河北省献县宏志中学2012届高三数学理科仿真模拟19


河北省献县宏志中学 2012 届高三数学理科仿真模拟卷 19

第 I 卷 (选择题, 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的.)

1. 复数 z ? 3 ? i 的虚部为 2?i

A.

B. ?1

2. sin15? ? cos165? 的值为

C.

D. ? i

A. 2 2

B. ? 2 2

C. 6 2

D. ? 6 2

3. 已知等差数列?an ?满足 a2 ? 3, Sn ? Sn?3 ? 51 (n ? 3) , Sn ? 100 ,则 n 的值为

A. 8

B. 9

C.10

D.11

4. 在 ?ABC 中, AD 为 BC 边上的中线, AC ? 2 AB ? 2 AD ? 4 ,则 BD ?

A. 3

B. 2

C. 6

D. 3

5. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是

A. 1

B.

2

C. 3

D. 2

2

1

6. 已知命题 P :有的三角形是等边三角形,则 A. ?P :有的三角形不是等边三角形 B. ?P :有的三角形是不等边三角形

1 正视图

C. ?P :所有的三角形都是等边三角形

D. ?P :所有的三角形都不是等边三角形

1

1 1
侧视图

7. 阅读右面的程序框图,若输入 p ? 5, q ? 6 , 则输出 a, i 的值分别为 A. a ? 5,i ? 1

俯视图

B. a ? 5,i ? 2

C. a ? 15,i ? 3

D. a ? 30,i ? 6

8.

函数

f

(x)

?

3cos ?x 2

? log 1
2

x 的零点的个数是

A. 2 C. 4

B. 3 D. 5

9. 某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示正方形 ABCD(边长为 3 个 单位)的顶点 A 处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,
如果掷出的点数为( i ? 1,2,?6 ),则棋子就按逆时针方向行走个单位,一直循环下去.则

某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到

D

C

点 A 处的所有不同走法共有

A. 22 种 B. 24 种 C. 25 种 D. 36 种

? y?x

A

B

10.设不等式组

? ?

y

?

?x

表示的平面区域为

A

,不等式

y

?

ax 2

?

b



b

?

0

,b

为常数)表

?? y ? 1

示的平面区域为 B , P(x, y) 为平面上任意一点, p :点 P(x, y) 在区域 A 内, q :点

P(x, y) 在区域 B 内,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是

A. 0 ? a ? 1 ? b B. 0 ? a ? 1 ? b

C. 0 ? a ? 1 ? b

D. a ? 1 ? b

11.已知二面角? ? l ? ? 的平面角为 ? ,点 P 在二面角内, PA ? ? , PB ? ? , A, B 为垂

足,且 PA ? 4, PB ? 5, 设 A, B 到棱的距离分别为 x, y ,当? 变化时,点 (x, y) 的轨迹方

程是

A. x 2 ? y 2 ? 9(x ? 0)

B. x 2 ? y 2 ? 9(x ? 0, y ? 0)

C. y 2 ? x 2 ? 9( y ? 0)

D. y 2 ? x 2 ? 9(x ? 0, y ? 0)

12. 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,F 为其焦点,为其准线,过 F 任作一条直线交抛物线于

A 、 B 两点, A? 、 B? 分别为 A 、 B 在上的射影, M 为 A?B? 的中点,给出下列命题: ① A?F ? B?F ; ② AM ? BM ; ③ A?F ∥ BM ;

④ A?F 与 AM 的交点在 y 轴上;

⑤ AB? 与 A?B 交于原点.
其 中真命题的个数为
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个

D. 5 个 学#科#

第Ⅱ卷 (非选择题, 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题后的横线上.)
13. 某市有三类医院,甲类医院有 4000 病人,乙类医院有 2000 病人,丙类医院有 3000 病人, 为调查三类医院的服务态度,利用分层抽样的方法抽取 900 人进行调查,则从乙类医院 抽取的人数为 _____________ 人.
14. 已知三棱锥 O ? ABC , ?BOC ? 90? , OA ? 平面 BOC ,其中
AB ? 10, BC ? 13, AC ? 5 , O, A, B,C 四点均在球 S 的表面上,则球 S 的 表面积为 ____________ .
15. 已知集合 M ? {(x, y) 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1} 表示的区域为 A ,

集合 N ? {(x, y) y ? x2 ,0 ? x ? 1,0 ? y ? 1}表示的区域为 B ,

向区域 A 内随机抛掷一粒豆子,则豆子落在区域 B 内的概率为 ___________ .

