河北省献县宏志中学2012届高三数学理科仿真模拟28


河北省献县宏志中学 2012 届高三数学理科仿真模拟卷 28

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的.

1. 已知复数 z ? 2 ? i ,则复数 z 在复平面内对应的点在( ) 1?i

A.第一象限

B.第二象限

C. 第三象限

D 第四象限

? ? 2.

设集合

A

?

? ?

x

?

x x

?1 ?1

?

0?? ?



B

?

x

x ?1 ? a

,则“ a ? 1”是“ A ? B ? ? ”的(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件

3. 等差数列?an? 的公差为 2,若 a1, a3, a4 成等比数列,则 a2 ? (



A. ?8

B. ? 6

C. 8

D. 6

4. 过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点的直线交抛物线于 P ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ? 两点,如果 x1 ? x2 ? 6 ,

则 PQ ? (

)

A.9

B.8

C.7

D.6

5. 已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为 2 的正三角形,俯视图是直径为 2 的圆,则 此几何体的外接球的体积为( )

A. 16 ? 3

B. 32 ? 3

C. 16 3 ? 27

D. 32 3 ? 27

6.在二项式 (

1 3x

?

x )n 2

的展开式中,只有第

3

项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是

()

A. 4

B. 2

C. ?2

D. ?4

7. 已知圆 C : x2 ? y2 ? bx ? ay ? 3 ? 0?a ? 0,b ? 0? 上任意一点关于直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的

对称点都在圆 C 上,则 1 ? 4 的最小值为( ab

A. 9 4

B.9

C.1

) D.2

8. 把座位编号为 1、2、3、4、5 的五张观看《孔子》的电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个

人,每人至少一张,至多两张,且分得的两张票必须是连号,那么不同的分法总数为( )

A.24

B.48

C.96

D.144

9. 右图是函数 f ? x? ? x2 ? ax ? b 的部分图象,则函数 g(x) ? ln x ? f ?(x) 的零点所在的区间

是( )

A. (1 , 1) 42

B.(1 ,1) 2

C.(1, 2)

D.(2, 3)

?x ?1

10.已知 x, y 满足 ??x ? y ? 4

,若目标函数 z ? 2x ? y 的

??ax ? by ? c ? 0

最大值 7,最小值为 1,则

a?b?c ? (

)

a

A. 2

B.1

C. -1

D. -2

11.已知点

P

为双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a

? 0,b

? 0) 的右支上一点, F1 、 F2 为双曲线的左、右焦

? ? 点,使 OP ? OF2 ? F2P ? 0 ( O 为坐标原点),且 PF1 ? 3 PF2 ,则双曲线离心率为( )

A. 6 ? 1 2

B. 6 ? 1

C. 3 ? 1 2

D. 3 ? 1

12. 在一次研究性学习中,老师给出函数 f (x) ? x (x ? R) ,三位同学甲、乙、丙在研 1? x

究此函数时给出命题:

甲:函数 f (x) 的值域为??1,1? ;

乙:若 x1 ? x2 ,则一定有 f (x1) ? f (x2 ) ;

丙:若规定

f1(x) ?

f (x),

fn (x) ?

f ( fn?1(x)) ,则

f

n

?

x

?

?

1

?

x n

x

对任意 n ? N ? 恒成

立.

你认为上述三个命题中正确的个数有( )

A.0 个

B.1 个

C.2 个

第Ⅱ卷 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

D.3 个

13. 要得到函数 y ? sin(2x ? 2? ) 的图象,只需把函数 y ? sin 2x 的图 3

象上所有的点向左平移

个单位长度.

14.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 s ?



15. 在边长为 2 的正三角形 ABC 中,以 A 为圆心, 3 为半径画一弧,分别交 AB,AC 于 D,E.若
在△ABC 这一平面区域 内任丢一粒豆子,则豆子落在扇形 ADE 内的概率是________.

16.

若函数

f

?

x

?

?

?ax2 ?

? ?

x3,

1, x x?

? 0

0

,则不等式

f

?a? ?

f

?1? a? 的解集为________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)
? ? 已知向量 m ? 3 sin 2x ? 2 , cos x , n ? ?1 , 2 cos x? ,设函数 f ? x? ? m ? n .
(Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期与单调递增区间;
(Ⅱ)在 ?ABC 中,a 、b 、c 分别是角 A 、B 、C 的对边,若 f ( A) ? 4, b ? 1, ?ABC 的

面积为 3 ,求 a 的值。 2
18.(本小题满分 12 分)

如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=1 ,AB=2 ,点 E 在棱 AB
上移动.

