河北省献县宏志中学2012届高三数学理科仿真模拟18


河北省献县宏志中学 2012 届高三数学理科仿真模拟卷 18

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请把正确答案填在括号内.

1.设全集 U=R,M={x|y=log2(-x)},N={x|x+1 1<0},则 M∩?UN=(

)

A.{x|x<0}

B.{x|0<x≤1}

C.{x|-1≤x<0} D.{x|x>-1}

解析:∵M={x|y=log2(-x)}={x|x<0},N={x|x+1 1<0}={x|x<-1},?UN= {x|x≥-1},∴M∩?UN={x|-1≤x<0}.
答案:C

3+i 2.复数1+i等于( )

A.2-i

B.2+i

C.1+2i

D.1-2i

3+i (3+i)(1-i) 3-2i-i2 4-2i 解析:1+i=(1+i)(1-i)= 1-i2 = 2 =2-i.

答案:A

3.以下两个茎叶图表示的是 15 个评委为竞争 15 亿元的产业转移扶持资金的甲、乙、 丙、丁四个市所打出的分,按照规定,去掉一个最高分和一个最低分,平均分排在前三位 的市将各获得 5 亿元,则不能获得这 5 亿元的是( )

A.甲市

B.乙市 C.丙市 D.丁市

解析:

x

81+82+84+85+86+87+88+91+91+92+93+95+96

甲=

13

≈88.54;

x

81+83+84+86+86+87+91+92+92+94+95+96+98

乙=

13

≈89.6;

x

81+82+83+86+86+87+90+92+93+93+94+94+96

丙=

13

=89;

x

82+83+83+84+85+87+88+90+92+94+94+95+95

丁=

13

≈88.6.

经过比较,甲市的平均分最低,所以甲市将不能获得这 5 亿元.

答案:A

4.已知|a|=2,|b|=4,向量 a 与 b 的夹角为 60°,当(a+3b)⊥(ka-b)时,实数 k 的值是( )

A.14

B.34

C.143

D.123

解析:依题意得 a·b=|a|·|b|·cos60°=2×4×12=4,因为(a+3b)⊥(ka-b), 所以(a+3b)·(ka-b)=0,得 ka2+(3k-1)a·b-3b2=0,即 k+3k-1-12=0,解得 k =143.

答案:C
5.设双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的渐近线与曲线 y=x2+14相切,则该双曲线的离 心率等于( )

A.3 B.2 C. 3

D. 2

解析:设渐近线的方程为 y=kx,与 y=x2+14联立,依题意得方程 x2-kx+14=0 有两 个相等的实数根,即 Δ =k2-1=0,解得 k=±1,所以ba=1,e= 1+(ba)2= 1+1= 2.

答案:D

6.在区间[-1,1]上 随机取一个数 x,则 sinπ4x的值介于-12与 22之间的概率为 ()

A.14

B.13

C.23

D.56

解析:在区间[-1,1]上随机取一个数

x,要使

sinπ4x的值介于-12与

2 2 之间,需使-

5

π 6

≤π4x≤π4

,即-23≤x≤1,其区间长度为53,由几何概型公式知所求概率为32=56.

答案:D
7.为调查低收入人群的年收入情况,现从 x 名城镇下岗职工、200 名农民工及 500 名 农民中按分抽样的方法抽取容量为 250 的样本,若抽取的农民工为 50 人,则 x=( )

A.100

B.200

C.300

D.500

解析:由题意知 200×x+22050+0 500=50,解得 x=300. 答案:C

6x-2y-3≤0
??? 8.设 x,y 满足约束条件 x-y+12≥0 ??x≥0,y≥0

0)的最大值为 6,则2a+3b的最小值为(

)

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>

25

23 11

A.12 B.2 C.12 D.12

解析:不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,当直线 z=ax+by(a>0,b

>0)过直线

x-y+12=0

与直线

6x-2y-3=0

3 的交点(1,2)时,目标函数

z=ax+by(a>0,

b>0)取得最大值 6,即 a+32b=6,即 2a+3b=12,而2a+3b=(2a+3b)(2a1+23b)=112[13+6(ba

+ab)]≥2152,当且仅当 a=b 时取等号.

