专题2.4.1+平面向量数量积的物理背景及其含义-2018-2019学年高一数学人教A版必修四导学案+Word版含解析


精心备战 ,精神 饱满; 小心开 战,经 受考验 ;沉着 应战, 曙光初 现;衷 心攻战 ,胜利 见面; 成功结 战,斩 将过关 。高考 临近, 愿你这 位久经 沙场的 战士, 顺风扬 帆,一 路向前 ,金榜 如愿! 【情景激趣我爱读】 1 通过阅读教材功是两个向 量的一种新运算. 2.从求“功”运算中抽象 出向量的数量积定义. 【学习目标我预览】 学习目标 掌握平面向量的数量 积及其几何意义;掌握 平面向量数量积的重 要性质及运算律; 实现地点 “基础知识我填充”→3,1; “基础题型我先练”→1,2, 5; “典型例题我剖析”→典例 1; “变式思维我迁移”→ 1; “方法技巧我感悟” →4; “易错问题我纠错” →1; “课 后巩固我做主”→2、4、5、6、7、10、12、14、17、 18. 平面向量数量积的定 义及运算律的理解和 平面向量数量积的应 用。 “基础知识我填充”→2; “基础题型我先练”→3,4; “典型例题我剖析”→典例 2,例 3; “变式思维我迁移” →2,3 方法技巧我感悟”→1、2; “课后巩固我做主” →1、3、5、8、9、11、13、15、16、19 【基础题型我先练】 【基础知识我填充】 1. 数量积(或内积); 投影.; 0.乘积. 2. b·a. ; a·c + b·c. ; a·b = 0. ; a·b =|a||b| 3. -|a||b|.; |a||b|. 【典型例题我剖析】 典例 1: 我的基本思路:(1)利用数量积的运算律将待求式展开,转化为 求向量 a 与 b 的数量积与各自长度的平方; → → (2)只需求AB与BC的夹角的余弦值即可,依据图形可知AB与BC的 → → 【变式思维我迁移】 1 我的基本思路:解答本题的关键是弄清题中所 涉及的向量的夹角. 我 的 解题 过程 :: (1) AB. 与 . AC 的 夹角 为 60°. 夹角为∠ABC 的补角,而∠ABC 的余弦值可以在直角三角形中求 出. 我的解题过程: (1)(2a + 3b)·(3a - 2b) = 6a - 4a·b + 9a·b-6b =6×4 +5×4×5×cos60°-6×5 =-4. (2)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=4,故 BC=3,且 → → 3 cos∠ABC= ,AB与BC的夹角 θ =180°-∠ABC, 5 → → → → 3 故AB·BC=-|AB||BC|cos∠ABC=-5×3× =-9. 5 我的感悟点评:本例第 题中,在利用向量的数量积公式 2 2 2 2 ∴ AB. AC = | AB. || . AC |cos 60°=1×1× 1 = . 2 (2) AB 与 BC 的夹角为 120°. 1 2 ∴ AB.BC = | AB || BC |cos 120° = 1 1 1×1×(- )=- . 2 2 (3) BC 与 AC 的夹角为 60°. ∴ BC. AC =| BC || AC |cos 60° 1 1 =1×1× = . 2 2 我的感悟点评:求两向量数量积的步骤是:(1) 求 a 与 b 的夹角;(2)分别求|a|,|b|;(3)求数 量积,即 a·b=|a||b|cos θ .应注意书写时 a 与 b 之间用“·”连接,而不能用“×”连接, 也不能省去. → → 时,AB与BC的夹角并不等于△ABC 中的∠ABC,而是等于∠ABC 的 补角,这一点必须引起高度重视. 典例 2: 我的基本思路:将几何问题转化为向量问题,通过数量积的运 算解决问题. → → 我的解题过程:如图,设AB=a ,AD =b ,则向量AB,AD 的夹角 → 1 为 60°,∴a·b=|a||b|cos60°=3×2× =3,又DB=a-b, 2 → → → 2. 我的基本思路:要求 |a - b| ,利用模长公式 |a-b|= |a| -2a·b+|b| ,只需求 2a·b 即 可. 我的解题过程:由已知,|a+b|=4, 2 2 ∴|a+b|2=42, ∴a2+2a·b+b2=16.① ∵|a|=2,|b|=3, ∴a2=|a|2=4,b2=|b|2=9, 代入①式得 4+2a·b+9=16,即 2a·b=3. AF=a+ b, → ∴ | DB | = |a - b| = 1 2 a-b 2 = |a| -2a·b+|b| = 2 2 又∵(a-b) =a -2a·b+b =4-3+9=10, ∴|a-b|= 10. 我的感悟点评:利用数量积求向量的模时,要 2 2 2 3 -2×3+2 = 7, 2 2 掌握此类问题的处理方法: (1)a·a=a =|a |=|a| 或|a|= a·a. (2)|a±b|= |a| ±2a·b+|b| . 2 2 2 2 2 1 | AF | = |a + b| = 2 1 2 2 3 +3+ ×2 = 13. 4 → 1 a+ b 2 2 = 1 2 |a| +a·b+ |b| = 4 2 本题也可用结论|a+b| +|a-b| =2|a| + 2|b| 来求. 2 2 2 2 我的感悟点评:求向量的长度,关键是合理运用性质|a|= a 以及完全平方式.此外就是数量积公式的合理运用. 2 3. 典例 3. 我的基本思路:解答本题可先通过向量运算将变量 k,t 从向量 中分离出来,形成一个函数问题,再利用函数知识,求 k 的最小 值. 我的解题过程解:因为 a⊥b,所以 a·b=0, 又由已知得[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0, 所以-ka +t(t-3)b =0,因为|a|=2,|b|=1, 所以-4k+t(t-3)=0, 1 2 1 3 2 9 所以 k= (t -3t)= (t- ) - (t≠0), 4 4 2 16 3 9 故当 t= 时,k 取最小值- . 2 16 我的感悟点评:(1

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