高三数学综合题的解题策略


高三数学综合题的解题策略
【解题指津】

所谓综合题, 是泛指题目本身或在解题过程中,涉及多个知识点和多种数学 思想方法、 具有较高能力要求的数学题. 在高三复习过程中,夯实解题基本功是 十分重要的。 这就要求我们在平时的解题训练中, 要教会学生认真领悟数学思想, 熟练掌握数学方法,正确应用它们分析问题和解决问题,合理运用概念、公式、 法则、定理、定律等,提高思维、运算的准确性,灵活运用数学思想方法进行等 价转化,化繁为简,提醒学生多进行解题后的反思与探究, 提高解题能力。 现在,高考数学试题立足于当前中学数学的实际情况、教学条件和学生素质 等特点, 寓创新意识于其中, 着重在试题由知识型向能力型的转化上进行积极的 探索和创新。这些富有时代气息的试题,突出在对“三基”的考查中,增大思考 量,减少计算量,较好地考查考生的思维品质、创新能力和学习潜能,使高考与 素质教育形成良性互动。 下面,我们从一下几个方面对综合题的解题策略作一些探讨. 一、从条件入手——分析条件,化繁为简,注重隐含条件的挖掘. 二、从结论入手---执果索因,搭好联系条件的桥梁. 三、回到定义和图形中来. 四、以简单的、特殊的情况为突破口. 五、构造辅助问题(函数、方程、图形??),换一个角度去思考. 六、通过横向沟通和转化,将各数学分支中不同的知识点串联起来. 七、培养整体意识,把握整体结构。 八、连续性问题——承上启下,层层递进,充分利用已得出的结论. 希望大家在解题过程中注意体会。
【综合题精选】
? 1. 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ?)( A ? 0, ? ? 0, | ? |? ) 的图象在 y 轴上的截距为 1,它在 y 轴 2 右侧的第一个最大值点和最小值点分别为( x0 ,2 )和( x0 ? 3?,?2 ). (I)求 f (x) 的解析式; (II)用列表作图的方法画出函数 y=f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象. 解:(Ⅰ)由已知,易得 A=2.

T 1 ? ( x0 ? 3? ) ? x0 ? 3? ,解得 T ? 6? ,?? ? . 2 3 x 把(0,1)代入解析式 y ? 2 sin( ? ? ) ,得 3
2 sin? ? 1 .又 ? ?
∴ y ? 2 sin( ? (Ⅱ)

?

x ? ) 为所求.????????????????6 分 3 6

2

,解得 ? ?

?

6



x
x ? ? 3 6

?

?
2

?
? 2

5? 2

4?
3? 2

11? 2

0

?

2?

x ? 2 sin( ? ) 3 6

0

2

0

?2

0

2. 已知函数 f ( x) ? x 3 ? x, x ? R . (I)指出 f (x) 在定义域 R 上的奇偶性与单调性(只须写出结论,无须证明); (II)若 a.b.c∈R,且 a ? b ? 0, b ? c ? 0, c ? a ? 0 ,试证明: f (a) ? f (b) ? f (c) ? 0 . 解:(Ⅰ) f (x) 是定义域 R 上的奇函数且为增函数. (Ⅱ)由 a ? b ? 0 得 a ? ?b .由增函数,得 f (a) ? f (?b) 由奇函数,得 f (?b) ? ? f (b) ∴ f (a) ? f (b) ? 0 同理可得 f (b) ? f (c) ? 0, f (c) ? f (a) ? 0 将上三式相加后,得 f (a) ? f (b) ? f (c) ? 0 . 3.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小 时) 的函数解析式可以表示为: y=

1 3 乙两地相距 100 x 2 ? x ? 8 (0<x≤120).已知甲、 128000 80

千米。 (Ⅰ)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 解: (1)当 x=40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 要耗油(

100 ? 2.5 小时, 40

1 3 ? 40 3 ? ? 40 ? 8) 2.5 ? 17.5(升) . ? 128000 80 100 小时, 设耗油量为 h(x)升,衣题意 x

答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升. (2)当速度为 x 千米/小时,汽车从甲地到乙地行驶了 得 h(x)=(