(Ⅰ) 证明: D1E ? A1D ;

(Ⅱ)

AE

等于何值时,二面角

D1 -EC-D

的大小为

? 4



19. (本小题满分 12 分)
某大学高等数学老师上学期分别采用了 A, B 两种不同的教学方式对甲、乙两个大一新生班进
行教改试验(两个班人数均为 60 人,入学数学平均分数和优秀率都相同;勤奋程度和自觉性 都一 样)。现随机抽取甲、乙两班各 20 名同学的上学期数学期末考试成绩,得到茎叶图如下:

甲2 66321 83221 98776
9988

9 0 1乙5 6 8 8 01256689 7 368 6 5799 5

(Ⅰ)依茎叶图判断哪个班的平均分高? (Ⅱ)从乙班这 20 名同学中随机抽取两名高等数学成绩不得低于 85 分的同学,求成绩为 90
分的同学被抽中的概率;
(Ⅲ)学校规定:成绩不低于 85 分的为优秀,请填写下面的 2 ? 2 列联表,并判断“能否在犯
错误的概率不超过 0.025 的前提下认为成绩优秀与教学方式有关?”

甲班

优秀

不优秀 合计 下面临界值表仅供参考:

P(K 2 ? k)

0.15 0.10

乙班
学。科。网 Z。X。X。K]
0.05

k

2.072 2.706 3.841

合计
0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2

, 其中 n ? a ? b ? c ? d )

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

(Ⅳ)从乙班高等数学成绩不低于 85 分 的同学中抽取 2 人,成绩不低于 90 分的同学得奖金 100

元,否则得奖金 50 元,记? 为这 2 人所得的总奖金,求? 的分布列和数学期望。

20. (本小题满分12分)

设椭圆 E :

x2 a2

?

y2 b2

?1

(a ? b ? 0) ,已知该椭圆过点 M (2,

2) 和 N(

6,1) ,O 为坐标原点。

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

(Ⅱ)设 A1 、 A2 、 B1 、 B2 为椭圆的四个顶点,求四边形 A1B1A2B2 的内切圆的方程;

(Ⅲ)证明(Ⅱ)中圆的任 意一条切线与椭圆 E 恒有两个不同的交点 A 、 B ;并求 OA ? OB
的值.

21. (本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? 1 ? ln(x ? 1) (x ? 0). x
(Ⅰ)试判断函数 f (x)在(0,??) 上单调性并证明你的结论;

(Ⅱ)若 f (x) ? k 对于 ?x ? (0, ??) 恒成立,求正整数 k 的最大值; x ?1
(Ⅲ)求证: (1?1? 2)(1? 2? 3)(1? 3? 4) ????1? n(n ?1)?>e2n - 3 .

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲:
如图,在 Rt△ABC 中, ?C ? 90 , BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E, 点 D 在 AB 上, DE ? EB .
(Ⅰ)求证:AC 是△BDE 的外接圆的切线;
(Ⅱ)若 AD ? 2 3,AE ? 6 ,求 EC 的长.

23.(本小题满 分 10 分) 选修 4-4:极坐标与参数方程:

已知椭圆

C

的极坐标方程为

?2

?

3 cos 2

12 ? ? 4 sin 2

?

,点 F1, F2

为其左,右焦点,直线的参

?

数方程为

??x ?

?

2

?

2t 2 (为参数, t ? R ).

? ??

y

?

2t 2

(Ⅰ)求直线和曲线 C 的普通方程;

(Ⅱ)求点 F1, F2 到直线的距离之和.

24. (本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲:
若关于 x 的方程 x2 ? 2x ? a ? 3 ? 0 有实根. (Ⅰ)求实数 a 的取值集合 A ; (Ⅱ)若对于 ?a ? A ,不等式 t2 ? 2at ?12 ? 0 恒成立,求的取值范围.

一、选择题: 1-5 AABBD 二、填空题

13. ? 3

14. 69

6-10 CACBD
15. 3? 6

参考答案 11-12 DC
16. (??, ? 1) ? (1 , ??) 22

三、解答题
17.解:(Ⅰ)? m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x) ,

? f (x) ? m ? n ? 3 sin 2x ? 2 ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x ? cos 2x ? 3

? 2 sin(2x ? ? ) ? 3 6

----------------------------3 分

?T ? 2? ? ? ----------------------------4 分 2

令 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ?

2

6

2

故 k? ? ? ? x ? k? ? ? ?k ? Z ?

3

6

?

f

(x)

的单调区间为

???k?

