河北省献县宏志中学2012届高三数学理科仿真模拟21_图文


河北省献县宏志中学 2012 届高三数学理科仿真模拟卷 21

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.若复数 z ? 1? i ,则 z 等于( ) 1? i

A.-i

B.i

C.2i

D.1+i

2.已知集合 A ? ?x x ? 3? , B ? ?1, 2,3, 4? ,则 (CR A) ? B =( )

A .?4?

B .?3,4?

C . ?2,3,4?

D .?1,2,3,4?

3.已知函数 f (x) 是定义在区间[?a, a](a ? 0) 上的奇函数,若 g(x) ? f (x) ? 2 ,

则 g(x) 的 最 大 值 与 最 小 值 之 和 为

()

(A)0

(B)2

(C)4

4.已知? 为第三象限角,则 ? 所在的象 限是( )
2

A.第一或第二象限

B.第二或第三象限

C.第一或 第三象限

D.第二或第四象限

(D)不能确定

5.平行四边形 ABCD 中,A C 为一条对角线,若 AB =(2,4), AC =(1,3),则 AD · BD

等于

()

A.6

B.8

C.-8

D.-6

6.给出下列命题:(1)三点确定一个平面;(2)在空间中,过直线外一点只能作一条直线与该

直线平行;(3)若平面 ? 上有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? ;(4)若直线

a、b、c 满 足 a ? b、a ? c, 则 b // c . 其 中 正 确 命 题 的 个 数 是

()
A. 0 个

B.1 个

C. 2 个

D. 3 个

7.在等比数列{an}中,若公比 q

? 1 ,且 a2a8

?

6, a4

? a6

? 5 ,则

a5 a7

?(



(A) 5 6

(B) 6 5

(C) 3 2

(D) 2 3

8.右图是 2011 年底 CCTV 举办的全国钢琴、小提琴大赛比赛现场上七位评委为某选手打出的

分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别

为( )

A.5;1.6

B.85;1.6

C.85;0.4

D.5;0.4

9.已知 ?ABC 中,A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,a ? c ? 6 ? 2 ,A ? 75o ,则 b ? ( )

A.2

B.4+ 2 3

C.4— 2 3

D. 6 ? 2

10.设命题: p : a ? b则 1 ? 1 , q : 若 1 ? 0则ab ? 0. 给出以下 3 个复合命题,①p∧q;

ab

ab

②p∨q;③ ? p∧ ? q.其中真命题个数 ( )

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

11.一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图中△ABC 是边长为 2 的正三角形,俯视图为 正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为( ).

A.12

B. 2 3

C. 3

D.6

2

12.过双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a

? 0,b

?

0) 的右顶点

A 作斜率为 ?1的直线,该直线与双曲线的

两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? 1 BC ,则双曲线的离心率是 ( ) 2

A. 2

B. 3

C. 5

D. 10 Z§xx§k

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分)

13.已知圆 C : x2 ? y2 ? bx ? ay ? 3 ? 0(a,b 为正实数)上任意一点关于直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的

对称点都在圆 C 上,则 1 ? 3 的最小值为



ab

? x?a

14.设不等式组

? ?

y ?1

表示的平面区域是W ,若W 中的整点(即横、纵坐标均

??2x ? 3y ? 35 ? 0

为整数的点)共有 91个,则实数 a 的取值范围是

()

A. ?? 2,?1?

B. ?? 1,0?

C. ?0,1?

D. ?1,2?

15.已知函数 f (x) ? ?x3 ? ax 2 ? bx, (a,b ? R) 的图象如

图所示,它与 x 轴在原点处相切,且 x 轴与函数图象

所围区域(图中阴影部分)的面积为 ? ,则 a 的值 12





16.对于任意实数 a,b 定义运算 a*b=(a+1)(b+1)-1,给出以下结论:

①对于任意实数 a,b,c,有 a*(b+c)=(a*b)+(a*c);

②对于任意实数 a,b,c,有 a*(b*c)=(a*b)*c;

③对于任意实数 a,有 a*0=a,则以上结论正确的是

.(写出你认为正确的

结论的所有序号)

三、解答题(本大题共 6 个小题,总分 74 分)

