直线与双曲线的位置关系(数学导学案)


嵩县五高高二年级数学学科导学案
课题:直线与双曲线的位置关系
编写人:王留伟 审核人:张迎会 孙书团 编写时间:2012 年 12 月 13 日

一、学习目标: 1.掌握双曲线和直线的位置关系判定方法; 2.会解决双曲线有关弦长和中点弦问题 3.了解双曲线有关的应用. 二、问题导学: 1.直线与椭圆的位置关系: 相交——直线与椭圆有 相切——直线与椭圆有 相离——直线与椭圆有 2. 直线与双曲线的位置关系: 设直线 l :
y ? kx ? m ( m ? 0 )

公共点 公共点 公共点

, 双曲线 C
2

:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

,把直线方
? b ) ? 0
2

程代入双曲线方程中,整理得: (1)直线与双曲线相交

(b

- a k )x

2

2

2

- 2kma

2

x ? a (m
2

2

a. Δ >0,方程有两个不同的根有,有

公共点; 公

b. 方程二次项系数为 0,退化为一次方程,直线与渐近线平行,有 共点; (2)直线与双曲线相切 Δ =0,只有一个公共点方程有两个等根; (3)直线与双曲线相离 Δ <0,没有公共点:方程没有实根. 3.弦长公式

-1-

直线

l : y ? kx ? m ( m ? 0 )

与 双曲线
1? k
2

C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

交于 .

A ( x1 , y1 )

, B ( x 2 , y 2 ) 两点,则

AB ?

x1 ? x 2

=

三、问题探究: 1.过点 P (1,1 ) 的直线与双曲线 C 几条直线并求出直线方程?
: x
2

?

y

2

? 1 有多少个交点?有一个交点时,有

9

16

2.(1)如果直线 y (2) 如果直线 y 值范围? (3)如果直线 y

? kx ? 1 与双曲线 x ? kx ? 1 与双曲线 x

2

? y ? y

2

? 1 没有公共点,求

k 的取值范围? k 的取

2

2

? 1 的右支有两个公共点,求

? kx ? 1 与双曲线 x

2

? y

2

? 1 只有一个公共点,求

k 的值?

3.过双曲线 C 点,求|AB|

:

x

2

?

y

2

3

6

? 1 的右焦点 F 1 ,倾斜角为

30°的直线交双曲线于 A, 两 B

四、课堂训练
-2-

1 已知双曲线 C 2.双曲线 x 2
? y

:x
2

2

?

y

2

?1

,若 Q (

1 2

,

1 2

) , 试判断以 Q 为中点的弦是否存在?

4

? 1 的左焦点为

F,点 P 为左支下半支上任意一点(异于顶点),

则直线 PF 的斜率的变化范围是 3.过原点与双曲线 C 五、自主小结 1 .位置判定 相交 相切 相离 2.弦长公式
AB ? 1? k
2

:

x

2

?

y

2

?1

交于两点的直线斜率的取值范围是

4

3

x1 ? x 2 ?

1?

1 k
2

( y1 ? y 2 )

2

? 4 y1 y 2

-3-


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