2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.1简单几何体的结构三视图和直观图课件理_图文


§8.1 简单几何体的结构、三视图和直观图

内容索引

基础知识 题型分类

自主学习 深度剖析

课时作业

基础知识

自主学习

知识梳理

1.简单几何体的结构特征

(1)旋转体
①圆柱可以由 矩形 绕其一边所在直线旋转得到.

②圆锥可以由直角三角形绕其 直角边 所在直线旋转得到.
③圆台可以由直角梯形绕 直角腰 所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连

线所在直线旋转得到,也可由平行于底面的平面截圆锥得到.
④球可以由半圆或圆绕 直径 所在直线旋转得到.

(2)多面体 ①棱柱的侧棱都平行且相等 ,上、下底面是 全等 的多边形. ②棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. ③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是 相似 多边形. 2.直观图 画直观图常用 斜二测 画法,其规则是: (1)在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时,它们分别对应x′轴和 y′轴,两轴交于点O′,使∠x′O′y′= 45° ,它们确定的平面表示水 平平面;

(2) 已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x′轴 和 y′轴 的线段; (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行 1 于y轴的线段,长度为原来的 2 . 3.三视图 (1)主、俯视图 长对正 ;主、左视图 高平齐 ;俯、左视图 宽相等 ,前 后对应.

(2)在三视图中,需要画出所有的轮廓线,其中,视线所见的轮廓线 画实线,看不见的轮廓线面虚线. (3)同一物体放置的位置不同,所画的三视图可能不同. (4)清楚简单组合体是由哪几个基本几何体组成的,并注意它们的组 成方式,特别是它们的交线位置.

知识拓展 1.常见旋转体的三视图 (1)球的三视图都是半径相等的圆. (2)水平放置的圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形. (3)水平放置的圆台的主视图和左视图均为全等的等腰梯形. (4)水平放置的圆柱的主视图和左视图均为全等的矩形.

2.斜二测画法中的“三变”与“三不变”
? ?坐标轴的夹角改变, ? “三变”?与y轴平行的线段的长度变为原来的一半, ? ? ?图形改变. ? ?平行性不改变, ? “三不变”?与x,z轴平行的线段的长度不改变, ? ? ?相对位置不改变.

思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( × )
几何画板展示

(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( × )
几何画板展示

(3)夹在两个平行的平面之间,其余的面都是梯形,这样的几何体一定是 棱台.( × )
几何画板展示

(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.( × ) (5)用两平行平面截圆柱,夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.( × ) (6)菱形的直观图仍是菱形.( × )

考点自测

1.(教材改编)下列说法正确的是 A.相等的角在直观图中仍然相等

答案

解析

B.相等的线段在直观图中仍然相等 C.正方形的直观图是正方形 D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行

由直观图的画法规则知,角度、长度都有可能改变,而线段的平
行性不变.

2.(2016· 宝鸡千阳中学二模)已知某几何体的三视图如图 所示(单位长度:cm),则此几何体的表面积是
答案 解析

A.(16+6 2) cm

2

B.22 cm

2

几何画板展示

C.(12+6 2) cm2

D.(18+2 3) cm2

由三视图可知,该几何体为三棱柱.三棱柱的表面积为5个面的面积之和,
又因为底面是等腰直角三角形,直角边长为2,棱柱的高为3, 1 所以 S=2S 底+S 侧=2×2×2×2+3×(2 2+2×2) 2 =16+6 2(cm ).

3.(教材改编)如图,直观图所表示的平面图形是 A.正三角形 C.钝角三角形 B.锐角三角形 D.直角三角形

答案

解析

由直观图中, A′C′∥y′ 轴, B′C′∥x′ 轴, 还原后原图 AC∥y 轴, BC∥x 轴 . 直观图还原为平面 图形是直角三角形.故选D.

