高中数学用空间向量解立体几何问题方法归纳


用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线 l 的方向向量为 a=(a1,b1,c1).平面α ,β的法向量 u=(a3,b3,c3),v=(a4, b4,c4) (1)线面平行:l∥α ?a⊥u?a·u=0?a1a3+b1b3+c1c3=0 (2)线面垂直:l⊥α ?a∥u?a=ku?a1=ka3,b1=kb3,c1=kc3 (3)面面平行:α ∥β ?u∥v?u=kv?a3=ka4,b3=kb4,c3=kc4 (4)面面垂直:α ⊥β ?u⊥v?u·v=0?a3a4+b3b4+c3c4=0 例 1、如图所示,在底面是矩形的四棱锥 P?ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,E,F 分别是 PC, PD 的中点,PA=AB=1,BC=2. (1)求证:EF∥平面 PAB; (2)求证:平面 PAD⊥平面 PDC. [证明] 以 A 为原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标 ?1 1? 系如图所示,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),所以 E? ,1, ?, 2? ?2 F?0,1, ?, EF =?- ,0,0?, PB =(1,0,-1), PD =(0,2,-1), AP =(0,0,1), 2? ? ? 2 ? ???? ??? ? ??? ? AD =(0,2,0), DC =(1,0,0), AB =(1,0,0). ? 1? ??? ? ? 1 ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? 1 ??? (1)因为 EF =- AB ,所以 EF ∥ AB ,即 EF∥AB. 2 又 AB? 平面 PAB,EF? 平面 PAB,所以 EF∥平面 PAB. (2)因为 AP · DC =(0,0,1)·(1,0,0)=0, AD · DC =(0,2,0)·(1,0,0)=0, 所以 AP ⊥ DC , AD ⊥ DC ,即 AP⊥DC,AD⊥DC. 又 AP∩AD=A,AP? 平面 PAD,AD? 平面 PAD,所以 DC⊥平面 PAD.因为 DC? 平面 ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? PDC, 所以平面 PAD⊥平面 PDC. 使用空间向量方法证明线面平行时, 既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方 向向量平行, 然后根据线面平行的判定定理得到线面平行, 也可以证明直线的方向向量与平 面的法向量垂直;证明面面垂直既可以证明线线垂直,然后使用判定定理进行判定,也可以 证明两个平面的法向量垂直. 例 2、在直三棱柱 ABC?A1B1C1 中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点 E 在线段 BB1 上, 且 EB1=1,D,F,G 分别为 CC1,C1B1,C1A1 的中点. 求证:(1)B1D⊥平面 ABD; (2)平面 EGF∥平面 ABD. 证明:(1)以 B 为坐标原点,BA、BC、BB1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系,如图所示,则 B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),设 BA=a,则 A(a,0,0), 所以 BA =(a,0,0), BD =(0,2,2), B1 D =(0,2,-2), ??? ? ??? ? ???? ? ? ? ???? ? ??? ???? ? ??? B1 D · BA =0, B1 D · BD =0+4-4=0,即 B1D⊥BA,B1D⊥BD. 又 BA∩BD=B,因此 B1D⊥平面 ABD. (2)由(1)知,E(0,0,3),G? ,1,4?,F(0,1,4),则 EG =? ,1,1?, EF =(0,1,1), ?2 ? ?2 ? ?a ? ??? ? ?a ? ??? ? ? ???? ? ??? ???? ? ???? B1 D · EG =0+2-2=0, B1 D · EF =0+2-2=0,即 B1D⊥EG,B1D⊥EF. 又 EG∩EF=E,因此 B1D⊥平面 EGF. 利用空间向量求空间角基础知识 (1)向量法求异面直线所成的角:若异面直线 a,b 的方向向量分别为 a,b,异面直线所成 |a·b| 的角为θ ,则 cos θ =|cos〈a,b〉|= . |a||b| (2)向量法求线面所成的角:求出平面的法向量 n,直线的方向向量 a,设线面所成的角为θ , 则 sin θ =|cos〈n,a〉|= . |n||a| |n·a| 结合(1)可知平面 EGF∥平面 ABD. (3)向量法求二面角:求出二面角α -l-β的两个半平面α 与β的法向量 n1,n2, |n1·n2| 若二面角α -l-β 所成的角θ 为锐角,则 cos θ =|cos〈n1,n2〉|= ; |n1||n2| |n1·n2| 若二面角α -l-β 所成的角θ 为钝角,则 cos θ =-|cos〈n1,n2〉|=- . |n1||n2| 例 1、如图,在直三棱柱 A1B1C1?ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4, 点 D 是 BC 的中点. (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值. [解] (1)以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 A?xyz,则 A(0,0,0), B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),所以 A1 B =(2,0,-4),C1 D =(1, -1,-4). ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? A1 B · C1 D ???? ? ???? ? 18 3 10 ? ???? ? = 因为 cos〈 A1 B , C1 D

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