16. 若 f (x) ? h(x) ? ax ? b ? g(x) , 则 定 义 h(x) 为 曲 线 f (x), g(x) 的 ? 线 . 已 知

f (x) ? tan x, x ?[0, ? ) ,g(x) ? sin x, x ?[0, ? ) ,则 f (x), g(x) 的? 线为 ________ .

2

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字 说明,证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? 3 sin x cos(x ? ? ) ? 3 . 34
(Ⅰ) 求函数 f (x) 的单调递增区间;

(Ⅱ) 已知 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边长分别为 a,b, c ,若 f ( A) ? 0 , a ? 3,b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S .
18.(本小题满分 12 分)
已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,底面三角形 ABC 为正三角形,侧棱 AA1 ? 底 面 ABC , AB ? 2, AA1 ? 4 , E 为 AA1 的中点, F 为 BC 中点. (Ⅰ) 求证:直线 AF // 平面 BEC1 ; (Ⅱ)求平面 BEC1 和平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.
19. (本小题满分 12 分)
改革开放以来,我国高等教育事业有了突飞猛进的发展,有人记录了某村 2001 到 2010 年十年间每年考入大学的人数.为方便计算, 2001 年编号为, 2002 年编号为 2 ,…, 2010 年编号为10 .数据如下:
年份(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数(y) 3 5 8 11 13 14 17 22 30 31
(Ⅰ)从这10 年中随机抽取两年,求考入大学人数至少有年多于15 人的概率; (Ⅱ)根据前 5 年的数据,利用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归方程 y ? b?x ? a? ,并计算

第 8 年的估计值和实际值之间的差的绝对值.

20.(本小题满分 12 分)

已知椭圆 C : x 2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?

b

?

0)



F1 ,

F2

分别为左,右焦点,离心率为

1 2

,点

A

在椭圆 C 上, AF1 ? 2 , AF2 F1 A ? ?2 AF2 ? F1 A ,过 F2 与坐标轴不垂直的直线交

椭圆于 P, Q 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)在线段 OF2 上是否存在点 M (m,0) ,使得以线段 MP, MQ 为邻边的四边形是菱形? 若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? x2 ? 2ax ? 2a ln x ( x ? 0 , a ? R ), g(x) ? ln 2 x ? 2a 2 ? 1 . 2
(Ⅰ)证明:当 a ? 0 时,对于任意不相等的两个正实数 x1 、 x2 ,均有

f (x1 ) ? f (x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) 成立;

2

2

(Ⅱ)记 h(x) ? f (x) ? g(x) , 2
(ⅰ)若 y ? h?(x) 在 ?1,???上单调递增,求实数 a 的取值范围;

(ⅱ)证明: h(x) ? 1 . 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 Z&xx&k

如图,直线 AB 经过⊙ O 上的点 C ,并且 OA ? OB, CA ? CB, ⊙ O 交直线 OB 于 E ,D ,
连接 EC,CD . (Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙ O 的切线; (Ⅱ)若 tan ?CED ? 1 , ⊙ O 的半径为 3 ,求 OA 的长.
2

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

已知在直角坐标系

xOy

中,圆锥曲线

C

的参数方程为

? ? ?

x? y?

2 cos? 3 sin?

(?

为参数),定点

A(0,? 3) , F1, F2 是圆锥曲线 C 的左,右焦点.
(Ⅰ)以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求经过点 F1 且平行于直线 AF2 的
直线的极坐标方程;
(Ⅱ)在(I)的条 件下,设直线与圆锥曲线 C 交于 E, F 两点,求弦 EF 的长.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
设函数 f (x) ? 2x ? 1 ? x ? 2 . (Ⅰ)求不等式 f (x) ? 2 的解集;

(Ⅱ)若 ?x ? R , f (x) ? t 2 ? 11 t 恒成立,求实数的取值范围. 2

参考答案

一、选择题:(每小题 5 分,共计 60 分)

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

答案 A

B

C

C

A

D

D

D

C

D

B

D

二、填空题:(每小题 5 分,共计 20 分)

13. 200
三、解答题:

14. 14?

