sin y,则 x≠y”,是真命题,故 C 错误; A,B,C,都错误,故 D 正确, 故选:D. 点评: 本题考查了复合命题的定义,四种命题的关系,命题的否定,是一道基础题.

3.(5 分)设{an}为等差数列,公差 d=﹣2,sn 为其前 n 项和,若 S10=S11,则 a1=()

A.18

B. 20

C. 22

D.24

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列的前 10 项的和等于前 11 项的和可知,第 11 项的值为 0,然后根据等差 数列的通项公式,利用首项和公差 d 表示出第 11 项,让其等于 0 列出关于首项的方程,求出 方程的解即可得到首项的值.
解答: 解:由 s10=s11, 得到 a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10+a11 即 a11=0, 所以 a1﹣2(11﹣1)=0, 解得 a1=20. 故选 B 点评: 此题考查学生掌握等差数列的性质,灵活运用等差数列的通项公式化简求值,是一 道基础题.

4.(5 分)将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何体的 左视图为()

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题. 分析: 直接利用三视图的画法,画出几何体的左视图即可. 解答: 解:由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段,上面的射影也是线段, 后面与底面的射影都是线段,轮廓是正方形,AD1 在右侧的射影是正方形的对角线, B1C 在右侧的射影也是对角线是虚线. 如图 B. 故选 B.

点评: 本题考查几何体的三视图的画法,考查作图能力.

5.(5 分)在△ ABC 中,已知 AB=4

A.

B.

,则△ ABC 的面积是()

C. 或

D.

考点: 正弦定理的应用. 专题: 解三角形.
分析: 在△ ABC 中,由余弦定理可得 BC 的值,再由△ ABC 的面积为 ×AB×BC×sinB 运算

求得结果. 解答: 解:在△ ABC 中,由余弦定理可得 42=

+BC2﹣2×4 ×BC×cos30°,

解得 BC=4,或 BC=8. 当 BC=4 时,△ ABC 的面积为 ×AB×BC×sinB= ×4 ×4× =4 ,

当 BC=8 时,△ ABC 的面积为 ×AB×BC×sinB= ×4 ×8× =8 ,
故选 C. 点评: 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题.

6.(5 分)设曲线

在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=()

A.2

B.

C.

D.﹣2

考点: 导数的几何意义. 分析: (1)求出已知函数 y 在点(3,2)处的斜率; (2)利用两条直线互相垂直,斜率之间的关系 k1?k2=﹣1,求出未知数 a.
解答: 解:∵y= ∴y′=﹣

∵x=3∴y′=﹣ 即切线斜率为﹣
∵切线与直线 ax+y+1=0 垂直 ∴直线 ax+y+1=0 的斜率为﹣a. ∴﹣ ?(﹣a)=﹣1 得 a=﹣2
故选 D. 点评: 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处 的切线的斜率,过点 P 的切线方程为:y﹣y0=f′(x0)(x﹣x0)

7.(5 分)在△ ABC 中,点 P 在 BC 上,且

,点 Q 是 AC 的中点,若



,则 =()

A.(﹣2,7)

B. (﹣6,21)

C. (2,﹣7)

D.(6,﹣21)

考点: 数量积的坐标表达式. 专题: 平面向量及应用.
分析: 利用向量的坐标形式的运算法则求出 ,利用向量共线的充要条件求出 ,利用向

量共线的充要条件求出

解答: 解: ∵点 Q 是 AC 的中点 ∴

=(﹣3,2)



=(﹣6,21)

故选 B

点评: 本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件:

?

8.(5 分)已知函数 f(x)=

,把函数 g(x)=f(x)﹣x 的零点

按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为()

A.

B. an=n﹣1

C.an=n(n﹣1) D.

