广西桂林十八中2011-2012学年高二下学期期中试题数学


桂林十八中 10 级高二下学期期中考试试卷 数学

注意事项: 1、本卷共 150 分,考试时间 120 分钟. 2、答题前,考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚. 3、请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效. 4、考试结束后,上交答题卡.
第 I 卷(共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂到答题卡的相应位置.
1.若 l1、l2 为异面直线,直线 l3 / /l1 ,则 l3 与 l2 的位置关系是

A.相交

B.异面

C.平行

D. 异面或相交

2. 抛掷一个骰子,落地时向上的点数是 3 的倍数的概率是

A. 1 6

B. 1 3

C. 1 2

D. 2 3

3.

? ??

2

x?

1 x

?6 ??

展开式中的常数项为

A. ?192

B. ?160

C. 64

D. 240

4.正三棱锥 P ? ABC 中,直线 PA 与 BC 所成的角的大小为

?
A.
3

?
B.
2

2?
C.
3

3?
D.
4

5. 安排 5 名歌手的演出顺序时,要求某名歌手不是第一个出场,也不是最后一个出场,不

同的安排方法总数为
A.60 种

B.72 种

C. 80 种

D.120 种

6. 已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为1, E 是 A1B1 上的点,则 E 到面 ABC1D1 的距
离为

3
A.
2

B. 2 2

1
C.
2

3
D.
3

7. 在10 件产品中,有 8 件合格品, 2 件次品.从这10 件产品中任意抽出 3 件,抽出的 3 件中

恰有1件次品的概率为

1
A.
15

4
B.
15

7
C.
15

8
D.
15

8. 设地球的半径为 R ,若甲地位于北纬 45?东经120? ,乙地位于南纬 75? 东经120? ,则甲、

乙两地的球面距离为

? A. R
3

? B. R
2

C. 2? R 3

9. AB 是 O 的直径,点 C 是 O 上的动点(点 C 不与 A、B 重合),

D. 3? R 4

过动点 C 的直线VC 垂直于 O 所在的平面, D、E 分别是VA、VC 的中点,
则下.列.结.论.错.误.的.是.

A. 直线 DE / / 平面 ABC

B. 直线 DE ?平面VBC

C. DE ? VB

D. DE ? AB

10. 来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名,执行北京奥运会的一号、二号和三号场地

的乒乓球裁判工作,每个场地由两名来自不同国家的裁判组成,则不同的安排方案总数


A. 48 种 D. 96 种

B. 64 种

C. 72 种

11. (x2 ?1)(x ?1)9 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ? a11x11 ,则 a1 ? a2 ? ? a10 的值为

A.1025

B. 1024

C. 1023

D. 1022

12. 考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中

任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于

A. 4 225
D. 4 75

B. 2 225

C. 2 75

第 II 卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填写到答题卡的相应位置.
13. A63 ? C63 ? _____ .(用数字作答) 14. 某射手射击一次命中的概率是 1 ,他连续射击 3 次且各次射击相互之间没有影响,那么
3

他恰好命中 2 次的概率为

.

15. 一个五位的自然数 abcde称为“凸”数,当且仅当它满足 a<b<c,c>d>e(如 12430,

13531 等),则在所有的五位数中,比 40000 大的“凸”数的个数是_____.(用数字作答)

16. 直三棱柱的侧棱长为 2 ,一侧棱到对面的距离不小于1,从此三棱柱中去掉以此侧棱为

直径的球所占的部分,余下的几何体的表面积与原三棱柱的表面积相等,则所剩几何体

的体积最小值为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,请 将解答过程填写在答题卡的相应位置. 17. (本小题满分 10 分)从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人参加学校辩论赛.
(Ⅰ)如果 4 人中男生和女生各选 2 人,有多少种选法? (Ⅱ)如果男生中的甲和女生中的乙至少有 1 人在内,有多少种选法?

18.(本小题满分 12 分)已知 ?1? x?n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等.
(Ⅰ)求 n 的值;
(Ⅱ)求第 4 项与第 8 项的系数之和.

