2019年1月北京市石景山区2018-2019学年第一学期高三期末高2019届高2016级理科科数学试题参考答案


石景山区 2018-2019 学年第一学期高三期末理科数学试题答 案及评分参考 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B B A C D A 二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 80 ; 10. 3n ; 11. 4 ; 12. x ? ?2 ;(答案不唯一) 13. 5 ; 14. 95 ,1155. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题 13 分) 解:(Ⅰ)由图可得 A ? 1, T ? 4? ? ? ? ? ,所以 T ? 2? ,? ? 1. 2 33 当 x ? ? 时, f (x) ? 1,可得 sin(? ? ?) ? 1, 3 3 |?| ? ? , ?? ? ?. 2 6 ? f (x) ? sin(x ? ?) . 6 (Ⅱ) g(x) ? f (x) ? cos x ? sin(x ? ?) ? cos x ? sin x cos ? ? cos xsin ? ? cos x 6 6 6 ? 3 sin x ? 1 cos x ? sin(x ? ?) . 2 2 6 0≤x≤ ?, ?? ? ≤x ? ? ≤ ? . 2 6 63 当 x ? ? ? ? ? ,即 x ? 0 时, g(x) 有最小值为 ? 1 . 66 2 16.(本小题 13 分) 1 解:(Ⅰ)能住宿. 因为 200 名男生中有 10 名男生能住宿, 所以 40 名男生样本中有 2 名男生能住宿。 样本数据中距离为 8.4km 和 8km 的男生可以住宿,距离为 7.5km 以下的男生不 可以住宿, 由于 8.3 >8,所以男生甲能住宿。 (Ⅱ)根据分层抽样的原则,抽取女生样本数为 32 人. 所有样本数据平均值为 40? 5.1? 32? 4.875 ? 5. 40 ? 32 (Ⅲ)解法一:记住宿的双胞胎为 A1, A2 ,其他住宿女生为 B1, B2 , B3, B4, B5, B6 . 考虑 A1 的室友,共有 A2 , B1, B2 , B3, B4 , B5, B6 七种情况, 所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为 1 . 7 解法二:设“双胞胎姐妹被分到同一宿舍”为事件 A, 则 P( A) ? 4C62C42C22 C82C62C42C22 ? 1 7. 所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为 1 . 7 z 17.(本小题 14 分) A (Ⅰ)证明:在△AOC 中, AO ? OC , ∵ OB ? OC ,且 AO I OB = O , ∴ OC ?平面 AOB , 又 OC ? 平面 COD , ∴平面 COD ? 平面 AOB . (Ⅱ)解:如图建立空间直角坐标系O ? xyz , ∵ D 为 AB 的中点, O C x D By 2 ∴ O(0,0,0) , A(0,0,2) , B(0 ,1,0) , C(1,0,0) , D(0 ,1 ,1) , 2 ∴ uuur OC = (1,0 ,0) , uuur OD = (0 ,1 2 ,1) , uuur BC = (1,?1,0) , uuur BD = (0 ,? 1 2 ,1) ur 设 n1 ? (x1 ,y1 ,z1) 为平面 OCD 的法向量, ∴ ur ???nur1 ??n1 ? ? uuur OC uuur OD = = 0 0 , 即 , ? ? ? ?? x1 1 2 = y1 0, + z1 = 0 , 令 z1 = 1,则 y1 = ?2 , ur ∴ n1 ? (0,? 2,1) 是平面 BCD的一个法向量, uur 设 n2 ? (x2 ,y2 ,z2 ) 为平面 OCD 的法向量, ∴ uur ???nuur2 ??n2 ? ? uuur BC uuur BD = = 0 0 , 即 , ? ? x2 ? y2 ? 0 ???? 1 2 y2 + z2 = 0 , 令 z2 = 1,则 x2 = 2 , y2 = 2 , uur ∴ n2 ? (2,2,1) 是平面 OCD 的一个法向量, ∴ cos ? ur n1 uur ,n2 ?? | ur urn1 n1 | ? ? uur nu2ur | n2 | ? 0 ? (?2) ? 2 ?1?1 ?? 5 , 02 ? (?2)2 ?12 ? 22 ? 22 ?12 5 ∴二面角 B ?CD ?O 的余弦值为 5 . 5 (Ⅲ)解法一:∵ OC ? 平面 AOB , ∴ ?CDO 为 CD 与平面 AOB 所成的角, ∵ OC ?1, ∴点 O 到直线 AB 的距离最小时, ?CDO 的正弦值最大, 即当 OD ? AB 时, ?CDO 的正弦值最大, 3 此时 OD ? 2 5 ,∴ CD ? 3 5 , 5 5 ∴ sin ?CDO = 5 . 3 解法二:设 uuur AD = ? uuur AB ,所以 D(0, ?, 2 ? 2?) . uuur CD = (?1,?, 2 ? 2?). 平面 AOB 的法向量 r n = (1, 0, 0) , r uuur 所以 sin? ? |rn ?CuuDur | | n || CD | ? 1 ? 5?2 ? 8? ? 5 1 5(? ? 4)2 ? 9 55 所以当 ? ? 4 时, CD 与平面 AOB 所成的角最大, sin? ? 5 . 5 3 18.(本小题

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