1 3 100 1 800 15 x 3 ? x ? 8 )? ? x2 ? ? (0<x<120 ) , 128000 80 x 1280 x 4 3 3 x 800 x ? 80 ? 2 ? h’(x)= (0<x≤120= 640 x 640 x 2

令 h’(x)=0,得 x=80. 当 x∈(0,80)时,h’(x)<0,h(x)是减函数; 当 x∈(80,120)时,h’(x)>0,h(x)是增函数. ∴当 x=80 时,h(x)取到极小值 h(80)=11.25. 因为 h(x)在(0,120)上只有一个极值,所以它是最小值. 答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升. 4.已知 a1 ? 1 , S n ? n a n (n ? 1) 求 a n 及 S n .
2

n ?1 a n ?1 n ?1 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 ∵ a1 ? 1 ∴ a2 ? a3 ? ? a4 ? ? ? a5 ? ? ? ? 3 4 3 5 4 3 6 5 4 3 (n ? 1)( n ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ? 1 2 2n ∴ an ? ∴ S n ? n 2 an ? ? (n ? 1)n(n ? 1) ? ? ? 4 ? 3 n(n ? 1) n ?1
解: a n ? S n ? S n ?1 ? n a n ? (n ? 1) a n ?1
2 2

从而有 a n ?

5.已知水渠在过水断面面积为定值的情况下,过水湿周越小,其流量越大.现有以下两种设 计,如图:

图①的过水断面为等腰△ABC,AB=BC,过水湿周 l1 ? AB ? BC. 图 ② 的 过 水 断 面 为 等 腰 梯 形 ABCD, AB ? CD, AD ∥ BC, ?BAD ? 60? , 过 水 湿 周 l 2 ? AB ? BC ? CD .若 ?ABC 与梯形 ABCD 的面积都为 S, (I)分别求 l1和l 2 的最小值; (II)为使流量最大,给出最佳设计方案. 解(Ⅰ)在图①中,设 ?ABC ? ? , AB ? BC ? a .

2S 1 2 ? 2S . a sin? .由于 S . a . sin? 皆为正值,可解得 a ? sin? 2 当且仅当 sin? ? 1 ,即 ? ? 90? 时取等号. 所以 l1 ? 2a ? 2 2S . 在图②中,设 AB ? CD ? m , BC ? n . ?BAD ? 60? 可求得 1 3 m AD ? m ? n , S ? (n ? m ? n) ? 2 2 2S m 解得 n ? ? . 3m 2 2S m 2S 3m l 2 ? 2 m ? n ? 2m ? ? ? ? ? 2 3S ? 24 3 S . 3m 2 3m 2
则S ? 当且仅当

4S 2S 3m ,即 m ? 时取等号. ? 2 3 3 3m

(Ⅱ)由于 2 ? 4 3 ,则 l 2 的最小值小于 l1 的最小值. 所以在方案②中当 l 2 取得最小值时的设计为最佳方案. 6.已知 a1 ? 3且a n ? S n ?1 ? 2 ,求 a n 及 S n .
n

解:∵ a n ? S n ? S n ?1 设 bn ?

∴ S n ? 2S n ?1 ? 2

n



S n S n?1 ? ?1 2 n 2 n?1
∴ bn ? b1 ? n ? 1 ∴ S n ? (2n ? 1)2
n ?1

Sn 2n

则 ?bn ? 是公差为 1 的等差数列

Sn S1 a1 3 1 ∴ n ?n? ? ? 2 2 2 2 2 a n ? S n ? S n?1 ? (2n ? 3)2 n?2 当 n ? 2时
又:∵ b1 ?

∴ an ? ?

(n ? 1) ?3 n ?2 (n ? 2) ?(2n ? 3) ? 2

S n ? (2n ? 1)2 n?1

7.设 a n ? 1 ? 2 ? 证:∵

2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n(n ? 1) 求证:

n(n ? 1) ? n 2 ? n

n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? an ? 2 2 1 2n ? 1 n(n ? 1) ? (n ? ) 2 ? 2 2

∴ n?

n(n ? 1) ?

