第七篇 第3讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题_图文


第3讲 二元一次不等式(组)与简单的 线性规划问题
【2014年高考会这样考】

1.考查二元一次不等式(组)表示的区域问题.
2.考查目标函数在可行域条件下的最优解问题.

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考点梳理
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标 系中表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区 域(半平面)不含边界直线.不等式Ax+By+C≥0所表示的 平面区域(半平面)包括边界直线. (2)对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),使得Ax +By+C的值符号相同,也就是位于同一半平面内的点,其 坐标适合同一个不等式Ax+By+C>0;而位于另一个半平 面内的点,其坐标适合另一个不等式Ax+By+C<0. (3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各 个不等式所表示的平面区域的公共部分.
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2.线性规划的有关概念 名称 意义

由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组, 线性约束条件 是对x,y的约束条件

目标函数
线性目标函数 可行解 可行域 最优解

关于x、y的解析式
关于x,y的一次解析式 线性约束条件 的解(x,y) 满足_____________

可行解 组成的集合 所有_______
最大值 或_______ 最小值 的可行解 使目标函数达到_______

最 最大值或__ 求线性目标函数在线性约束条件下的______ 线性规划问题 小值 _____的问题
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【助学· 微博】 一种方法 确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用“直线

定界,特殊点定域”的方法.
(1)直线定界,即若不等式不含等号,则应把直线画成虚 线;若不等式含有等号,把直线画成实线. (2)特殊点定域,由于对在直线Ax+By+C=0同侧的点, 实数Ax+By+C的值的符号都相同,故为确定Ax+By+C 的值的符号,可采用特殊点法,如取原点(0,1)、(1,0)等 点.

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两点提醒 (1)画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元

一次不等式标准化.
(2)求线性目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,当b>0时,直 线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴截距 最小时,z值最小;当b<0时,直线过可行域且在y轴上截 距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大.

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考点自测
1.不等式2x-y≥0表示的平面区域是 ( ).

解析
答案

用点(1,0)代入判断.
A

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2. (2013· 青岛期末)在平面直角坐标系中,不等式组 ?x+ y- 2≥ 0, ? ?x- y+ 2≥ 0, ?x≤ 2 ?

表示的平面区域的面积是

(

).

A.4 2

B.4

C.2 2

D.2

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解析

作出可行域如图所示

|4-0|×2 由题知可行域为△ABC,S△ABC= =4. 2
答案 B
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?y≤2, ? 3.(2012· 广东)已知变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1, ?x-y≤1, ? 3x+y 的最大值为 (

则 z= ).

A.12
解析

B.11

C.3

D.-1

如右图中的阴影部分即为约束条件对

应的可行域, 当直线 y=-3x+z 经过点 A 时, z
? ?y=2, 取得最大值. 由? ? ?x-y=1 ? ?x=3, ?? ? ?y=2,

此时,

z=y+3x=11.

答案

B
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4. (2012· 新课标全国)设 x, y 满足约束条件 x-y≥-1, ? ? ?x+y≤3, ? ?x≥0, ? ?y≥0,
解析

则 z=x-2y 的取值范围为________.

依题意,画出可行域,如图所示,

1 z 可行域为 ABOC, 显然, 当直线 y= x- 过 2 2 点 A(1,2)时, z 取得最小值为-3; 当直线过 点 B(3,0)时,z 取得最大值为 3,综上可知 z 的取值范围为[-3,3].

答案

[-3,3]
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?y≥x, ? 5.(2013· 郑州模拟)设 m>1,在约束条件?y≤mx, ?x+y≤1 ?

下,目标

函数 z=x+5y 的最大值为 4,则 m 的值为________.

解析

画出约束条件的可行域,如图所示(阴影部分),由 z

1 z =x+5y,得 y=- x+ .故目标函数在 P 点处取最大值,由 5 5
? ?y=mx, ? ? ?x+y=1,

1 m 1 得P , ,代入目标函数,得 4= m+ 1 m + 1 m+ 1

5m + ,解得 m=3. m+ 1

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答案

3

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考向一

二元一次不等式(组)表示的平面区域

?2x+y-6≤0, ? 【例 1】 ?(2013· 济南模拟)不等式组?x+y-3≥0, ? y≤2 ? 的平面区域的面积为 (

表示 ).