17.已知函数 f (x) ? sin(?x ? ?), 其中? ? 0 ,| ? |? ? 2

(I)若 cos ? cos? ? sin ?? sin ? ? 0, 求? 的值;

4

4

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f (x) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于 ? , 3

求函数 f (x) 的解析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f (x) 的图像象左平移 m 个单位

所对应的函数是偶函数。

18.有人预测:在 2010 年的广州亚运会上,排球赛决赛将在中国队与日本队之间展开,据以往

2 统计, 中国队在每局比赛中胜日本队的概率为 3 ,比赛采取五局三胜制,即谁先胜三局谁就获
胜,并停止比赛 (Ⅰ)求中国队以 3:1 获胜的概率;
(Ⅱ)设? 表示比赛的局数,求? 的期望值。
(Ⅰ)设中国队以 3:1 获胜的事件为 A.

19.如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上, AB // EF ,矩形 ABCD 和圆 O 所在的

平面互相垂直.已知 AB ? 2 , EF ? 1 .

(Ⅰ)求证:平面 DAF ? 平面 CBF ;

C

(Ⅱ)求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小;

(Ⅲ)当 AD 的长为何值时,二面角 D ? FE ? B 的大小为 60? ?

DB

.H O

E

A

F M

20.已知定点 A( ?1,0 ),F( 2,0 ) ,定直线 l : x ? 1 ,不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它
2
到直线的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E ,过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点,直线 AB、AC 分 别交于点 M、N (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F ,并说明理由.

21.已知数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ?) 在函数 f (x) ? 3x 2 ? 2x 的图象上,

(1)求数列?an? 的通项公式;

? ? (2)设 bn

?

an

3 ? an?1

,求数列

bn

的前 n 项和Tn .

选做题: 22.(本小题 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

如图,△ABC 内接于⊙O,AB=AC,直线 MN 切⊙O 于点 C,BE∥MN 交 AC 于点 E.若 AB=6, BC=4,求 AE 的长.

23.(本小题 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

求直线 l:?????xy= =11+ -22tt (t 为参数)被圆 C:?????xy==33csoisnαα

(α 为参数)截得弦长.

24.(本小题 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 2x+y=1,x>0,y>0,求x+xy2y的最小值.

一、选择题

参考答案

1.【解析】选 B.因为 z ? 1? i ? (1? i)2 ? ?2i ? ?i.所以 z = i. 1? i (1? i)(1? i) 2

2.【解析】选 B A ? ?x x ? 3? , CR A ? ?x x ? 3?, ?(CR A) B =?3,4?。
3.【解析】选 C 因为函数 f (x) 是定义在区间[?a, a](a ? 0) 上的奇函数,所以 f (x)max ? f (x)min ? f (?a) ? f (a) ? 0, ? g(x)max ? g(x)min ? [ f (x)max ? 2] ? [ f (x)min ? 2] ? [ f (x)max ? f (x)min ] ? 4 ? 4.

4.【解析】选 D.
5.【解析】选 B 因为 AB =(2,4), AC =(1,3), 所以 AD ? AC ? AB ? (1,3) ? (2, 4) ? (?1, ?1), BD ? AD ? AB ? (?1, ?1) ? (2, 4) ? (?3, ?5).? AD BD ? (?1, ?1) (?3, ?5) ? 8.
6.【解析】选 B.(1)三点确定一个平面(三点不共线才行);(2)在空间中,过直线外一点只能
作一条直线与该直线平行(真命题);(3)若平面? 上有不共线的三点到平面 ? 的距离相等, 则 ? // ? (三点在平面 ? 、平面 ? 的异侧则两个平面相交);(4)若直线 a、b、c 满足 a ? b、a ? c, 则 a、b 可以异面。

7.【解析】选 D. a2a8 ? 6,?a4a6 ? 6, 又 a4 ? a6 ? 5,q ? 1, ?a4 ? 2, a6 ? 3, ? a5 ? a4 ? 2 .
a7 a6 3 学#科#
8.【解析】选 B

9.【解析】选 A. sin A ? sin 750 ? sin(300 ? 450 )