2n ? 1 2

∴ 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? an ? ∴

1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) 2

n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? an ? 2 2

8. 如图,平行六面体 ABCD-A'B'C'D'中,AC=2 2 ,BC=AA'=A'C=2,∠ABC=90°,点 O 是点 A'在底面 ABCD 上的射影,且点 O 恰好落在 AC 上. (1)求侧棱 AA'与底面 ABCD 所成角的大小; D' C' (2)求侧面 A'ADD'底面 ABCD 所成二面角的正切值; (3)求四棱锥 C-A'ADD'的体积. A' B' 解:(I)连 A1O ,则 A1O ? 平面 ABCD 于 O ∴ ?A1 AO 就是侧棱 AA1 与底面 ABCD 所成的角 D C o A B

在 ?A1 AC 中, A1 A ? A1C ? 2, AC ? 2 2
A1 A2 ? A1C 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 8 ? (2 2 ) 2 ? AC 2

∴ ?A1 AC 是等腰直角三角形 ∴ ?A1 AO ? 45? ,即侧棱 A1 A 与底面 ABCD 所成角为 45°, (II)在等腰 Rt?A1 AC 中, A1O ? AC ,∴ A1O ? 由三垂线定理,知 A1 E ? AD , ∴∠ A1 EO 是侧面 A1 ADD1 与底面 ABCD 所成二面角的平面角。 ∵∠ABC= 90? , AB ?

过 O 作 OE ? AD 于 E,连 A1 E 。∵ A1O ? 平面 ABCD 于 O,

1 AC ? 2 ,且 O 为 AC 中点, 2

AC 2 ? BC 2 ? (2 2 ) 2 ? 2 2 ? 2 ,∴底面 ABCD 是正方形。 AO 1 ∴ OE AB ? 1 。 在 Rt?A1 EO 中, tg?A1 EO ? 1 ? 2 。 2 EO 即所求二面角的正切值为 2 。
(Ⅲ) (Ⅱ) 由 知,A1 E ? AD, AD ? BC ? 2, A1 E ?

A1O 2 ? OE 2 ? ( 2 ) 2 ? 12 ? 3 。

∴ S A1 ADD1 ? AD ? A1 E ? 2 3 。 ∵ A1 E ? AD, OE ? AD ,∴ AD ? 平面A1 EO 。 ∵ AD ? 平面A1 ADD1 ,∴平面 A1 ADD1 ? 平面A1 EO ,它们的交线是 A1 E 。 过 O 作 OH ? A1 E ,则 OH ? 平面A1 ADD1 。

OH ?

OE ? A1O 1 ? 2 ? ? A1 E 3

2 。 3

又∵ O是AC 的中点,∴点 C 到平面 A1 ADD1 的距离 h ? 2OH ? ∴ VC ? A1 ADD1 ?

2 2 。 3

1 1 2 2 4 2 S A1 ADD! ? h ? ? 2 3 ? ? 。 3 3 3 3

1 1 1 4 2 VB1BCC1 ? A!ADD1 ? VABCD ? A1B1C1D1 ? ? 4 2 ? 3 3 3 3 9.已知等差数列的前 n 项和为 a ,前 2n 项和为 b ,求前 3n 项和. 解:由题设 S n ? a S 2 n ? b
另解: VC ? A1 ADD1 ? ∴ a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a 2 n ? b ? a 从而: 而

(a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? (a 2 n?1 ? a 2 n|2 ? ? ? a3n ) ? 2(a n?1 ? a n ? 2 ? ? ? a 2 n ) S 3n ? (a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? (a n?1 ? a n? 2 ? ? ? a 2 n ) ? (a 2 n?1 ? a 2 n|2 ? ? ? a3n )