4.(2016· 长春三模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
A.20 B.18 C.14+2 3 D.14+2 2
答案 解析

5.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体 14 答案 解析 3 积是______.
由四棱台的三视图可知, 台体上底面面积 S1=1×1 =1,下底面面积 S2=2×2=4,高 h=2,代入台 1 1 体的体积公式 V = 3 (S1 + S1S2 + S2)h = 3 ×(1 + 14 1×4+4)×2= 3 .

题型分类

深度剖析

题型一 简单几何体的结构特征 例1 给出下列命题:

①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;
②在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱 为直四棱柱; ③存在每个面都是直角三角形的四面体; ④棱台的侧棱延长后交于一点. ②③④ 其中正确命题的序号是________.
答案 解析

思维升华
(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义,真正把握几何体的 结构特征,可以根据条件构建几何模型,在几何模型中进行判断; (2)解决本类题目的技巧:三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的 几何模型,有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概 念类的命题进行辨析.

跟踪训练1

(1)以下命题:

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;

②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;

④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.
其中正确命题的个数为
答案 解析

A.0

B.1

C.2

D.3

命题①错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥;

命题②错,因为这条腰必须是垂直于两底的腰;命题③对;
命题④错,必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以,故选B.

(2)给出下列四个命题:
①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱;

②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥;
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体;

④底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱.
答案 ①②③ 其中不正确的命题为________. 解析

题型二 简单几何体的三视图 命题点1 已知几何体,识别三视图 例2 (2016· 济南模拟 ) 如图,多面体 ABCD -

EFG 的底面 ABCD 为正方形, FC = GD = 2EA ,
其俯视图如图所示,则其主视图和左视图正确

的是

答案

解析

几何画板展示

命题点2 已知三视图,判断几何体的形状
例3 (2016· 全国乙卷 ) 如图,某几何体的三视图是三
解析

个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该
几何体的体积是28π ,则它的表面积是 答案
3

A.17π

B.18π

C.20π

D.28π

命题点3 已知三视图中的两个视图,判断第三个视图 例4 (2016· 石家庄质检)一个三棱锥的主视图和俯视图如
答案 解析
几何画板展示

图所示,则该棱锥的左视图可能为

由题图可知,该几何体为如图所示的三棱锥,其中平 面ACD⊥平面BCD,故选D.

思维升华
三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图.注意主视图、左视图和俯视图的观察方向, 注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示. (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图, 还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式 . 当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否 符合. (3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图, 明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.

跟踪训练 2

(1)(2016· 全国丙卷 ) 如图,网格纸上小
答案 解析

正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视
图,则该多面体的表面积为

A.18+36 5 C.90

B.54+18 5 D.81

由题意知,几何体为平行六面体,边长分别为 3,3, 45,几何体的表面 积 S=3×6×2+3×3×2+3× 45×2=54+18 5.

(2)如图是一几何体的直观图、主视图和俯视图,

则该几何体的左视图为

答案

解析

几何画板展示

由直观图、主视图和俯视图可知,该几何体的左视图应为面 PAD,且EC 投影在面PAD上,故B正确.

题型三 空间几何体的直观图

例5

(1) 已 知 正 三 角 形 ABC 的 边 长 为 a , 那 么 △ABC 的 平 面 直 观 图
答案 解析

△A′B′C′的面积为

3 2 A. 4 a

3 2 B. 8 a

6 2 C. 8 a

6 2 D. 16 a

(2)如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其 中O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,则原图形是 A.正方形 C.菱形 B.矩形 D.一般的平行四边形
答案 解析

如图,在原图形 OABC 中,应有 OD=2O′D′ =2×2 2=4 2(cm),CD=C′D′=2 cm.
∴OC= OD2+CD2= ?4 2?2+22=6(cm),

∴OA=OC,故四边形OABC是菱形.故选C.

思维升华
用斜二测画法画直观图的技巧
在原图形中与 x 轴或 y 轴平行的线段在直观图中与 x′ 轴或y′ 轴平行,

原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线,原图
中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用

平滑的曲线连接而画出.