? sin 300 cos 450 ? sin 450 cos 300 ? 2 ? 6 4

由 a ? c ? 6 ? 2 可知, ?C ? 750 ,所以 ?B ? 300 , sin B ? 1 2

由正弦定理得 b ? a ?sin B ? sin A

2 ? 6 ? 1 ? 2 ,故选 A 2? 6 2
4

10.【解析】选 B.p 为假命题,q 为真命题,所以②为真命题。

11.【解析】选 C.侧视图的底为 3 ,高为 3 ,所以侧视图的面积为 3 2。

12.【解析】选 C.对于 A?a, 0? ,则直线方程为 x ? y ? a ? 0 ,直线与两渐近线的交点为 B,C,

B

? ? ?

a2 a?b

,

ab a?b

? ? ?

,

C(

a2 a?b

,

?

ab a?b

)

,则有

BC

?

(

2a2b a2 ? b2

,

?

2a2b a2 ? b2

),

AB

?

? ??

?

ab a?b

,

ab a?b

? ??



因 2AB ? BC,?4a2 ? b2,?e ? 5 .

二、填空题
13 . 【 解 析 】 直 线 l : x ? y ? 2 ? 0 过 圆 C 的 圆 心 , 所 以 a ? b ? 4 ,

?a

?

b

?

? ??

1 a

?

3 b

? ??

?

4

?

? ??

b a

?

3a b

? ??

?

4

?

2

3 , ?1 ? 3 ?1? ab

3。 2

答案:1? 3 2

14.【解析】选 C.

15.【解析】由题意知

f ?(0) ? 0 ? b ? 0. 所以 f (x) ? ?x3 ? ax2,由f (x) ? 0得x ? 0,或x ? a,由图像知a ? 0.

?? 0 (?x3 ? ax2 )dx ? 1 ,

a

12

?(?

1 4

x4

?

a 3

x3 )

0 a

?

1 4

a4

?

a 3

a3

?

1, 12

?a4 ? 1,

a ? 0,?a ? ?1.

答案:-1.

16.答案:②③

三、解答题

17.【解析】方法一:(I)由 cos ? cos? ? sin 3? sin ? ? 0 得 cos ? cos? ? sin ? sin ? ? 0

4

4

4

4

即 cos(? ? ?) ? 0 又| ? |? ? ,?? ? ?

4

2

4

(Ⅱ)由(I)得, f (x) ? sin(?x ? ? ) 依题意,得 T ? ?

4

23

又T ? 2? , 故? ? 3,? f (x) ? sin(3x ? ? )

?

4

函数

f

(x)

的图像向左平移

m

个单位后所对应的函数为

g(x)

?

sin

???3( x

?

m)

?

? 4

? ??

g(x) 是偶函数当且仅当 3m ? ? ? k? ? ? (k ? Z )

4

2

从而,最小正实数 m ? ? 12

方法二:(I)同方法一

即 m ? k? ? ? (k ? Z ) 3 12

(Ⅱ)由(I)得, f (x) ? sin(?x ? ? ) 4

又T ? 2? ,故? ? 3,? f (x) ? sin(3x ? ? )

?

4

依题意,得 T ? ? 23

函数

f

(x)

的图像向左平移 m

个单位后所对应的函数为

g(x)

?

sin

???3( x

?

m) ?

? 4

? ??

g(x) 是偶函数当且仅当 g(?x) ? g(x) 对 x ? R 恒成立

亦即 sin[?(3x ? 3m ? ? )] ? sin(3x ? 3m ? ? ) 对 x ? R 恒成立。

4

4

?sin(?3x) cos(3m ? ? ) ? cos(?3x) sin(3m ? ? )

4

4

? sin 3x cos(3m ? ? ) ? cos 3x sin(3m ? ? )

4

4

即 2sin 3x cos(3m ? ? ) ? 0 对 x ? R 恒成立。?cos(3m ? ? ) ? 0

4

4

故 3m ? ? ? k? ? ? (k ? Z )

4

2

?m ? k? ? ? (k ? Z ) 3 12

从而,最小正实数 m ? ? 12

Zxxk

18.【解析】若中国队以 3:1 获胜,则前 3 局中国队恰好胜 2 局,然后第 4 局胜.所以,

P( A)

?