?

? 3

,

k?

?

? 6

? ??

?k

?

Z

?

----------------------6 分

(Ⅱ)由 f ( A) ? 4 得

f ( A) ? 2sin(2A ? ? ) ? 3 ? 4 6

?sin(2A ? ? ) ? 1 又? A 为 ?ABC 的内角 ?? ? 2A ? ? ? 13?

62

6

66

? 2A ? ? ? 5? 66

?A? ? 3

--------------------------9 分

? S?ABC ?

3 ,b ?1 2

? 1 bc sin A ? 3

2

2

?c ? 2

? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 1 ? 3 2

?a ? 3

-------12 分

18.(Ⅰ)连 AD1 ,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=1 ,则四边形 ADD1A1 是正方形,

∴ A1D ? AD1 ,又 AE ? 平面AD1 ,∴ AE ? A1D ,∴ A1D ? 平面AD1E ,

∴ D1E ? A1D

………………………………5 分

(Ⅱ)以点 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴, DD1 为 z 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),E(1,1,0),B(1,2,0), C(0,2,0),D,(0,0,1).
则 AE = (0,1, 0) , EC = (- 1,1, 0) , D1C = (0, 2,- 1) .

设 E(1, y0 , 0) ,则 EC = (- 1, 2- y0, 0) ,设平面 D1EC 的法向量为 n = (x, y, z) ,

∴ x : y : z ? (2 ? y0 ) :1: 2 ………………………………8 分

设 n ? (2 ? y0,1, 2) ,而平面 ECD 的法向量 n1 ?(0,0,1),由于二面角 D1-EC-D 的大小为

? ? ? ,∴ cos? ? n ? n1 ?

4

n n1

2

?

(2 ? y0 )2 ?12 ? 22

2 2

,∴

y0

?

2?

3

故 AE ? 2 ?

3

时,二面角

D1 -EC-D

的大小为

? 4

.………………………………12



(注:利用立体几何知识解答也同样得分)

19 解:

(Ⅰ)甲班高等数学成绩集中于 60-90 分之间,而乙班数学成绩集中于 80-100 分之间,所以

乙班的平均分高

………………………………2 分

(Ⅱ) P

?

C11C91 C120

?

1 5

………………………………4 分

(Ⅲ)

优秀 不优秀 合计

甲班 3 17 20

乙班 10 10 20

合计 13 27 40

………………………………6 分

K 2 ? 40? ?3?10 ?10?17?2 ? 5.584 ? 5.024 ,因此在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下
13? 27 ? 20? 20

可以认为成绩优秀与教学方式有关。

………………………………8 分

(Ⅳ) P ??

? 100? ?

C52 C120

?

2 , P??
9

? 150? ?

C51C51 C120

?

5 , P??
9

?

200?

?

C52 C120

?

2 9

所以
?

100 元 150 元 200 元

P

2

5

2

9

9

9

………………………………10 分

E? ? 100? 2 ?150? 5 ? 200? 2 ? 150 (元) ………………………………12 分

9

9

9

20.

?4

解:(Ⅰ)

?? ? ?

a2 6

2 ?
b2 ?1

?1 ?1

?? a2 b2

解得: a2 ? 8, b2 ? 4

故 E 的方程为: a2 ? 8, b2 ? 4

( Ⅱ ) 设 内 切 圆 方 程 为 x2 ? y2 ? r2

-----------------3 分
? ? 则 A2 2 2, 0 , B2 ?0, 2? , A2B2 所 在 直 线 方 程 为

x

? y ? 1,即 x ?

2y ? 2

22 2 ? 0 ?r ?

?2 2



r2 ? 8 .

22 2

1? 2 3

3













x2 ? y2 ? 8 3

------------------------------------------6 分 (Ⅲ)因为圆在椭圆的内部,所以圆的任

意一条切线与椭圆恒有两个交点

(或联立方程,计算 ? ? 0 )

----------------------------------8 分

( 1 ) 当 直 线 的 斜 率 存 在 时 , 设 l : y ? kx ? m 是 圆 的 任 意 一 条 切 线 , 则

? ? d ? OE ? m ? 2 2 ?3m2 ? 8 k 2 ?1 k2 ?1 3

? x2

联立

? ?

8

?

y2 4

?1

?? y ? kx ? m

? ? 得 1? 2k 2 x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0

x1

?

x2

?

?

1

4km ? 2k

2

,

x1x2

?