考点: 根的存在性及根的个数判断;等差数列的通项公式.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据函数的零点的定义,构造两函数图象的交点,交点的横坐标即为函数的零点,
再通过数列及通项公式的概念得所求的解. 解答: 解:当 x∈(﹣∞,0]时,由 g(x)=f(x)﹣x=2x﹣1﹣x=0,得 2x=x+1.令 y=2x, y=x+1.在同一个坐标系内作出两函数在区间(﹣∞,0]上的图象,由图象易知交点为(0,1), 故得到函数的零点为 x=0. 当 x∈(0,1]时,x﹣1∈(﹣1,0],f(x)=f(x﹣1)+1=2x﹣1﹣1+1=2x﹣1,由 g(x)=f(x) ﹣x=2x﹣1﹣x=0,得 2x﹣1=x.令 y=2x﹣1,y=x.在同一个坐标系内作出两函数在区间(0,1]上 的图象,由图象易知交点为(1,1),故得到函数的零点为 x=1.

当 x∈(1,2]时,x﹣1∈(0,1],f(x)=f(x﹣1)+1=2x﹣1﹣1+1=2x﹣2+1,由 g(x)=f(x) ﹣x=2x﹣2+1﹣x=0,得 2x﹣2=x﹣1.令 y=2x﹣2,y=x﹣1.在同一个坐标系内作出两函数在区间 (1,2]上的图象,由图象易知交点为(2,1),故得到函数的零点为 x=2. 依此类推,当 x∈(2,3],x∈(3,4],…,x∈(n,n+1]时,构造的两函数图象的交点依次为 (3,1),(4,1),…,(n+1,1),得对应的零点分别为 x=3,x=4,…,x=n+1. 故所有的零点从小到大依次排列为 0,1,2,…,n+1.其对应的数列的通项公式为 an=n﹣1. 故选 B.

点评: 本题主要考查了函数零点的概念及零点的求法、数列的概念及简单表示;培养学生 观察、分析、归纳、推理的能力;解题中使用了数形结合及分类讨论的数学方法和数学思想.
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 30 分)(一)必做题(9~13 题) 9.(5 分)已知复数 a+bi=i(1﹣i)(其中 a,b∈R,i 是虚数单位),则 a+b 的值为 2.
考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数代数形式的乘法运算展开等式右边,由复数相等的条件求出 a,b 的值,则 答案可求. 解答: 解:由 a+bi=i(1﹣i)=1+i,得 a=1,b=1, ∴a+b=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的条件,是基础题.

10.(5 分)若

,则常数 T 的值为 3.

考点: 定积分. 专题: 计算题. 分析: 利用微积分基本定理即可求得.

解答: 解:

= =9,解得 T=3,

故答案为:3.

点评: 本题考查定积分、微积分基本定理,属基础题.

11.(5 分)设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最大值是 5.

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题. 分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x+y 表示直线在 y 轴上的 截距,只需求出可行域内直线在 y 轴上的截距最大值即可. 解答: 解;作出不等式组表示的平面区域,如图所示 做直线 L:2x+y=0,然后把直线 L 向可行域平移,结合图象可知当直线 z=2x+y 过点 A 时,z 最大



可得 A(2,1)

即当 x=2,y=1 时,zmax=5. 故答案为:5

点评: 本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 12.(5 分)已知( + )n 的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数比为 56:3,则 n=10.

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题;二项式定理. 分析: 运用二项式的通项公式,求出通项并化简整理,再令 r=4,r=2,求出系数,列出方 程,解出即可得到 n.

解答: 解:( + )n 的展开式的通项为 Tr+1= ( )n﹣r( )r= 2r



则由题意可得 24: 22=56:3,

则有 14×

=3×



解得,n=10. 故答案为:10. 点评: 本题考查二项式定理及运用,考查二项式的通项公式及运用,考查运算能力,属于 基础题.

13.(5 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 为椭圆 E: + =1 (a>b>0)的左顶
点,B,C 在椭圆 E 上,若四边形 OABC 为平行四边形,且∠OAB=30°,则椭圆 E 的离心率 等于 .