15. 1 3

17.(本小题满分 12 分)

(Ⅰ) f (x) ? 3 sin x(cos x cos ? ? sin x sin ? ) ? 3

3

34

16. y ? x

? 3 sin x cos x ? 3 sin 2 x ? 3

2

2

4

? 3 sin 2x ? 3 cos 2x

4

4

? 3 sin(2x ? ? ) ……………………………………………… 3 分

2

3

令 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z ,

2

3

2

得 k? ? 5? ? x ? k? ? ? , k ? Z ,

12

12

所以函数

f (x) 的单调递增区间为 ???k?

?

5? 12

, k?

?

? 12

???,

k

?

Z

……

6分

(Ⅱ)? f ( A) ? 0 ,? 3 sin(2A ? ? ) ? 0 ,解得 A ? ? 或 A ? 5? ,

2

3

3

6

又 a ? b ,故 A ? ? …………………………………………8 分 3

由 a ? b ,得 sin B ? 1,则 B ? ? , C ? ? ,………… 10 分

sin A sin B

2

6

所以 S ? 1 ab sin C ? 3 .……………………………………12 分

2

2

18.(本小题满分 12 分)
法一(Ⅰ)取 BC1 的中点为 R ,连接 RE, RF ,

则 RF // CC1 , AE // CC1 ,且 AE ? RF ,…………………………3 分 则四边形 AFRE 为平行四边形, 则 AF // RE ,即 AF // 平面 REC1 .………………………………6 分

(Ⅱ)延长 C1E 交 CA 延长线于点 Q ,连接 QB ,

则 QB 即为平面 BEC1 与平面 ABC 的交线,

且 BC ? BQ,C1B ? BQ ,

则 ?C1BC 为平面 BEC1 和平面 ABC 所成的锐二面角的平面角.……8 分

在 ?BCC1中, cos ?C1BC

?

2 25

?

5 .…………………………12 分 5

法二 取 B1C1 中点为 S ,连接 FS ,

以点 F 为坐标原点, FA 为 x 轴, FB 为 y 轴, FS 为 z 轴建立空间直角坐标系,

则 A( 3,0,0), B(0,1,0), F (0,0,0),C(0,?1,0) ,

A1 ( 3,0,4), B1 (0,1,4),C(0,?1,4), E( 3,0,2) ,……………………2 分

(Ⅰ)则 AF ? (? 3,0,0) , BE ? ( 3,?1,2), BC1 ? (0,?2,4) ,

设平面 BEC1 的法向量为 m ? (x1, y1, z1 ) ,

则m?

BE

?

0, m ?

BC1

?

? 0 ,即 ?

3x1 ? y1 ? 2z1

?? 2 y1 ? 4z1 ? 0

?

0 ………………4



令 y1 ? 2 ,则 x1 ? 0, z1 ? 1,即 m ? (0,2,1) ,所以 AF ? m ? 0 , 故直线 AF // 平面 BEC1 .………………………………………………6 分

(Ⅱ)设平面 ABC 的法向量 n ? (0,0,1) ,

则 cos? ? m ? n ? 5 .………………………………… ……………12 分 mn 5

19.(本小题满分 12 分)
(Ⅰ)设考入大学人数至少有 1 年多于 15 人的事件为 A



P(

A)

?

1

?

C62 C120

?

2 ;……………………………………………4 分 3

(Ⅱ)由已知数据得
n
? x ? 3, y ? 8 , xi yi ? 3 ? 10 ? 24 ? 44 ? 65 ? 146 , i ?1
n
? xi 2 ? 1 ? 4 ? 9 ? 16 ? 25 ? 55 ,………………………………7 分
i ?1
则 b? ? 146 ? 5 ? 3? 8 ? 2.6 , a? ? 8 ? 2.6 ? 3 ? 0.2 ,……………9 分 55 ? 5 ? 9
则回归方程为 y ? 2.6x ? 0.2 ,……………………………………10 分

则 第 8 年的估计值和真实值之间的差的绝对值为 2.6 ? 8 ? 0.2 ? 22 ? 1.……12 分

20.(本小题满分 12 分)

解:(1)由已知 e ? 1 ,所以 2c ? a , 2

AF1

? 2,

AF2

? 2a ? 2

又因为

AF2

F1 A

? ?2AF2

? F1 A ,所以 cos ?F1 AF2

?