19.(本小题满分 12 分)一个盒子中装有大小相同的 2 个红球和 n 个白球,从中任取 2 个球. (Ⅰ)若 n ? 5 ,求取到的 2 个球恰好是一个红球和一个白球的概率; (Ⅱ)若取到的 2 个球中至少有 1 个红球的概率为 3 ,求 n . 5

20. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底面ABCD 为 正 方 形 ,

PA ? 底面ABCD ,

AB ? AP , E 为 PB 的中点.

P

(Ⅰ)证明: AE ? 平面PBC ;

(Ⅱ)求二面角 B ? PC ? D 的大小.

E

A

D

B

C

21. (本小题满分 12 分)甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加
工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 1 ,乙机床加工的零件是一等品 4
而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 1 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概 12
率为 2 . 9
(Ⅰ)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率; (Ⅱ)若让每台机床各自加工 2 个零件(共计 6 个零件),求恰好有 3 个零件是一等品的概
率.

22.(本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB ? AC ,D、E 分别为 AA1、B1C

的中点,

DE

? 平面BCC1 ,二面角

A ? BD ? C 的大小为 ? 3

.

A1

C1

(Ⅰ)证明: DE / /平面ABC ; (Ⅱ)求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小.

B1 D

E

A C

B

桂林十八中 10 级高二下学期期中考试试卷 数 学 参考答案

一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂到答题卡的 相应位置.
1—12: DBB BB BCCDA DD
第 II 卷(共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填写到答题卡的相应位置.

13. 100

2
14.

9

三、简答题

15. 606

16. 2 ? ? 3

17、解:(Ⅰ) C52 ? C42 ? 60 ……..6 分(Ⅱ) C94 ? C74 ? 91 ………6 分
18、解:Tr?1 ? Cnr ??x?r ? ??1?r Cnr xr
(Ⅰ) Cn3 ? Cn7 ? n ? 10 ……..6 分
(Ⅱ)第 4 项的系数为: ??1?3 C130 ? ?120, 第 8 项的系数为: ??1?7 C170 ? ?120 ,
?两项的系数之和为? 240.……..6 分

19、解:(Ⅰ)记“取到的 2 个球恰好是一个红球和一个白球”为事

件 A . 1分

P( A) ? C21 ?C51

3分

C72

? 10 4分 21

(Ⅱ)记“取到的 2 个球中至少有 1 个红球”为事件 B , 5分

由题意,得 P(B) ? 1? p(B) 6分

?

1

?

Cn2 C2
n?2

7分

? 3 8分 5

化简得 3n2 ?11n ? 4 ? 0 , 9分

解得 n ? 4 ,或 n ? ? 1 (舍去), 10分
3
故 n ? 4 . 11分

答:(1)若 n ? 5,取到的 2 个球恰好是一个红球和一个白球的概率为 10 ;
21
(2) n ? 4 . 12分

20、(I )证明: AB ? AP, E PA且PB的中

? AE ? PB

AP ? 平面ABCD,?平面ABP ? 平面ABCD, 又BC ? AB,? BC ? 平面ABP,
AE ? 平面ABP,? AE ? BC

PB, BC ? 平面ABP ? AE ? 平面PBC

...................................................................................6分

? II ?解:作BM ? PC, BM与PC交于点M ,连结DM ,则

PB ? PD, BC ? CD, PC ? PC,??PBC ? ?PCD, ? DM ? PC, ??BMD即为二面角B ? PC ? D所成的平面角.

.......................................8分

在?BMD中, BD ? 2, BM ? DM ? 6 ,则 3

cos ?BMD ? BM 2 ? DM 2 ? BD2 ? ? 1 ,

2BM ? DM

2

..................................................10分

??BMD ? 2 ? , 3

...................................................................................11分

?二面角B ? PC ? D的大小为 2 ? . 3

...........................................................12分

21、解:(Ⅰ)设“甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品”

分 别 为 A、 、B C事 件 , 则 A、 、B C相 互 独 立 ,

则…………………………………………..1 分

? ? ??P
?

