正余弦定理的综合运用_图文


正弦定理、余弦定理综合运用

知识目标:1、三角形形状的判断依据; 2、利用正弦、余弦定理进行边角 互换。 能力目标:1、进一步熟悉正、余弦定理; 2、边角互化; 3、判断三角形的形状; 4、证明三角形中的三角恒等式。

教学重点:利用正弦、余弦定理进行边 角互换。 教学难点:1、利用正弦、余弦定理进行 边角互换时的转化方向; 2、三角恒等式证明中结论与 条件之间的内在联系。

复习:

正弦定理:

a b c ( ? ? ? 2R R是三角形外接圆半径) sin A sin B sin C
余弦定理:

a ? b ? c ? 2bc cos A
2
2 2

b ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2 2

正 弦 定 理 的 变 式

?

a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C ,
余 弦 定 理 的 变 式

?

?

a s in A ? , 2R b s in B ? , 2R c s in C ? . 2R

b2 ? c2 ? a2 cos A ? , 2bc a2 ? c2 ? b2 cos B ? , 2ac 2 2 2 a ?b ?c cos C ? . 2ab

?

实 现 边 角 互 化

基础知识

自主学习

要点梳理 1.解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的 6 个元素中要已知三个(除三角外)才能求解, 常见类 型及其解法如表所示. 已知条件 一边和两角 (如 a,B,C) 应用定理 一般解法 由 A+B+C=180° , 正弦定理 求角 A; 由正弦定理 求出 b 与 c.在有解 时只有一解.

由余弦定理求第三边 c; 由正弦 两边和夹角(如 余弦定理 定理求出小边所对的角; 再由 A a,b,C) 正弦定理 +B+ C=180°求出另一角.在 有解时只有一解 由余弦定理求出角 A、B;再利 三边(a,b,c) 余弦定理 用 A+B+C=180° ,求出角 C. 在有解时只有一解 两边和其中一 边的对角(如 a,b,A) 由正弦定理求出角 B;由 A+B 正弦定理 +C=180° ,求出角 C;再利用 余弦定理 正弦定理或余弦定理求 c. 可有 两解,一解或无解

题型一:判断三角形形状
例1.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于

△A2B2C2的三个内角的正弦值,则(



(A)△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形

(B)△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
(C)△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形 (D)△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形

解:△A1B1C1的三个内角的余弦值都大于0,

所以△A1B1C1是锐角三角形,
若△A2B2C2也是锐角三角形,则 ? ? sinA2=cosA1=sin( -A1),则A2= -A1, 2 2 ? ? 同理 B2= -B1,C2= -C1,
3? ? 则 A2+B2+C2= 2 -(A1+B1+C1)= , 矛盾 2

2

2

所以△A2B2C2不是锐角三角形, 选D。

2.在?ABC中, a ? b ? c cos B ? c cos A, 判断?ABC的形状.

小结一:判断三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形:
一个方向是边,走代数变形之路,通常是正、余弦定理结合使用 ;另一个方向是角,走三角变形之路,通常是运用正弦定理,这 也要求同学们所学三角公式要熟悉,已知三角函数值求角时,要 先确定角的范围

练习一
A B C ,则 ?ABC 是( D ) cos cos cos 2 2 2 A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 2 R sin A 2 R sin B 2 R sin C 略解:由正弦定理得: ? ? A B C cos cos cos 2 2 2 A A B B C C 2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? A B C cos cos cos 2 2 2

在 ?ABC 中,若

a

?

b

?

c

A B C A B C A B C ? sin =sin =sin 又 ? , , 是锐角, = = ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2

题型二:三角形中的化简求值题
例2:△ABC中,已知a=2,求bcosC+ccosB的值。 解:(化角为边)由余弦定理得: bcosC+ccosB= b·a
2
2

?b ?c 2ab
2

2

a ?c ?b +c· 2ac
2 2

2

a ?b ?c a ?c ?b ? ? 2a 2a
2 2 2 2

2

?a?2

例2:△ABC中,已知a=2,求bcosC+ccosB的值。
解法二:(化边为角) 由正弦定理得: bcosC+ccosB = 2R sin B ? cosC ? 2R sin C ? cos B

? 2R sin(B ? C )
? 2R sin(? ? A) a sin A ? ?a?2 sin A

射影定理: a= bcosC+ccosB,

b=ccosA+acosC,
c=acosB+bcosA

例3:?ABC中,?A、?B、?C所对的边分别为a、b、c,
cos B b 且 ?? , 求?B的大小。 cosC 2a ? c

解法一: 由正弦定理得: (化边为角) a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C, cos B sin B cos B b ?? , ?? 代入 得: cosC 2 sin A ? sin C cos C 2a ? c

即2 sin A cos B ? sin C cos B ? cosC sin B ? 0 ? 2 sin A cos B ? sin(B ? C ) ? 0,
又? A ? B ? C ? ? ?sin(B ? C ) ? sin A,

? 2 sin A cos B ? sin A ? 0

1 ? sin A ? 0 ? cos B ? ? 2 2?
? ?B为三角形的内角,故B ? 3

例3: ?ABC中,?A、?B、?C所对的边分别为a、b、c,
cos B b 且 ?? , 求?B的大小。 cosC 2a ? c a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? b2 ? c2 ,cos C ? 解法二:由余弦定理得 cos B ? 2ab 2ac

cos B b ?? 代入 cos C 2a ? c

得:

2ab b a 2 ? c2 ? b2 ? 2 ?? (化角为边) 2 2 a ?b ?c 2a ? c 2ac

a 2 ? c 2 ? b 2 ? ?ac, a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac 1 ?cos B ? ? ?? 2ac 2ac 2 2? ? ?B为三角形的内角,故B ? 3
整理得

练习二 ?ABC中,?A、?B、?C所对的边分别为a、b、c, c 1 2 2 2 若b ? c ? bc ? a , 且 ? ? 3, 求?A和 tan B的大小。 b 2 2 b ? c2 ? a2 1 解:由余弦定理知:cos A ? ? , ( 化 2bc 2 ? 0? ? A ? 180 ?, ? A ? 60?, 边 c 1 为 ? ? ? 3 且由正弦定理知 c ? sin C , b 2 角 b sin B sin C 1 ? ? 3 又? C ? 180 ? ? ( A ? B) ? 120 ? ? B, ) ? sin B 2

sin(120 ? ? B) 1 ? ? ? 3, sin B 2 3 1 sin120 ? cos B ? cos120 ? sin B ? ?1? 3 ? ? 2 tan B 2 sin B 2 1 解得 tan B ? 2

题型三:证明恒等式
例3:在三角形ABC中,三个内角为A、B、C,对应边 为a、b、c cosB c ?b cos A 求证: ? cosC b?c cos A
方法一:边化角;

方法二:角化边;

?小结三:由边向角转化后,要熟练运用三

角函数公式,有时又要由角转化为边;三 角形中的有关证明问题,主要围绕边与角 的三角函数展开,从某种意义上来看,这 类证明问题就是有了目标的含边与角的式 子的化简问题。

练习:在△ABC中,求证: a2sin2B+b2sin2A=2absinC

题型四、面积问题

3 变式1.△ABC的面积为 , b ? 2, c ? 3求A 且 2 1 变式2、在△ABC中, ? 2, b ? 3,cos C ? , a 3 求△ABC的面积及外接圆半径

a?b?c ?? sin A ? sin B ? sin C
a ?b ?c 变式3、已知△ABC的面积 S ? 4
2 2 2

求C角的大小?

变式4、已知△ABC的三边长

a ? 3, b ? 5, c ? 6

求△ABC的面积

题型五、范围问题

例5、a ,a+1,a+2 构成钝角三角形,求a 的取值范围。 变式:锐角三角形的三边长为2,x,3, 求x的取值范围。 练习: 三条线段长度为2,x,6 (1)求构成直角三角形时,x的取值范围 (2)求构成锐角三角形时,x的取值范围 (3)求构成钝角三角形时,x的取值范围

例6(07全国卷)在锐角三角形ABC中,三内角 A、B、C对应的边分别为a、b、c, a=2bsinA (1)求B的大小; (2)若a=3 3,c=5,求b (3)求cosA+sinC的取值范围。

() 1 30

?

(2) 7

3 (3)( ,3) 2

解:(3)cosA+sinC =cosA+sin(? =cosA+sin(

?
6

? A)

?
6

?A )

1 3 =cosA+ cosA+ sin A 2 2 ? 3 sin A ? (

?
3



? A为锐角三角形的内角知

?
2

?B? A?

? ?
2 2 ,

?B?

?
2

?

?
6

?

?
3

2? ? 5? ? A? ? 3 3 6
1 ? 3 ? ? sin( A ? ) ? 2 3 2
3 ? ? 2 3 3 sin( A ? ) ? 3 2

?

3 ?cosA+sinC的取值范围是( , 3) 2

练习:
1、(07年全国卷)

若三角形中顶点坐标为A(3,4), B(0,0),C (c,0) 2 5 (1)若c?5,求sinA的值; sin A ? 25 5 ?? ?? ? ? (2)若AB? ?0,求c的值; c ? 3 AC (3)若A为钝角,求c的取值范围.
(1)方法一:正弦定理 方法二:余弦定理 (3) 余弦定理

(2) 方法一:向量数量积定义
方法二:勾股定理

25 c? 3

? 2、(07全国卷)在?ABC中,A ? ,边BC ? 2 3, 3 设内角B=x,周长为y。

()求函数y=f(x)的解析式和定义域; 1
2? 2? ( )y ? 4sin x ? 4sin 1 ( ? x) 2 3,(0 ? x ? ) ? 3 3 ?
易求最大值为y ? 6 3

(2)求y的最大值。

(2)y ? 4 3 sin( x ? ) ? 2 3 6

小结:

1、学会利用正弦、余弦定理解决两类题型: (1) 判断三角形的形状; (2) 三角形中的求值题。 2、两种题型思路的共同点就是从“统一”着眼, 或统一转化为三角函数,作三角变换;

或统一转化为边,作代数变换。 3、解三角形中的求值题时还要注意综合运用 三角形的有关性质和三角公式进行变形。 4、本节课渗透的主要数学思想:
转换的思想和方程的思想


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