考点: 椭圆的简单性质. 分析: 首先利用椭圆的对称性和 OABC 为平行四边形,可以得出 B、C 两点是关于 Y 轴对 称,进而得到 BC=OA=a;设 B(﹣ ,y)C( ,y),从而求出|y|,然后由∠OAB=∠COD=30°,
利用 tan30°= b/ = ,求得 a=3b,最后根据 a2=c2+b2 得出离心率. 解答: 解:∵AO 是与 X 轴重合的,且四边形 OABC 为平行四边形 ∴BC∥OA, B、C 两点的纵坐标相等, B、C 的横坐标互为相反数 ∴B、C 两点是关于 Y 轴对称的. 由题知:OA=a 四边形 OABC 为平行四边形,所以 BC=OA=a 可设 B(﹣ ,y)C( ,y)
代入椭圆方程解得:|y|= b, 设 D 为椭圆的右顶点,因为∠OAB=30°,四边形 OABC 为平行四边形 所以∠COD=30°
对 C 点:tan30°= =
解得:a=3b

根据:a2=c2+b2 得:a2=c2+ e2=

e=

故答案为: .
点评: 本题考查了椭圆的对称性以及简单性质,由椭圆的对称性求出 B、C 两点的纵坐标进 而得到 a=3b 是解题的关键,属于中档题.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

14.(5 分)在极坐标系中,曲线 ρ=cosθ+1 与 ρcosθ=1 的公共点到极点的距离为



考点: 专题: 分析: 解答:

点的极坐标和直角坐标的互化;两点间的距离公式. 计算题. 联立 ρ=cosθ+1 与 ρcosθ=1 消掉 θ 即可求得 ρ,即为答案. 解:由 ρ=cosθ+1 得,cosθ=ρ﹣1,代入 ρcosθ=1 得 ρ(ρ﹣1)=1,

解得 ρ=

或 ρ=

(舍),

所以曲线 ρ=cosθ+1 与 ρcosθ=1 的公共点到极点的距离为



故答案为:



点评: 本题考查两点间距离公式、极坐标与直角坐标的互化,属基础题.

15.(5 分)(几何证明选做题)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F,E 是 AB 延长 线上一点,且 DF=CF= ,AF:FB:BE=4:2:1,若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长为 .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题. 分析: 设出 AF=4k,BF=2k,BE=k,由 DF?FC=AF?BF 求出 k 的值,利用切割定理求出 CE.
解答: 解:设 AF=4k,BF=2k,BE=k,由 DF?FC=AF?BF,得 2=8k2,即 k= .

∴AF=2,BF=1,BE= ,AE= ; 由切割定理得 CE2=BE?EA= × = .
∴CE= .
故答案为: . 点评: 本题是基础题,考查直线与圆的位置关系,考查计算能力,基本知识掌握的情况, 是常考题型.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(13 分)已知函数 f(x)=( sinx+cosx)cosx﹣ . (Ⅰ)用五点作图法列表,作出函数 f(x)在 x∈[0,π]上的图象简图; (Ⅱ)若 f( + )= ,﹣ <a<0,求 sin(2a﹣ )的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)分别取出对应的 x 值和 y 值列表,然后描点,再用平滑曲线连接得函数图象.
(Ⅱ)由 f( + )= ,即可推得 cosa= ,从而可求 sina 的值,进而求出 sin2a=2sinacosa=

﹣ ,cos2a=2cos2a﹣1=﹣ ,故可求得 sin(2a﹣ )的值.

解答: 解:(1)f(x)=( sinx+cosx)cosx﹣

= sinxcosx+cos2x =

=



列表:

描点画出简图如下:

(2)f( + )=sin[2( + )+ ]=sin(a+ )=cosa= ,

∵﹣ <a<0,∴sina=﹣ , ∴sin2a=2sinacosa=﹣ ,cos2a=2cos2a﹣1=﹣ ,

sin(2a﹣ )= (sin2a﹣cos2a)=﹣



点评: 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用,考察了三角函数的图象与性质,属于 基础题.

17.(14 分)在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,已知 AB=AC=AA1= ,BC=4,A1 在底面 ABC 的 射影是线段 BC 的中点 O.
(Ⅰ)证明:在侧棱 AA1 上存在一点 E,使得 OE⊥平面 BB1C1C,并求出 AE 的长; (Ⅱ)求二面角 A1﹣B1C﹣C1 的余弦值.