1 ,-------------------------------- 2 分 2

由余弦定理 a 2 ? 4 ? (2a ? 2)2 ? 2 ? 2(2a ? 2) ? 1 ? a 2 ? 4a ? 4 ? 0 ? a ? 2 ,----4 分 2

所以 c ? 1 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,所以椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1.-------- -----------------------5 分 43

(2)假设存在点 M (m,0) 满足条件,设 P(x1, y1 ) ,Q(x2 , y2 ) ,直线的方程为 y ? k(x ?1) ,

联立:

?y ??3x 2

? ?

k(x ?1) 4 y 2 ? 12

?

(3

?

4k 2 )x2

? 8k

2x

?

4k 2

? 12

?

0 ,则

x1

?

x2

?

8k 2 3 ? 4k 2

,----------------------------------------------------------------------------7



x1 x2

?

4k 2 ?12 3 ? 4k 2

MP ? (x1 ? m, y1 ), MQ ? (x2 ? m, y2 ), PQ ? (x2 ? x1, y2 ? y1 ), MP ? MQ ? (x2 ? x1 ? 2m, y2 ? y1 ), 由题知 (MP ? MQ) ? PQ ? (x2 ? x1 ? 2m)(x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? 0 , 因为 x2 ? x1 ? 0 , Zxxk 所以 x2 ? x1 ? 2m ? k( y2 ? y1 ) ? 0 ,即 x2 ? x1 ? 2m ? k 2 (x2 ? x1 ? 2) ? 0 ,

则 8k 2 ? 2m ? k 2 ( 8k 2 ? 2) ? 0 ,

3 ? 4k 2

3 ? 4k 2

所以 m ? k 2 ,---------------------------------------------------------------------10 分 3 ? 4k 2

k 2 ? 3m ? 0 ? 0 ? m ? 1

1? 4m

4

,又 M (m,0) 在线段 OF2 上,则 0 ? m ? 1,

故存在 m ? (0, 1 ) 满足题意.-----------------12 分 4

21.(本小题满分 12 分)

(Ⅰ)证明:

f

(x1 ) ? 2

f

(x2 )

?

x12

? x22 2

? a(x1

?

x2 ) ? a ln(x1x2 )



f

(

x1

? 2

x2

)

?

?? ?

x1

? 2

x2

?2 ? ?

?

a( x1

?

x2

)

?

a

ln?? ?

x1

? 2

x2

?2 ? ?



? ? x12

?

x22

? ?? x1

?

x2

2
? ?

?

x1 ? x2

2

? 0 ,则 x12 ? x2 2

?

??

x1

?

x2

?2 ?



2 ?2?

4

2

?2?

ln(x1x2 )

?

ln?? ?

x1

? 2

x2

??2 ,?a ?

?

0

,则

?

a

ln( x1 x2

)

?

?a

ln?? ?

x1

? 2

x2

?? 2 ?

,②

由①②知 f (x1 ) ? f (x2 ) ? f ?? x1 ? x2 ?? .……………………………… 3 分

2

?2?

? ? (Ⅱ)(ⅰ) h(x) ? 1 ?x ? a?2 ? ?ln x ? a?2 ? 1 ,

2

4

h?(x) ? x ? a ? ln x ? a , xx

令 F (x) ? x ? a ? ln x ? a ,则 y ? F (x) 在 ?1,???上单调递增.
xx

F ?(x) ? x2 ? ln x ? a ? 1 ,则当 x ? 1时, x2 ? ln x ? a ? 1 ? 0 恒成立, x2

即当 x ? 1时, a ? ?x 2 ? ln x ?1 恒成立. …………………………… 5 分

令 G(x) ? ?x2 ? ln x ?1,则当 x ? 1时, G?(x) ? 1 ? 2x2 ? 0 , x
故 G(x) ? ?x2 ? ln x ?1在 ?1,???上单调递减,从而 G(x)max ? G(1) ? ?2 ,
故 a ? G(x)max ? ?2 .……………………………………………………7分

(ⅱ)法一:

? ? h(x) ? 1 ?x ? a?2 ? ?ln x ? a?2 ? 1 ,

2

4

令 H (x) ? ?x ? a?2 ? ?ln x ? a?2 ,

则 H (x) 表示 y ? ln x 上一点 ?x, ln x?与直线 y ? x 上一点 ?a, a? 距离的平方.… 8 分
令 M (x) ? x ?1 ? ln x ,则 M ?(x) ? 1 ? 1 , x
可得 y ? M (x) 在 ?0,1?上单调递减,在 ?1,???上单调递增,

故 M (x)min ? M (1) ? 0 ,则 x ? x ?1 ? ln x ,…………………………………… 10 分 直线 y ? x ?1 与 y ? ln x 的图象相切与点 (1,0) ,

点 (1,0) 到直线 y ? x 的距离为 2 , Zxxk 2

则 H (x) ? ?x ? a?2 ? ?ln x ? a?2 ? ???
?