C32

(

2 3

)

2

?

1 3

?

2 3

?

8 27

(Ⅱ)? ? 3, 4,5

P ?? ? 3? ? (2)3 ? (1)3 ? 1
3 3 3;

P ??

?

4?

?

P?

A

?

?

C32

(

1 3

)3

?

2 3

?

10 27

P?? ? 5? ?1? P?? ? 3? ? P?? ? 4? ? 8
27

所以所求的? 的期望值

E? ? 3? 1 ? 4 ? 10 ? 5? 8 ? 3 26 3 27 27 27

19.【解析】(Ⅰ)?平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB ,

平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB ,

? CB ? 平面 ABEF . Zxxk

? AF ? 平面 ABEF ,? AF ? CB ,

又? AB 为圆 O 的直径,? AF ? BF ,

? AF ? 平面 CBF .

? AF ? 平面 ADF ,?平面 DAF ? 平面 CBF .

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的证明,有 AF ? 平面 CBF ,? FB 为 AB 在

平面 CBF 上的射影,

因此, ?ABF 为直线 AB 与平面 CBF 所成的角.

? AB // EF ,?四边形 ABEF 为等腰梯形,

过点 F 作 FH ? AB ,交 AB 于 H .

AB ? 2 , EF ? 1 ,则 AH ? AB ? EF ? 1 .

2

2

在 Rt?AFB 中,根据射影定理 AF 2 ? AH ? AB ,得 AF ? 1.

sin ?ABF ? AF ? 1 ,? ?ABF ? 30? . AB 2
?直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为 30? .

(Ⅲ ) 设 EF 中点为 G ,以 O 为坐标原点, OA 、 OG 、 AD 方向 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴方向建立空间直角坐标系(如图)

设 AD ? t (t ? 0) ,则点 D 的坐标为 (1, 0, t)

在 Rt?AFH 中,? AH ? 1 , AF ? 1,? FH ? 3 .

2

2

zC

DB E

O

H

y

A

F M

x

?点 F 的坐标为 (1 , 3 ,0) ,点 E 的坐标为 (? 1 , 3 ,0) ,

22

22

? DF ? (? 1 , 3 ,?t) , DE ? (? 3 , 3 , ?t)

22

22

设平面 DEF 的法向量为 n1 ? (x, y, z) ,则 n1 ? DF ? 0 , n1 ? DE ? 0 .

?? ?

1 2

x

?

3 2

y ? tz ? 0,



? ??

?

3 2

x

?

3 y ? tz ? 0. 令 z ? 2

3 ,解得 x ? 0, y ? 2t

? n1 ? (0, 2t, 3)

取平面 BEF 的一个法向量为 n2 ? (0, 0, 1) ,依题意 n1 与 n2 的夹角为 60?

? cos 60? ? n1 ? n2 ,即 1 ? 0 ? 0 ? 3 , 解得 t ? ? 3 (负值舍去)

n1 ? n2

2 4t 2 ? 3 ?1

2

因此,当 AD 的长为 3 时,二面角 D ? FE ? B 的大小为 60? . 2

20.【命题立意】本题主要考查轨迹方程、直线方程、直线和双曲线相交交点问题、圆的性质 等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及推理运算能力. 【思路点拨】(Ⅰ)可直接设点,利用已知条件求轨迹方程,属送分题.
(Ⅱ)结合图形,要判断线段 MN 为直径的圆是否过点 F ,一从长度判断:点 F 到 MN 的中 点的距离是否是线段 MN 长度的一半,这个计算量更大些;二从位置关系判断:若 F 在以 MN 为直径的圆上,则 ?MFN 为直角, 即 MF ? NF ,因平面坐标系内点的坐标易求,从而转

化为向量的坐标运算,即判断 MF ? NF ? 0 是否成立.

(x ? 2)2 ? ( y ? 0)2 ? 2 x ? 1

【规范解答】(I)设 P(x, y)( y ? 0) ,则由题意知

2,

x2 ? y2 ? 1( y ? 0)

x2 ? y2 ? 1( y ? 0)

整理可得

3

. ∴ E 的方程的为

3

.