? 3(a n?1 ? a n? 2 ? ? ? a 2 n ) ? 3(b ? a)
10.已知: 如图, 长方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中, =BC=4, AA1 ? 8 , 为 CC1 AB E 的中点, O1 为下底面正方形的中心.求:(I)二面角 C—AB— O1 的正切 值; (II)异面直线 AB 与 EO1 所成角的正切值; (III)三棱锥 O1 ——ABE 的体积. 解:(Ⅰ)取上底面的中心 O ,作 OF ? AB 于 G ,连 OO1 和 FO1 . 由长方体的性质,得 OO1 ? 平面 ABCD ,由三垂线定理, 得 O1 F ? AB ,则 ?OFO1 为二面角 C ? AB ? O1 的平面角

1 BC ? 2, OO1 ? AA1 ? 8 . 2 OO 在 Rt?O1OF 中, tg?OFO1 ? 1 ? 4 OF (Ⅱ)取 B1C1 的中点 G,连 O1G 和 EG . 易证明 O1G // AB ,则 ?EO1G 为所求 1 O1G ? AB ? 2 . EG ? 2 2 ? 4 2 ? 2 5 . 2 EG ?2 5 在 Rt?EO1G 中, tg?EO1G ? O1G (Ⅲ)连 BG , AG ,由 O1G // AB 易证明 O1G // 平面 ABE . 1 VO1 ? ABE ? VG ? ABE ? VA? BGE ? ? S ?BGE ? AB 3 OF ?

1 S ?BGE ? 32 ? (2 ? 8 ? 2 ? 4 ? 4 ? 4) ? 12 2

∴ VO1 ? ABE ?

1 ?12 ? 4 ? 16 3

11.已知等差数列{ a n }的公差为 d,等比数列{ bn }的公比为 q,且, bn ? 0 ( n ? N ),若
a n ? a1 ? log a bn ? log a b1 (n ? 1, n ? N , a ? 0, a ? 1) ,求 a 的取值.

解:由 bn ? 0 得 b1 ? 0 , q ? 0 由已知,得 a1 ? (n ? 1)d ? a1 ? log a (b1q n?1 ) ? log a b1

(n ? 1)d ? (n ? 1) log a q
∵ n ? 1 ,∴ d ? loga q 由对数定义得 a ? q
d

当 d ? 0 , q ? 1 时,得 a ? 0 , a ? 1 . 当 d ? 0 , q ? 1 时,得 a ? 1 .这与已知 a ? 1 相矛盾. 当 d ? 0 , q ? 1 时,得 a ? q . 综上:当 d ? 0, q ? 1 时, a ? 0, a ? 1 当 d ? 0 , q ? 1 时, a 的取值集合为空集
1 1 d

当 d ? 0 , q ? 1 时, a ? q d 12. 已知 S n ? 4 ? a n ?

1 2
n?2

(n ? N *) 求 a1 , a n ?1和a n 的关系式及通项公式 a n 1 2
1? 2

解: a1 ? S1 ? 4 ? a1 ?

? a1 ? 1

1 ? ?S n ? 4 ? a n ? 2 n ? 2 ? 1 ?S n ?1 ? 4 ? a n ?1 ? ( n ?1) ?2 2 ?

? ②?①: a n?1 ? ?a n?1 ? a n ?
n
n n

1
n ?1

2 2 n ?1 将上式两边同乘以 2 得: 2 a n ?1 ? 2 a n ? 1

?

1
n?2

即: a n?1 ?

1 1 an ? n 2 2

显然: 2 ∴ 2 ∴ an ?
n ?1

?

n ?1

a n 是以 1 为首项,1 为公差的 AP

?

即: 2 a n ?1 ? 2

n ?1

an ? 1

a n ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n

n 2 n?1

13.已知:如图,射线 OA 为 y=2x(x>0),射线 OB 为 y= –2x(x>0),动点 P(x, y)在 ?AOx 的内部, PM ? OA于M , PN ? OB 于 N,四边形 ONPM 的面积为 2.. (I)动点 P 的纵坐标 y 是其横坐标 x 的函数,求这个函数 y=f(x)的解析式; (II)确定 y=f(x)的定义域. 解:(Ⅰ)设 M (a,2a) , N (b,?2b) 则 OM ? 5a , ON ?