答案:A 9.在正项等比数列{an}中,a3= 2,a5=8a7,则 a10=( )

A.1128

B.2156

C.5112

D.1

1 024

解析:设正项等比数列{an}的公比为

q,则由已知得

a1q4=8a1q6,解得

q= 2

1

,或 2

q

=- 2

1

(舍去),所以 2

a10=a3q7=

2×( 2

1

2)7=1

1024.

答案:D

10.给出下列四个命题:

(1)? x∈(0,1),log1x>log1x;

3

4

(2)?

x∈(0,+∞),(13)x>l

og1x;
3

(3)? m∈R,f(x)=x2+2xm是偶函数;

(4)? m∈R,f(x)=x2+2xm是奇函数.

其中为真命题的个数有( )

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:取

x=13,则

11

11

log33=1,log43=log43<1,(1)是真命题;画出函数

y1=(13)x



y2=log13x 的图象,可知(2)是假命题;当 m=0 时,f(x)=x2 是偶函数,(3)是真命题,(4)

是假命题.

答案:B

11.已知函数 f(x)=sin(ω x+π4 ),其中 ω >0.若函数 f(x)的图象的相邻两条对称 轴之间的距离等于π3 ,将函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后对应的函数是偶函数,则最 小正实数 m=( )

A.π12

B.π3

C.-152π D.π

解析:依题意,T2=π3

,又

T=2π ω

,故

ω

=3



∴f(x)=sin(3x+π4 ).

函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数 g(x)=sin[3(x+m)+π4 ].

当且仅当 3m+π4 =kπ +π2 (k∈Z),即 m=k3π +1π2(k∈Z)时,g(x)是偶函数,从而, 最小正实数 m=π12.

答案:A

12.给定下列四个命题:

(1)给定空间中的直线 l 及平面 α ,“直线 l 与平面 α 内无数条直线垂直”是“直线 l 与平面 α 垂直”的充分不必要条件;

(2)已知 α ,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“α ⊥β ”是 “m⊥β ”的必要不充分条件;

(3)已知 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,若 m∥α ,n∥β ,m⊥n, 则 α ⊥β ;

(4)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,各棱长相等 ,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中 心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 60°.

上述命题中,真命题的序号是( )

A.(1)(2)

B.(2)(4)

C.(2)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4)

解析:对于(1),由“直线 l 与平面 α 内无数条直线都垂直”不能确定“直线 l 与平 面 α 垂直”,如当 l? α 时,直线 l 可与平面 α 内无数条相互平行的直线都垂直,但此 时直线 l 不与平面 α 垂直;反过来,由“直线 l 与平面 α 垂直”可知“直线 l 与平面 α 内无数条直线都垂直”.综上所述,“直线 l 与平面 α 内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面 α 垂直”的必要不充分条件.故(1)不正确.

对于(2),当 α ⊥β 时,平面 α 内的直线 m 不一定和平面 β 垂直,但平面 α 内的 射线 m 垂直于平面 β 时,根据线面垂直的判定定理,两个平面一定垂直,故“α ⊥β ” 是“m⊥β ”的必要不充分条件.故(2)正确.

对于(3),α ,β 也可能平行或一般的相交(不一定垂直),故(3)不正确.