2 2

?2 ?? ?

?1, 2

故 h(x) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 .……………………………………………………12 分 22 4 2
法二:

? ? h(x) ? 1 ?x ? a?2 ? ?ln x ? a?2 ? 1 ? a2 ? ?x ? ln x?a ? x2 ? ln 2 x ? 1 ,

2

4

2

4

令 P(a) ? a 2 ? ?x ? ln x?a ? x2 ? ln 2 x ,则 P(a) ? ?x ? ln x?2 .………………8 分

2

4

令 Q(x) ? x ? ln x ,则 Q?(x) ? 1 ? 1 ? x ?1 ,显然 Q(x) 在 ?0,1?上单调递减,在 ?1,??? 上单
xx
调递增,………………………………………………………………………………10 分

则 Q(x)min

?

Q(1)

? 1,则 P(a)

?

1 4

,故 h(x)

?

1 4

?

1 4

?

1 2

.…………………12



22.(本小题满分 10 分)

证明:(1)如图,连接 OC,? OA ? OB,CA ? CB,?OC ? AB

? OC 是圆的半径, ? AB 是圆的切线.-------------------------------3 分

( 2) ED 是直径,? ?ECD ? 90? ,? ?E ? ?EDC ? 90?

又 ?BCD ? ?OCD ? 90? , ?OCD ? ?ODC,? ?BCD ? ?E,又?CBD ? ?EBC ,

? ?BCD ∽ ?BEC ,? BC ? BD ? BC 2 ? BD ? BE ,-----------5 分 BE BC
tan ?CED ? CD ? 1 , EC 2
?BCD ∽ ?BEC , BD ? CD ? 1 ---------------------- -7 分 BC EC 2
设 BD ? x,则BC ? 2x, ? BC 2 ? BD ? BE ? (2x)2 ? x(x ? 6) ? BD ? 2 --------9 分

?OA ? OB ? BD ? OD ? 2 ? 3 ? 5 .------------------------10 分
23.(本小题满分 10 分)

解:(1)圆锥曲线 C 的参数方程为

? x?

? ?

y

?

2 cos? 3 sin?

(?

为参数),

所以普通方程为 C : x 2 ? y 2 ? 1----------------------------------------------2 分 43

A(0,? 3), F2 (1,0), F1 (?1,0) ? k ? 3,l : y ? 3(x ? 1)

?直线极坐标方程为: ? sin? ? 3? cos? ? 3 ? 2? sin(? ? ? ) ? 3 ---5 分 3

(2)

? ?

x2 4

?

y2 3

?1

? 5x2

? 8x ? 0 ,

? y ? 3(x ? 1)

MN ?

1? k2

( x1

? x2 )2

? 4x1x2

? 16 ---------------------------------------------------10 分 5

24.(本小题满分 10 分)

解:(1)

f

(x)

?

? ?

? x ? 3, x ?

???3x ?1,? 1 ?

?1 2
x?2

,----------------------------------------------------------2



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? ?

2 x ? 3, x ? 2

??

当 x ? ? 1 ,?x ? 3 ? 2, x ? ?5,? x ? ?5 2
当 ? 1 ? x ? 2,3x ?1 ? 2, x ? 1,?1 ? x ? 2 2

当 x ? 2, x ? 3 ? 2, x ? ?1,? x ? 2

? ? 综上所述 x | x ? 1或x ? ?5 .----------------------5 分

(2)易得

f

(x) min

?

?5 2

,若 ?x ? R ,

f

(x)

?

t2

? 11 t 恒成立, 2

则只需

f

(x) min

?

?5 2

?

t2

? 11t 2

?

2t 2

? 11t

?5?

0

?

1 2

?

t

?

5,

综上所述 1 ? t ? 5 .------------------------------10 分 2


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