(a ? 0, b ? 0) .

5b

由动点 P 在 ?AOx 的内部,得 0 ? y ? 2 x . ∴ PM ?

2x ? y

∴ S四边形 ONPM

2x ? y 2x ? y 2x ? y ? , PN ? 5 5 5 5 ? S ?ONP ? S ?OPM ?

1 1 ? ( OM ? PM ? ON ? PN ) ? [a(2 x ? y ) ? b(2 x ? y )] 2 2 1 ? [2(a ? b) x ? (a ? b) y ] ? 2 2 ∴ 2(a ? b) x ? (a ? b) y ? 4 ① 1 y ? 2a 1 y ? 2b 又 k PM ? ? ? , k PN ? ? 2 x?a 2 x ?b x ? 2y x ? 2y 分别解得 a ? ,b ? 5 5 2 2 代入①式消去 a . b ,并化简得 x ? y ? 5 .
∵ y ? 0 ,∴ y ?

x2 ? 5 .

(Ⅱ)由 P 在 ?AOx 内部,得 0 ? y ? 2 x . 又垂足 N 必须在射线 OB 上,否则 O . N . P . M 四点不能构成四边形,所以还必 须满足条件 y ?

1 x 2

?0 ? x 2 ? 5 ? 2 x 2 15 1 ? ∴? ? 0 ? x2 ? 5 ? x ? 5 ? x ? 1 2 3 2 ? x ?5 ? x 2 ?
所以 y ? f (x) 的定义域为 ? x 5 ? x ?

? ? ? ?

? 2 15 ? ? 3 ? ?
2 )+1(a>0,a≠1) a

14.解关于 x 的不等式:loga(x2-x-2)>loga(x-

解:原不等式等价于 loga ( x 2 ? x ? 2) ? loga (ax ? 2) ??① 1°当 a ? 1 时,①式可化为

? x 2 ? x ? 2 ? 0, ? ?ax ? 2 ? 0, ? 2 ? x ? x ? 2 ? ax ? 2
∴ x ? a ?1 2°当 0 ? a ? 1 时,①式可化为
? x 2 ? x ? 2 ? 0, ? ?ax ? 2 ? 0, ? 2 ? x ? x ? 2 ? ax ? 2

2 ? ? ?ax ? 2 ? 0, ?x ? , 从而 ? 2 即? a ? x ? x ? 2 ? ax ? 2, ? ? x ? 0或x ? a ? 1 ?

从而 ?

? 2 ? x ? x ? 2 ? 0, ? x ? x ? 2 ? ax ? 2 ?
2

即?

? x ? ?1或x ? 2 ?0 ? x ? a ? 1

∴ x ?Φ

综上所述,当 a ? 1 时,原不等式的解集为 {x | x ? a ? 1} ;当 0 ? a ? 1 时,不等式的解集 为Φ 15.在三角形 ABC 中,三内角满足 A+C=2B, 解:∵A+C=2B,∴A+C=120°,B=60°
1 1 2 ,∴ cos A ? cosC ? ?2 2 cos A cosC ? ?? cos A cosC cos B A?C A?C 1 ∴ 2 cos cos ? ?2 2 ? [cos(A ? C) ? cos(A ? C)] 2 2 2

A?C 1 1 2 ,求 cos 的值 ? ?? cosA cosC cosB 2

又∵

1 A?C 1 A?C 即 2 ? ( ) cos ? ? 2 (? ? 2 cos2 ? 1) 2 2 2 2
A?C A?C 3 2 ? cos ? ?0 2 2 2 A?C 3 令 cos 2 ?0 ? t ,则上式为 2 2t 2 ? t ? 2 2 2 3 ∴ t1 ? , t2 ? ? 2 2 2 2 2 cos2

∵ | cos

A?C 2 A?C ? |? 1 ,∴ cos 2 2 2

16. 已知三点 P(5,2)、 F1 (-6,0)、 F2 (6,0). (Ⅰ)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 P、 F1 、 F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P ? 、 F1' 、 F2' ,求以 F1' 、 F2' 为 焦点且过点 P ? 的双曲线的标准方程。 解:(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0),其半焦距 c=6 a 2 b2

