直线与双曲线的位置关系(数学导学案)
嵩县五高高二年级数学学科导学案
课题：直线与双曲线的位置关系
编写人：王留伟 审核人：张迎会 孙书团 编写时间：2012 年 12 月 13 日
一、学习目标： 1.掌握双曲线和直线的位置关系判定方法； 2.会解决双曲线有关弦长和中点弦问题 3.了解双曲线有关的应用. 二、问题导学： 1.直线与椭圆的位置关系： 相交——直线与椭圆有 相切——直线与椭圆有 相离——直线与椭圆有 2. 直线与双曲线的位置关系： 设直线 l :
y ? kx ? m ( m ? 0 )
公共点 公共点 公共点
， 双曲线 C
2
:
x a
2 2
?
y b
2 2
? 1( a ? 0 , b ? 0 )
，把直线方
? b ) ? 0
2
程代入双曲线方程中，整理得： (1)直线与双曲线相交
(b
- a k )x
2
2
2
- 2kma
2
x ? a (m
2
2
a. Δ >0，方程有两个不同的根有，有
公共点； 公
b. 方程二次项系数为 0，退化为一次方程，直线与渐近线平行，有 共点； (2)直线与双曲线相切 Δ =0，只有一个公共点方程有两个等根； (3)直线与双曲线相离 Δ <0，没有公共点：方程没有实根. 3.弦长公式
-1-
直线
l : y ? kx ? m ( m ? 0 )
与 双曲线
1? k
2
C :
x a
2 2
?
y b
2 2
? 1( a ? 0 , b ? 0 )
交于 .
A ( x1 , y1 )
， B ( x 2 , y 2 ) 两点，则
AB ?
x1 ? x 2
=
三、问题探究： 1.过点 P (1,1 ) 的直线与双曲线 C 几条直线并求出直线方程？
: x
2
?
y
2
? 1 有多少个交点？有一个交点时，有
9
16
2.（1）如果直线 y （2） 如果直线 y 值范围？ （3）如果直线 y
? kx ? 1 与双曲线 x ? kx ? 1 与双曲线 x
2
? y ? y
2
? 1 没有公共点，求
k 的取值范围？ k 的取
2
2
? 1 的右支有两个公共点，求
? kx ? 1 与双曲线 x
2
? y
2
? 1 只有一个公共点，求
k 的值？
3.过双曲线 C 点，求|AB|
:
x
2
?
y
2
3
6
? 1 的右焦点 F 1 ,倾斜角为
30°的直线交双曲线于 A， 两 B
四、课堂训练
-2-
1 已知双曲线 C 2.双曲线 x 2
? y
:x
2
2
?
y
2
?1
,若 Q (
1 2
,
1 2
) , 试判断以 Q 为中点的弦是否存在？
4
? 1 的左焦点为
F,点 P 为左支下半支上任意一点(异于顶点),
则直线 PF 的斜率的变化范围是 3.过原点与双曲线 C 五、自主小结 1 .位置判定 相交 相切 相离 2.弦长公式
AB ? 1? k
2
:
x
2
?
y
2
?1
交于两点的直线斜率的取值范围是
4
3
x1 ? x 2 ?
1?
1 k
2
( y1 ? y 2 )
2
? 4 y1 y 2
-3-