跟踪训练3

如图所示,△A′B′C′是△ABC的直观

图,且△A′B′C′是边长为a的正三角形,则△ABC 6 2 a 答案 解析 的面积为______. 2

现场纠错系列10

空间几何的三视图

典例

将正方体 ( 如图 1 所示 ) 截去两个三

棱锥,得到如图2 所示的几何体,则该几 何体的左视图为

错解展示

现场纠错

纠错心得

几何画板展示

确定几何体的三视图要正确把握投影方向,可结合正方体确定点线的 投影位置,要学会区分三视图中的实虚线.

课时作业

1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过
程中构造的一个和谐优美的几何体 . 它由完全相同的四个曲

面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个
扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图1,图2中四

边形是为体现其直观性所作的辅助线,当其主视图和左视图
完全相同时,它的主视图和俯视图分别可能是 答案 A.a,b √ B.a,c
解析

图1

C.c,b

D.b,d
图2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2.(2016· 全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几 何体的三视图,则该几何体的表面积为 答案 A.20π B.24π C.28π √ D.32π
解析

由三视图可知,组合体的底面圆的面积和周长均为4π,

圆锥的母线长l= ?2 3?2+22=4,所以圆锥的侧面积为 1 S锥侧= ×4π×4=8π,圆柱的侧面积S柱侧=4π×4=16π, 2 所以组合体的表面积S=8π+16π+4π=28π,故选C.

1

2

3

4

5

6

7

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3.(2016· 大连一模)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 点P是棱CD上一点,则三棱锥P-A1B1A的左视图是
答案 解析


在长方体ABCD-A1B1C1D1中,从左侧看三棱锥 P-A1B1A,B1、A1 、A

的投影分别是C1、D1、D;AB1的投影为C1D,且为实线,PA1的投影为
PD1,且为虚线.故选D.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

4.(2015· 北京 ) 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥
最长棱的棱长为 答案
A.1 B. 2
解析

C. 3 √

D.2

根据三视图,可知该几何体的直观图为如图所示的 四 棱 锥 V - ABCD , 其 中 VB⊥ 平 面 ABCD , 且 底 面 ABCD 是边长为 1 的正方形, VB = 1. 所以四棱锥中最 长棱为VD.连接BD,易知BD=
2 2 VB + BD = 3. VD=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2 ,在Rt△VBD中,

5.(2016· 黄山模拟)一个正方体截去两个角后所得几何体 的主视图、俯视图如图所示,则其左视图为
答案 解析


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

6. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为 ① 如图所示的一个正方形,则原来的图形是________.
答案 解析

由题意知,平面图形的直观图为正方形,且边长为 1,对角线长为 2,所 以原图形为平行四边形,位于 y 轴上的对角线长为 2 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是上 底面 A1B1C1D1 内一动点,则三棱锥 P - ABC 的主 1 视图与左视图的面积的比值为____.
答案 解析

如题图所示,设正方体的棱长为 a,则三棱锥 P-ABC 的主视图与左视 1 2 图都是三角形,且面积都是2a ,故面积的比值为 1.

1

2

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8.(2015· 北京改编)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积
2+2 5 是________.
答案 解析

1

2

3

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7

8

9

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9.某几何体的三视图如图所示.

(1)判断该几何体是什么几何体? 解答
1 该几何体是一个正方体切掉两个4圆柱后得到的几何体.

(2)画出该几何体的直观图.

解答

直观图如图所示.

1

2

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10.某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的主视图中,这条棱的投影 是长为 6 的线段,在该几何体的左视图与俯视图中,这条棱的投影分 别是长为a和b的线段,求a+b的最大值. 解答

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

*11.已知正三棱锥V-ABC的主视图和俯视图如图所示. (1)画出该正三棱锥的左视图和直观图; 如图.
解答

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

(2)求出左视图的面积.
左视图中 VA=
2

解答

2 3 4 -?3× 2 ×2 3?2= 12=2 3,

1 则 S△VBC=2×2 3×2 3=6.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11


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