考点: 专题: 分析:

二面角的平面角及求法. 综合题;空间位置关系与距离;空间角. (Ⅰ)连接 AO,在△ AOA1 中,作 OE⊥AA1 于点 E,因为 AA1∥BB1,所以,OE⊥BB1,

证明 BC⊥OE,可得结论,AE= ;

(Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出平面 B1CC1 的一个法向量、平面 A1B1C 的法向量,利用向 量的夹角公式求二面角 A1﹣B1C﹣C1 的余弦值. 解答: 解:(Ⅰ)证明:连接 AO,在△ AOA1 中,作 OE⊥AA1 于点 E,因为 AA1∥BB1, 所以,OE⊥BB1 因为 A1O⊥平面 ABC,所以 BC⊥平面 AA1O,所以 BC⊥OE,所以 OE⊥平面 BB1CC1

又 AO=

=1,AA1= 得 AE= = .

(Ⅱ)解:如图,分别以 OA,OB,OA1 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,则 A (1,0,0),B(0,2,0),C(0,﹣2,0),A1(0,0,2)

由=

,得点 E 的坐标是( ,0, ),

由(Ⅰ)知平面 B1CC1 的一个法向量为 =( ,0, )

设平面 A1B1C 的法向量是 =(x,y,z),





可取 =(2,1,﹣1),

所以 cos< , >=

=.

点评: 本题考查线面垂直,考查二面角 A1﹣B1C﹣C1 的余弦值,考查向量法的运用,属于 中档题.
18.(14 分)袋中装着标有数字 1、2、3、4、5 的小球各 2 个,从袋中任取 3 个小球,每个小 球被取出的可能性都相等,用 ξ 表示取出的 3 个小球上的最大数字,求: (1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率; (2)随机变量 ξ 的概率分布列和数学期望.
考点: 互斥事件的概率加法公式;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与 方差. 专题: 计算题. 分析: (1)根据题意,一次取出的 3 个小球上的数字互不相同的事件记为 A,一次取出的 3 个小球上有两个数字相同的事件记为 B,易得事件 A 和事件 B 是互斥事件,易得事件 B 的 概率,由互斥事件的意义,可得答案, (2)由题意 ξ 有可能的取值为:2,3,4,5,分别计算其取不同数值时的概率,列出分步列, 进而计算可得答案. 解答: 解:(1)一次取出的 3 个小球上的数字互不相同的事件记为 A,一次取出的 3 个小球 上有两个数字相同的事件记为 B,则事件 A 和事件 B 是互斥事件,因为

所以

.(4 分)

(2)由题意 ξ 有可能的取值为:2,3,4,5.(5 分)

;(8 分)

;(9 分



;(10 分)

;(11 分) 所以随机变量 ε 的概率分布为

因此 ξ 的数学期望为:

(12 分)

(14 分)

点评: 本题考查概率的计算以及随机变量的分布列的运用,注意其公式的正确运用即可.

19.(12 分)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中 n=1,2,3,… (1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2)设 Tn=(1+a1)?(1+a2)…(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项;

(3)记 bn=

,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

考点: 数列的求和;数列递推式.

专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由题意得 an+1=an2+2an,变形得 an+1+1=(an+1)2,再两边取对数化简后,由 等比数列的定义可证明;

(Ⅱ)由(Ⅰ)和等比数列的通项公式求出 1+an 的表达式,代入 Tn 根据指数的运算和等比数 列的前 n 项公式化简;

(Ⅲ)将 an+1=an2+2an 化简后取倒数得

,再代入 bn=

化简,利用

前后项相消后求出数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解答: 证明:(Ⅰ)由题意得 an+1=an2+2an,即 an+1+1=(an+1)2,

两边取对数得,lg(an+1+1)=2lg(an+1),即



由 a1=2 得,lg(a1+1)=lg3, 即数列{lg(1+an)}是公比为 2、以 lg3 为首项的等比数列;

解:(Ⅱ)由(Ⅰ)知,lg(1+an)=2n﹣1lg3=



所以 1+an=



所以 Tn=(1+a1)?(1+a2)…(1+an)

=



=

=



由 1+an=

,得 an=

﹣1;

(Ⅲ)由(Ⅰ)得,an+1=an2+2an=2an(an+2),

所以

,即



又 bn=

,所以 bn=



所以 Sn=b1+b2+…+bn=2[(

)+(

)+…+(

)]

=2(

),

由 an= Sn=1﹣

﹣1 得,a1=2,an+1= ﹣1,代入上式得, .