对于(4),如图是三棱柱 ABC-A1B1C1,不妨设各棱长为 1.取 BC 的中点 E,连接 AE,DE, ∵CC1⊥底面 ABC,∴侧面 BB1C1C⊥底面 ABC,又 E 为 BC 的中点,且△ABC 为正三角形, ∴AE⊥BC,由两平面垂直的性质定理知,AE⊥平面 BB1C1C,∴∠ADE 的大小就是 AD 与平面

BB1C1C 所成角的大小.容易计算∠ADE=60°.故(4)正确.
答案:B 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在题中横线上. 13.已知 y=f(x+2)为定义在 R 上的偶函数,且当 x≥2 时,f(x)=3x-1,则当 x<2 时,f(x)的解析式为__________. 解析:函数 y=f(x+2)是由函数 y=f(x)向左平移两个单位得到的,由 y=f(x+2) 为偶函数知:y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称.故当 x<2 时,4-x>2,所以 f(x)=f(4 -x)=34-x-1. 答案:f(x)=34-x-1 14.某市组织部拟将 4 名选调生分配到 3 个基层事业单位去挂职锻炼,每个单位至少 一名,则不同的分配方案有__________种(用数字作答). 解析:分两步完成:第一步,将 4 名选调生按 2,1,1 分成三组,其分法有C24·AC2212·C11种; 第二步,将分好的三组分配到 3 个基层事业单位,其分法有 A33种,所以满足条件的分配方 案有C24·AC2212·C11·A33=36 种. 答案:36 15.一个算法的程序框图如图所示,则该程序输出的结果是__________.

解析:第一次循环,有 i=2,sum=1,s=1×1 2=12;第二次循环,有 i=3,sum=2, s=1×1 2+2×1 3,…,依次类推,输出的结果是 s=1×1 2+2×1 3+…+7×1 8=1-12+12-13+… +17-18=78.
答案:78
16.如图是一个几何体的三视图(单位:m),则几何体的体积为__________.

解析:如图所示,此几何体是一个以 AA1,A1D1,A1B1 为棱的长方体被平面 BB1C1C 截去 后得到的,易得其体积为长方体的体积的34,因为长方体的体积为 2×4×2=16 m3,故所 求的体积为 12 m3.
答案:12 m3 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 17.(本小题 10 分)在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满 足 3sin2A+ 32-1sin2A=cos2A,cosB=45,b=2 3. (1)求 sinC 的值; (2)求△ABC 的面积. 解析:(1)由 3sin2A+ 32-1sin2A=COS2A,

? ? 可得 3 sin2 A 3 ?1 sin A cos A ? cos2 A ? 0, ? ? 即 3 sin A ? cos A ?sin A ? cos A? ? 0.

因为sin A ? cos A ?0,所以 3 sin A ? cos A,

得 tan A ? 3 ,故A ? ? .

3

6

因为 A,B,C 为△ABC 的内角,且 A=π6 ,cosB=45,

所以 C=56π -B,sinB=35,

所以 sinC=sin(5π6 -B)=12cosB+ 23sinB=12×45+ 23×35=4+130 3.

(2)由(1)知 sinA=12,sinC=4+130 3,sinB=35,

又因为 b=2 3,

所以在△ABC 中,由正弦定理,得 a=bssiinnBA=5 3 3.

所以△ABC 的面积 S=12absinC=12×53

3×2

4+3 3× 10

3 4+3 =2

3 .

18.(本小题 12 分)在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA=AD=4,AB=2,PB =2 5,PD=4 2.E 是 PD 的中点.
(1)求证:AE⊥平面 PCD;
(2)求平面 ACE 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值;
(3)在线段 BC 上是否存在点 F,使得三棱锥 F-ACE 的体积恰为43,若存在,试确定点 F 的位置;若不存在,请说明理由.

解析:(1)因为 PA2+AD2=42+42=32,PD2=(4 2)2=32, 所以三角形 PAD 是等腰直角三角形,所以 PA⊥AD. 同理 PA2+AB2=42+22=20,PB2=(2 5)2=20, 所以三角形 PAB 是直角三角形,所以 PA⊥AB. 又 AD∩AB=A,所以 PA⊥平面 ABCD, 所以平面 PAD⊥平面 ABCD. 因为底面 ABCD 是矩形,所以 CD⊥AD, 所以 CD⊥平面 PAD, 因为 AE? 平面 PAD, 所以 CD⊥AE. 因为 E 是 PD 的中点,三角形 PAD 是等腰直角三角形, 所以 AE⊥PD. 又 PD∩CD=D,所以 AE⊥平面 PCD. (2)解法一:取 AD 的中点 K,连结 EK,过 K 作 KT⊥AC,垂足为 T,连接 ET.