A.4

B.1

C.5

D.无穷大

[审题视点] 画出不等式组表示的平面区域,确定平面区域 的形状,从而求出面积.

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解析

?2x+y-6≤0, ? ? 不 等 式 组 ?x+y-3≥0, ? ? ?y≤ 2

表示

的平面区域如图所示 ( 阴影部分 ) , △ABC 的面积即为所求.求出点 A,B,C 的坐标 分别为 A(1,2),B(2,2),C(3,0),则△ABC 1 的面积为 S= × (2-1)× 2=1. 2

答案

B
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对于面积问题,可先画出平面区域,然后判
断其形状、求得相应交点坐标、相关线段长度等,利用 面积公式求解;对于求参问题,则需根据区域的形状判 断不等式组的边界,从而确定参数的取值或范围.

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?x+y-1≥0, ? 【训练 1】 若不等式组?x-1≤0, ? ?ax-y+1≥0?a为常数? 面区域的面积等于 2,则 a 的值为

所表示的平 ( ).

A.-5

B.1

C.2

D.3

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解析

x- 1≤0 与 x+ y- 1≥ 0 表示的平

面区域如图中阴影部分所示.由题意知 不等式组所表示的平面区域为一个三角 形区域,设为△ ABC,则 A(1,0),B(0,1), C(1,1+ a)且 a>0,∵S△ ABC=2, 1 ∴ (1+ a)×1= 2, 2 解得 a=3.

答案

D

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考向二

线性目标函数的最值问题

?x-y≤10, ? 【例 2】?(2012· 辽宁)设变量 x,y 满足?0≤x+y≤20, ?0≤y≤15, ? 2x+3y 的最大值为 (

则 ).

A.20

B.35

C.45

D.55

[审题视点] 先根据约束条件作出可行域,再平移目标函数 所对应直线找出最大值点,代入2x+3y可求出最大值.

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解析

作出不等式组对应的平面区域 ( 如图

2 所示),平移直线 y=- x,易知直线经过可 3 行域上的点 A(5,15)时,2x+3y 取得最大值 55,故选择 D.

答案

D

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线性目标函数的最优解一般在平面区域的 顶点或边界处取得,所以对于一般的线性规划问题,

我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目
标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值.

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【训练 2】 (2012· 陕西)设函数

? ?ln x, x> 0, f(x)=? ? ?- 2x- 1, x≤ 0,

D 是

由 x 轴和曲线 y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的 封闭区域,则 z=x-2y 在 D 上的最大值为________.

解析

由题知在点 (1,0)处的切线的斜率

1 k=f′(1)= =1,则切线方程为 y=x-1. 1 区域 D 为如图阴影部分所示.则 z 的最 1 z 大值即为直线 y= x- 在 y 轴上的最小 2 2

截距,此时(0,-1)为最优解,所以 z=0-2×(-1)=2.

答案

2
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考向三

线性规划的实际应用

【例3】?(2012· 黄冈模拟)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船
进行新产品搭载实验,计划搭载新产品A、B,该所要根 据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计 产生收益来决定具体安排,通过调查,有关数据如表: 产品 产品 A(件) B(件) 研制成本与搭载费用 之和(万元/件) 产品质量(千克/件) 预计收益(万元/件) 20 10 80 30 5 60
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计划最大投资 金额300万元 最大搭载质量 110千克

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试问:如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预 计收益达到最大,最大收益是多少?

[审题视点] 设出变量(A产品x件,B产品y件),根据题意找
出约束条件和目标函数,由线性规划实际问题的步骤可求 解.

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设搭载A产品x件,B产品y件,预计收益z=80x+60y.
作出可行域,如图.