(II)①当直线 BC 与 x 轴不垂直时,设 BC 的方程为 y ? k(x ? 2)(k ? 0) ,

? ?

x

2

?

y2

? 1,

?3

由 ?? y ? k(x ? 2). 消去 y 得 (3 ? k)x2 ? 4k 2x ? (4k 2 ? 3) ? 0 .

由题意知, 3 ? k 2 ? 0 且 ? ? 0 .



B( x1 ,

y1 )

, C(x2 ,

y2 )



x1

?

x2

?

4k 2 k2 ?3



x1x2

?

4k 2 ? 3 k2 ?3

.

? ? y1 y2 ? k 2 (x1 ? 2)(x2 ? 2) ? k 2 x1x2 ? 2(x1 ? x2 ) ? 4

? k 2 ( 4k 2 ? 3 ? 8k 2 ? 4) ? ?9k 2

k2 ?3 k2 ?3

k2 ?3



∵ x1,x2 ? ?1 , ∴ 直 线 AB

y ? y1 (x ?1)

的 方 程 为 x1 ?1

,

因此 M 点的坐标为

(1 , 3y1 ) 2 2(x1 ?1) ,

FM ? (? 3 , 3y1 )

FN ? (? 3 , 3y2 )

2 2(x1 ?1) ,同理可得

2 2(x2 ?1) ,

FM ? FN ? (? 3) ? (? 3) ? 9 y1 y2



2

2 4(x1 ?1)(x2 ?1)

?81k 2

?

9 4

?

k2 ?3

4(

4k 2 ? 3 k2 ?3

?

4k 2 k2 ?3

? 1)

?

9 4

?

9 4

?

0

.

∴ FM ? FN ,即以线段 MN 为直径的圆过点 F .

②当直线 BC 与 x 轴垂直时,其方程为 x ? 2 ,则 B(2,3), C(2, ?3) ,

AB

的方程为

y ? x ?1 , 因 此

M

点的坐标为

(1 , 3) 22



FM

? (? 3 , 3) 22

.同理可得

FN ? (? 3 , ? 3) 2 2.

FM ? FN ? (? 3) ? (? 3) ?(? 3)? 3 ? 0



22

2 2 .∴ FM ? FN ,即以线段 MN 为直径的圆过点

F. 综上,以线段 MN 为直径的圆过点 F .
【方法技巧】利用方程组求解直线和圆锥曲线的交点问题是通用方法,判断垂直的问题可借 助向量的数量积解决.注重数形结合的思想,很多几何性质,从图形可直观体现出来.

21.【解析】(1)由题意可知: Sn ? 3n2 ? 2n

当 n ? 2, an ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2n ? 3(n ?1)2 ? 2(n ?1) ? 6n ? 5 ….4 分

又因为 a1 ? S1 ? 1………….. 5 分

所以 an ? 6n ? 5 ………….6 分

(2) bn

?

3 an an?1

?

3 (6n ? 5)(6n ? 1)

?

1( 1 2 6n ? 5

?

1 ) 。。。。。。。8 分 6n ?1

所以 Tn

?

1 (1 ? 2

1 7

?

1 7

?1 13

? ... ?

1 6n ? 5

?

1) 6n ?1

?

1 (1 ? 2

1) 6n ? 1)

?

3n ……12 分 6n ?1

22. 【解析】∵∠BCM=∠A,BE∥MN,∴∠BCM=∠EBC,∠A=∠EBC.又∠ACB 是公共角, ∴Δ ABC∽Δ BEC,∴ABCC=BECC.
∵AB=AC=6,BC=4,∴EC=BACC2=462=83,

∴AE=AC-EC=130.

23. 【解析】将直线 l 的方程?????xy==11+ -22tt (t 为参数)化为普通方程为:x+y=2,

将圆 C 的方程?????xy= =33csoisnαα

(α 为参数)化为普通方程为:x2+y2=9,

则圆心到直线 l 的距离 d=|0+0-2|= 2, 12+12

∴所求弦长为 2 r2-d2=2 9-2=2 7. 24. 【解析】∵2x+y=1,x>0,y>0,


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