因为 E 是 PD 的中点,所以 EK∥PA,EK=2,EK⊥平面 ABCD, 所以 EK⊥AC. 又 EK∩TK=K,所以 AC⊥平面 EKT,AC⊥ET, 故∠ETK 即为所求的平面 ACE 与平面 ABCD 所成二面角的平面角,
TK AK 因为三角形 KTA 与三角形 CDA 相似,所以CD=AC,

又 AC=

42+22=2

AK·CD 2×2 2 5

5,所以 TK=

AC

= 2

= 5

5



所以 ET=

2 (

5

5)2+22=2

30 5.

25



cos∠ETK= 2

5 =
30

6 6.

5

解法二:如图,以 A 为原点,AB、AD、AP 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐 标系,则 A(0,0,0),C(2,4,0),E(0,2,2),P(0,0,4),

AE AC = (2,4,0),

=(0,2,2),

设 n=(x,y,z)是平面 AEC 的一个法向量,

??n 则有 ?
??n

AC AE

? ?

0 0

,得?????xy+ +2zy==00



令 z=1 得 y=-1,x=2,即 n=(2,-1,1),

由(1)可知 AP =(0,0,4)是平面 ABCD 的一个法向量,

所以

cos〈n,

AP

(2,-1,1)·(0,0,4)

〉=

4× 22+1+1



66.

结合图形易知,平面 ACE 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为 66.

(3)如图,假设在线段

BC

上,存在点

F(2,y0,0),使得三棱锥

F-ACE

4 的体积恰为3,

由(2)知,ET=2

30 5,

AC=2 5,

则 S△ACE=12AC·ET=12×2 5×2 530=2 6,

设 F(2,y0,0)到平面 AEC 的距离为 h,则43=13×2

6×h,解得

h=

6 3.

AF 又

=(2,y0,0),n=(2,-1,1)为平面 AEC 的一个法向量,所以 h= 36=

| AF n | | n | = |242+-1y+0| 1,得|4-y0|=2,所以 y0=2 或 y0=6>4(舍去),

所以点 F 的坐标为(2,2,0),即点 F 为 BC 的中点时三棱锥 F-ACE 的体积恰为43. 19.(本小题 12 分)已知等差数列{log4(an-1)}(n∈N*),且 a1=5,a3=65,函数 f(x) =x2-4x+4,设数列{bn}的前 n 项和为 Sn=f(n), (1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式; (2)记数列 cn=(an-1)·bn,且{cn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn; (3)设各项均不为零的数列{dn}中,所有满足 dk·dk+1<0 的整数 k 的个数称为这个数

列的异号数,令 dn=bnb-n 4(n∈N*),试问数列{dn}是否存在异号数,若存在,请求出;若不 存在,请说明理由.

解析:(1)设等差数列{log4(an-1)}的公差为 d,

所以 2log4(a2-1)=log4(a1-1)+log4(a3-1),

即 2[log4(5-1)+d]=log4(5-1)+log4(65-1),

得 d=1,所以 log4(an-1)=1+(n-1)×1=n,得 an=4n+1,

由 Sn=f(n) =n2-4n+4=(n-2)2,

当 n=1 时,b1=S1=1,

当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1=(n-2)2-(n-3)2=2n-5,验证 n=1 时不满足此式,所

?? 1



bn=

? ??

2n

?

5

?n ? 1? ? n≥2 ?

(2)由(1)可得,当 n=1 时,c1=4×1, 当 n≥2 时,cn=4n×(2n-5), 所以 Tn=4×1+42×(-1)+43×1+44×3+…+4n×(2n-5),① 4Tn=42+43×(-1)+44×1+45×3+…+4n×(2n-7)+4n+1×(2n-5),②
①减去②得 -3Tn=-28+43×2+44×2+45×2+…+4n×2-4n+1×(2n-5)=-28+ 128×4(-4n-12-1)-4n+1×(2n-5),

故 Tn=238-128×(49n-2-1)+4n+1×(32n-5).