?20x+ 30y≤ 300, ? 则?10x+ 5y≤ 110, ? ?x∈ N, y∈ N,

作出直线 l0: 4x+ 3y= 0 并平移,由图 象得,当直线经过 M 点时 z 能取得最大值,
? ?2x+ 3y= 30, ? ? ?2x+ y= 22, ? ?x= 9, 解得? ? ?y= 4,

即 M(9,4).所以 zmax= 80× 9+ 60× 4= 960(万元). 故搭载 A 产品 9 件,B 产品 4 件,可使得总预计收 益最大,为 960 万元.
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对于有实际背景的线性规划问题,可行 域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域,此时 变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点.

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【训练3】 (2012· 江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植 面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植 黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表

年产量/亩 黄瓜
韭菜

年种植成本/亩 1.2万元
0.9万元

每吨售价 0.55万元
0.3万元

4吨
6吨

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)

最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为(
A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50

).

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解析 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为 x、y 亩,则总利润 z =4×0.55x+6×0.3y-1.2x-0.9y=x+0.9y.此时 x、y 满足条 ?x+y≤50, ? 件 ?1.2x+0.9y≤54, ?x,y∈N , ? + A(30,20),故选 B. 画出可行域如图,得最优解为

答案

B
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热点突破15——巧解线性规划中参变量问题
【命题研究】 通过近三年的高考试题分析,对求解线性

规划问题中的参数问题的考查有加强的趋势,这类问
题主要有两类:一是在条件不等式组中含有参数,二 是在目标函数中含有参数;题型主要以选择、填空题 为主,属中档题.

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【真题探究】 ? (2012· 福建)若函数 y= 2x 图象上存在点(x, ?x+ y- 3≤ 0, ? y)满足约束条件?x- 2y- 3≤ 0, ?x≥ m, ? 为
1 A. 2

则实数 m 的最大值 ( ).

3 B.1 C. D.2 2 ? ?x+y-3≤0, [教你审题] 第 1 步 作出? 表示的区域; ? ?x-2y-3≤0

第2步 作出函数y=2x的图象; 第3步 移动直线x=m至恰当位置,求m的最大值.
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[解法] 可行域如图中的阴影部分所示,函 数 y = 2x 的图象经过可行域上的点,由
x ? ?y=2 , ? ? ?x+y-3=0,

? ?x=1, 得? ? ?y=2,

即函数 y = 2x

的图象与直线 x+y-3=0 的交点坐标为 (1,2), 当直线 x=m 经过点(1,2)时, 实数 m 取到最大值为 1,应选 B.

[答案] B

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[备考] 求解线性规划中含参问题的基本方法有两种:一是

把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最
优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求 解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通 过观察的方法确定含参的式子所满足的条件,确定最优解 的位置,从而求出参数.

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?y≥ 1, ? 【试一试】 已知实数 x,y 满足?y≤ 2x- 1, ? ? x+y≤ m,

如果目标

函数 z=x- y 的最小值为-1,则实数 m= ________.
解析 法一 不等式组

?y≥ 1, ? ?y≤ 2x- 1, ? ?x+ y≤ m

所表示的平面区域如图 a

所示,显然,当 m<2 时,不等式组表示 的平面区域是空集;

图a

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当 m= 2 时,不等式组表示的平面区域只包含一个点 A(1,1).显然都不符合题意.故必有 m>2,此时平面区域为 一个三角形区域,其顶点为 A(1,1), B(m- 1,1),
? ?m+ 1 2m- 1 ? ? C? , ?. ? 3 3 ?

目标函数 z= x- y 的几何意义是直线 y= x- z 在 y 轴上的截 距.由图 a,可知当直线经过点 C 时, z 取得最小值,最小 m+ 1 2m- 1 2- m 2- m 值为 z= - = .由题意,得 =- 1,解得 3 3 3 3 m= 5.故填 5.

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法二

由目标函数 z=x-y 的最小值为-1,

可得可行域内的点 P(x,y)满足 x-y≥-1, 故先将其看作已知条件,如图 b 所示,不等 ? ?y≥1, 式组? 所表示的平面区域为 N,作 ? ?y≤2x-1 出直线 x-y=-1, 则该直线与可行域的边界
直线 y=2x-1 交于点 C(2,3),显然当直线 x+y=m 经过点 C 时,不等式 x-y≥-1 成立,代入点 C 的坐标,得 m=2+3 =5.故填 5.

图b

答案

5
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