2m2 ? 8 1? 2k 2

? ? OA?OB ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? ?kx1 ? m? ?kx2 ? m? ? 1? k 2 x1x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m2

? ? ? 1? k 2 2m2 ? 8 ? 4km ? m2 ? 3m2 ? 8 ? 8k 2 ? 0 ----------11 分

1? 2k 2 1? 2k 2

1? 2k2

(2) 当斜率 k 不存在时,验证可知 OA? OB ? 0







O A? O? B0 -------------------------------------------------------------------12


21.解:(I) f ?(x) ? 1 [ x ?1 ? ln(x ? 1)] ? ? 1 [ 1 ? ln(x ? 1)] …………(2 分)

x2 x ?1

x2 x ?1

? x ? 0,? x2 ? 0, 1 ? 0, ln(x ? 1) ? 0,? f ?(x) ? 0. x ?1

? f (x)在(0, ?) 上是减函数.……………………………………………………(3 分)

(II) f (x) ? k 恒成立,即h(x) ? (x ? 1)[1 ? ln(x ? 1)] ? k恒成立.

x ?1

x

即 h(x) 的最小值大于 k .

h?( x)

?

x

?

1

?

ln( x2

x

?

1)

,

记 g(x) ? x ?1? ln(x ?1) (x ? 0)

则 g?(x) ? x ? 0,? g(x)在(0,??) 上单调递增, x ?1
又 g(2) ? 1 ? ln 3 ? 0, g(3) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0.

? g(x) ? 0 存在唯一实根 a ,且满足 a ? (2,3), a ? 1 ? ln(a ? 1).

当 x ? a时,g(x) ? 0, h?(x) ? 0,当0 ? x ? a时,g(x) ? 0, h?(x) ? 0.

∴ h(x)min

?

h(a)

?

(a ?1)?1? ln(a ?1)?
a

?

a ?1? (3, 4)

故正整数 k 的最大值是 3

……………………………7 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 1 ? ln(x ? 1) ? 3 (x ? 0)

x

x ?1

∴ ln(x ? 1) ? 3x ?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3

x ?1

x ?1

x

………………………9 分

令 x ? n(n ? 1)(n ? N*) ,则 ln[1 ? n(n ? 1)] ? 2 ? 3 ………………………10 分 n(n ? 1)

∴ ln(1?1? 2) ? ln(1? 2? 3) ? ??? ? ln ?1? n(n ?1)?

? (2 ? 3 ) ? (2 ? 3 ) ??? [2 ? 3 ]

1? 2

1? 3

n(n ? 1)

? 2n ? 3[ 1 ? 3 ? ? ? 1 ]

1? 2 2?3

n(n ? 1)

? 2n ? 3(1 ? 1 ) ? 2n ? 3 ? 3 ? 2n ? 3

n ?1

n ?1

?(1?1? 2)(1? 2? 3)(1? 3? 4) ????1? n(n ?1)?>e2n - 3 ………………12 分

22. 解:(Ⅰ)取 BD 的中点 O,连接 OE. ∵BE 平分∠ABC,∴∠CBE=∠OBE.又∵OB=OE,∴∠OBE=∠BEO, ∴∠CBE=∠BEO,∴BC∥OE.………………3 分 ∵∠C=90°,∴OE⊥AC,∴AC 是△BDE 的外接圆的切线. --------------------5 分 (Ⅱ)设⊙O 的半径为 r,则在△AOE 中,

OA2 ? OE 2 ? AE 2 ,即 ( r ? 2 3 )2 ? r2 ? 62 ,解得 r ? 2 3 ,

∴OA=2OE, ∴∠A=30°,∠AOE=60°. ∴∠CBE=∠OBE=30°.



EC= 1 BE ? 1 ? 3r ? 1 ? 3 ? 2 3 ? 3 .

22

2

--10 分 Zxxk

23.解:(Ⅰ) 直线普通方程为 y ? x ? 2 ;

---------------------------------------------------------------------2 分

曲线 C 的普通方程为 x2 ? y2 ? 1 . 43

-------------------------------4 分

(Ⅱ)

∵ F1(?1, 0) , F2 (1, 0) ,∴点 F1 到直线的距离 d1

?

?1? 0 ? 2 2

?3 2, 2

---6 分

1? 0 ? 2

点 F2 到直线的距离 d2 ?

? 2

2, 2

-------------------------8 分

∴ d1 ? d2 ? 2 2.

--------------------------10 分

? ? 24.解:(Ⅰ) A ? a 2 ? a ? 4 -------------------------------------5 分

? ? (Ⅱ) t ? 4 ? 2 7, 6 ---------------------------------------10 分


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