? ?3

?

(3)由题意可得 dn= ?

4

??1? 2n ? 5

?n ? 1?

? n≥2 ?



因为 d1=-3<0,d2=1+4=5>0,d3=-3<0,

所以 k=1,k=2 时都满足 dk·dk+1<0,

当 n≥3 时,dn+1-dn=2n4-5-2n4-3=(2n-5)8(2n-3)>0,

即当 n≥3 时,数列{dn}单调递增, 因为 d4=-13<0,由 dn=1-2n4-5>0,n∈N*可得 n≥5,

可知 k=4 时满足 dk·dk+1<0,
综上可知数列{dn}中存在 3 个异号数.
20.(本小题 12 分)已知抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点 F 与 P(2,-1)关于直线 l: x-y-2=0 对称,中心在坐标原点的椭圆经过两点 M(1, 27),N(- 2, 26),且抛物线 与椭圆交于两点 A(xA,yA)和 B(xB,yB),且 xA<xB.
(1)求出抛物线方程与椭圆的标准方程;
(2)若直线 l′与抛物线相切于点 A,试求直线 l′与坐标轴所围成的三角形的面积;

(3)若(2)中直线 l′与圆 x2-2mx+y2+2y+m2-2254=0 恒有公共点,试求 m 的取值范 围.
解析:(1)设椭圆的方程为 mx2+ny2=1,

因为椭圆经过两点 M(1, 27),N(-

6 2, 2 ),

所以可得

? ??

m

?

7 4

n

? 1, ①

? ???2m

?

6 4

n

?

1.②

由①与②消去 m 可得 n=12,③

将③代入①得 m=18,

x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 8 + 2 =1.

抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F(0,p2),依题意得直线 FP 与直线 l:x-y-2=0

p

互相垂直,所以直线

FP

的斜率为-1,则

kFP

-1-2 = 2-0 =-1,解得

p=2,所以

x2=4y.

??x2=4y (2)由???x82+y22=1,

得 y2+y-2=0,解得 y=1 或 y=-2(不合题意,舍去),

当 y=1 时,得 x=±2,因为 xA<xB,所以 A(-2,1),对 y=14x2 求导,得 y′=12x, 所以 y′|x=-2=-1,所以直线 l′的方程为 y-1=-1×(x+2),即 x+y+1=0,令 x=0 得 y=-1,令 y=0 得 x=-1,所以直线 l′与坐标轴所围成的三角形的面积 为 S=12×| -1|×|-1|=12.

(3)由 x2-2mx+y2+2y+m2-2254=0 得(x-m)2+(y+1)2=2459,其圆心坐标为(m,-1), 半径 r=75,
要使直线 l′与圆 x2-2mx+y2+2y+m2-2245=0 恒有公共点,则需 满足(m,-1)到直 线 l′:x+y+1=0 的距离 d≤75,即 d=|m-11++11|≤75,得-7 5 2≤m≤7 5 2,



m

7 的取值范围为[-

5

27 ,

5

2 ].

21.(本小题 12 分)已知函数 f(x)=ax2-(a+1)x+1,g(x)=ex,其中 a∈R,集合 A ={x||x-t|<12}.

(1)当 a=-2 时,记集合 B={x|f(x)>0},若 A? B,求实数 t 的取值范围;

(2)若 F(x)=[f(x)+a-1]·g(x),当 a≠0 时,求函数 F(x)的单调区间与极值.