点评: 本题考查等比数列的定义,前 n 项公式,裂项相消法求数列的和,以及指数、对数 的运算等,属于中档题.

20.(13 分)已知椭圆 C1 的离心率为 e= ,过 C1 的左焦点 F1 的直线 l:x﹣y+2=0 被圆 C2: (x﹣3)2+(y﹣3)2=r2(r>0)截得的弦长为 2 . (1)求椭圆 C1 的方程;
(2)设 C1 的右焦点为 F2,在圆 C2 上是否存在点 P,满足|PF1|= |PF2|,若存在,指出有几

个这样的点(不必求出点的坐标);若不存在,说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;探究型;存在型.

分析: 对第(1)问,由 a2=b2+c2,

及 F1 的坐标满足直线 l 的方程,联立此三个方程,

即得 a2,b2,从而得椭圆方程; 对第(2)问,根据弦长,利用垂径定理与勾股定理得方程,可求得圆的半径 r,从而确定圆

的方程,再由条件|PF1|= |PF2|,将点 P 满足的关系式列出,通过此关系式与已知圆 C2 的方

程联系,再探求点 P 的存在性. 解答: 解:在直线 l 的方程 x﹣y+2=0 中,令 y=0,得 x=﹣2,即得 F1(﹣2,0),

∴c=2,又∵离心率



∴a2=6,b2=a2﹣c2=2,

∴椭圆 C1 的方程为



(2)∵圆心 C2(3,3)到直线 l:x﹣y+2=0 的距离为 d=



又直线 l 被圆 C2 截得的弦长为 ,

∴由垂径定理得



故圆 C2 的方程为



设圆 C2 上存在点 P(x,y),满足

,即|PF1|=3|PF2|.

∵F1(﹣2,0),F2(2,0),



,整理得



此方程表示圆心在点

,半径是 的圆,

∴|CC2|= 故有

, ,即两圆相交,有两个公共点.

∴圆 C2 上存在两个不同点 P,满足|PF1|=



点评: 1.求椭圆的方程,关键是确定 a2,b2,常用到关系式 及 a2=b2+c2,再找一个关
系式,一般可解出 a,b. 2.本题采用交集思想巧妙地处理了点 P 的存在性.本解法是用圆特有的方式判断两圆的公共 点个数,若联立两曲线的方程,消去 x 或 y,用判别式来判断也可以,其适用范围更广,但计 算量相对大一些.

21.(14 分)设函数



(1)当 k=1 时,判断函数 f(x)的单调性,并加以证明; (2)当 k=0 时,求证:f(x)>0 对一切 x>0 恒成立; (3)若 k<0,且 k 为常数,求证:f(x)的极小值是一个与 a 无关的常数.

考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 综合题. 分析: (1)求出函数的导函数,判断出导函数小于等于 0,判断出函数单调性. (2)求出导函数,令导函数为 0,求出根,判断出根左右两边的符号,求出极小值,判断出 极小值的符号得证.

(3)求出导函数,令导函数为 0,求出根,判断根左右两边的符号,求出极小值,判断出极 小值是与 a 无关的常数. 解答: 解:(1)函数的定义域为 x>0
当 k=1 时,f(x)=



=

∴函数 f(x)在(0,+∞)上是单调减函数 (2)当 k=0 时,

令 当

∴ ∵e>2 ∴ ∴f(x)>0 恒成立
(3)∵





解得





舍去)

,f′(x)<0,f(x)是单调减函数

时,f′(x)>0,f(x)是单调增函数

因此,当 x= 令

f(x)有极小值





是与 a 无关的常数



均与 a 无关.

∴f(x0)是与 a 无关的常数. 则 f(x)的极小值是一个与 a 无关的常数. 点评: 求函数的极小值时,令导函数为 0 求出根,但一定注意判断根左右两边的符号是否 异号.


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