A?B

?1 4

??P ?

?

A?

?

??1?

P

?

B

???

?

1 4

............(1)

? ? ??P B ?C
?

?

1 12

?

??P ?

?

B

?

??1 ?

P

?C

???

?

1 12

............(2)

………………………………………………………

???P

?

A

?C

?

?

2 9

???P

?

A?

?

P

?C

?

?

2 9

.....................(3)

…..1 分

由(1)(3)得P ? B? ? 1? 9 P ?C ?,
8

代入(2)得27

?? P

?C

???2

?

51P

?C

?

?

22

?

0,

解得P

?C

?

?

2 3

, 或P

?C

?

?

11(舍去); 9

?P? A? ? 1 , P?B? ? 1

3

4

即甲乙丙三台机床各自加工零件是一等品的概率分别为1,1,2 . …………3 分
343
(Ⅱ)(1)设甲有 0 个一等品的概率为 P1 ,则

P1

?

? ??

2 ?2 3 ??

???????

1 ?2 4 ??

? C21

?1? 3

2 3

? C21

?

1? 4

3 4

?

? ??

2 ?2 ?

3 ??

? ??

?

7 81

………………………………2



(2)设甲有 1 个一等品的概率为 P2 ,则

P2

?

C21

1 3

?

2 3

?? ?????

1 4

2
? ??

?

? ??

1 3

2
? ??

?

? ??

3 4

2
? ??

? ???

2 3

2
? ??

?

C21

?

1 4

?

3 4

? C21

?

1 3

?

2? ?
3 ??

?

61 324

………………2



(3)设甲有 2 个一等品的概率为 P3 ,则

P3

?

? ??

1 3

?2 ??

?

? ?C21 ??

?

1 4

?

3 4

?

? ??

1 3

?2 ??

?

? ??

3 4

?2 ??

? C21

?

1 3

?

2?

3

? ??

?

21 648

……………………………2



所以,所求事件“恰好有三个零件是一等品”的概率为

P

?

P1

?

P2

?

P3

?

7 81

?

61 324

?

21 648

?

199 648

1分

………………………………………

22、(I )证明:取BC的中点M ,连结AM , EM ,则

1

1

DA/ / 2 BB1, EM / / 2 BB1,

? DA/ /EM ,?四边形AMED为平行四边形,

? DF / / AM ,又 AM ? ABC

? DF / /平面ABC.

............................................................4分

? II ?解:以A为原点,建立如图所示的空间

直角坐标系A-xyz

.........................................................................5分

设AB=1,AC=b,AA1=2c,则B ?1, 0, 0?,C ?0, b, 0?,

D

?

0,

0,

c

?,B1

?1,

0,

2c

?

,

E

? ??

1 2

,

b 2

,

c

? ??

?

DE

?

? ??

1 2

,

b 2

,

0

? ??

,

BC

?

?

?1,

b,

0?

DE ? 面BCC1,?DE ? BC,?DE ? BC ? 0,?b ? 1....................................7分

BC ? ??1,1, 0?, BD ? ??1, 0, c?

设面BCD的法向量n ? ? x, y, z?,



??n ? ??n

? ?

BC =0 BD=0

,

?

??x ? y ???x ? cz

? ?

0 0

, 令x

?

1, 则y

?

1,

z

?

1 c

,?

n

?

???1,1,

1 c

? ??

z A1

又面ABD的法向量AC ? ?0,1, 0?

由已知得:cos ? ? n ? AC , ? 1 ? 1

3 n ? AC

2

1

?

1

?

1 c2

?c ? 2 ................................................................9分 2

B1

D

E A

? ? ? ? ?n ? 1,1, 2 ,又B1C= ?1,1, ? 2

B

x cos n, CB1 ? n ? CB1
n ? CB1

?

?1?1? 2

1?1? 2 ? 1?1? 2

? ? 1 ....................................................11分 2

?

B1C与面BCD所成角为

? 6

.

..........................12分

C1 Cy


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