解析:(1)当 a=-2 时,f(x)=-2x2+x+1,B={x|-2x2+x+1>0}={x|-12<x< 1},

A={x||x-t|< 12}={x|t-12<x<12+t},

??t-12≥-12, ??? 因为 A? B,所以 t+12≤1

,解得 0≤t≤12,

所以实数 t 的取值范围是[0,12]. (2)F(x)=[ax2-(a+1)x+a]ex, F′(x)=[ax2+(a-1)x-1]ex=a(x-1a)(x+1)ex, 令 F′(x)=0,解得 x=1a,或 x=-1. 以下分四种情况讨论: (ⅰ)当 a>0 时,则-1<1a.当 x 变化时,F′(x),F(x)的变化情况如下表:

x

(-∞,-1)

-1

(-1,1a)

1 a

(1a,

+∞)

F′(x)



0



0



F(x) 学.科. 网 Z.X.X.K]

极大值

极小 值

所以函数 F(x)在(-∞,-1),(1a,+∞)内是增函数,在(-1,1a)内是减函数.
函数 F(x)在 x=-1 处取得极大值 F(-1),且 F(-1)=(3a+1)e-1;函数 F(x)在 x= 1a处取得极小值 F(1a),且 F(1a)=(a-1)e1a.
(ⅱ)当-1<a<0 时,则1a<-1,当 x 变化时,F′(x),F(x)的变化情况如下表:

x

1

1

(-∞,a)

a

1 (a,-1)

-1

(-1,+∞)

F′(x)



0



0



F(x)

极小值

极大值

所以函数 F(x)在(-∞,1a),(-1,+∞)内是减函数,在(1a ,-1)内是增函数.

函数 F(x)在 x=-1 处取得极大值 F(-1),且 F(-1)=(3a+1)e-1;函数 F(x)在 x= 1a处取得极小值 F(1a),且 F(1a)=(a-1)e1a.

(ⅲ)当 a=-1 时,F′(x)<0,所以函数 F(x)在 R 上是减函数,无极值.

所以函数 F(x)在(-∞,-1),(1a,+∞)内是减函数,在(-1,1a)内是增函数.

函数 F(x)在 x=-1 处取得极小值 F(-1),且 F(-1)=(3a+1)e-1;函数 F(x)在 x=

1 a处取得极大值

F(1a),且

F(1a)=(a-1)e1a.

22.(本小题 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

如图,设 AB 为⊙O 的任一条不与直线 l 垂直的直径,P 是直线 l 与⊙O 的公共点,AC⊥l, BD⊥l,垂足分别为 C,D,且 PC=PD.求证:

(1)直线 l 是⊙O 的切线;

(2)PB 平分∠ABD.

解析:(1)连接 OP,因为 AC⊥l,BD⊥l,所以 AC∥BD. 又因为 OA=OB,PC=PD,所以 OP∥BD,从而 OP⊥l. 因为 P 是直线 l 与⊙O 的公共点,所以直线 l 是⊙O 的切线. (2)连接 AP,因为直线 l 是⊙O 的切线,所以∠BPD=∠BAP. 又∠BPD+∠PBD=90°,∠BAP+∠PBA=90°, 所以∠PBA=∠PBD,即 PB 平分∠ABD.

23.(本小题 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,Ox 为极轴建立极坐标系,且两种坐标系长度

单位一致.已知直线 l 的极坐标方程为 ρ cos(θ +π4 )= 22-1,圆 C 在直角坐标系中的

参 数方程为?????xy= =1si+ncθosθ

(θ 为参数),求直线 l 与圆 C 的公共点的个数.

解析:将方程 ρ cos(θ +π4 )= 22-1 化为直角坐标方程:x-y+ 2-1=0.

将参数方程?????xy= =1s+ incθosθ

化为普通方程:(x-1)2+y2=1.

圆心(1,0)到直线 l 的距离 d=|1-0+

2-1| =1,而圆

C

的半径为

1,所以直线

l



2

圆 C 相切,即它们的公共点的个 数为 1.

24.(本小题 10 分)选修 4-5:不等式选讲

证明:11+1×1 2+1×12×3+…+1×2×31×…×n<2(n>2,n∈N*).

11

1

1

11

1

解析:1+1×2+1×2×3+…+1×2×3×…×n<1+2+22+…+2n-1

1 =2-2n-1<2.


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