2a ? PF1 ? PF2 ? 112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 6 5 ∴ a ? 3 5 ,b2=a2-c2=9.

x2 y 2 所以所求椭圆的标准方程为 ? ?1 45 9
(2)点 P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为点 P (2,5)、F1 (0,-6)、F2 (0,6). 设所求双曲线的标准方程为
, , ,

x2 y 2 ? ? 1(a1 ? 0, b1 ? 0) 由题意知,半焦距 c1=6 a12 b12

2a1 ? P?F1? ? P?F2? ? 112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 4 5
x2 y2 a1 ? 2 5 ,b1 =c1 -a1 =36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为 ? ?1 20 16
2 2 2

17. 请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 o1 的距离为多少时,帐篷的 O1 体积最大? 解:设 OO1 为 x m, 则由题设可得正六棱锥底面边长为(单位:m)

32 ? ( x ? 1) 2 ? 8 ? 2 x ? x 2
于是底面正六边形的面积为(单位:m )
2

S ? 6?

3 3 3 ?( 8 ? 2 x ? x 2 ) 2 ? (8 ? 2 x ? x 2 ) 4 2
3

帐篷的体积为(单位:m ) V ( x) ?

3 3 3 ?1 ? (8 ? 2 x ? x 2 ) ? ( x ? 1) ? 1? ? (16 ? 12 x ? x 3 ) 2 3 2 ? ?

求导数,得 V ?( x) ?

3 (12 ? 3x 2 ) 2

令 V ?( x) ? 0 解得 x=-2(不合题意,舍去),x=2. 当 1<x<2 时, V ?( x) ? 0 ,V(x)为增函数; 当 2<x<4 时, V ?( x) ? 0 ,V(x)为减函数。 所以当 x=2 时,V(x)最大。 答当 OO1 为 2m 时,帐篷的体积最大。 18.在工厂生产中,若机器更新过早,则生产潜力未能充分发挥而造成浪费;若更新过迟, 老机器生产效率低,维修与损耗费用大,也会造成浪费.因此,需要确定机器使用的最佳年 限(即机器使用多少年平均费用最小) 某工厂用 7 万元购买了一台新机器, 运输安装费 2 千元, 每年投保.动力消耗固定的费 用为 2 千元;每年的保养.维修.更换易损件的费用逐年增加,第一年为 2 千元,第二年为 3 千元,第三年为 4 千元,??,即每年增加 1 千元,问这台机器的最佳使用年限是多少年? 并求出年平均费用的最小值. 解:设使用 n 年为最佳年限,则每年的平均费用

y?

1 ?7 ? 0.2 ? 0.2n ? [0.2 ? 0.3 ? 0.4 ? ? ? (0.2 ? (n ? 1) ? 0.1] ? n

1 (7.2 ? 0.35n ? 0.05n 2 ) n 7.2 7.2 ? 0.05 n ? 0.35 ? ? 0.05n ? 0.35 ? 2 n n ?
当且仅当

? 1.2 ? 0.35 ? 1.55 (万元)。

7.2 7.2 ? 0.05n ,即 n 2 ? ? 144 ,即 n ? 12 时取等号。 n 0.05

答:这台机器最佳使用年限为 12 年,且年平均费用的最小值为 1.55 万元。 19.已知数列{an}满足 a1=2,对于任意的 n∈N,都有 an>0, 且(n+1)a 2 +anan+1-na 2 ?1 =0,又知数列{bn}:b1=2n-1+1 n n (1)求数列{an}的通项 an 以及它的前 n 项和 Sn; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn; (3)猜想 Sn 和 Tn 的大小关系,并说明理由. 解:(Ⅰ)∵ an ? 0(n ? N ), (n ? 1)an ? an an?1 ? nan?1 ? 0
2 2

∴ (n ? 1)(

an 2 a ) ? ( n ) ? n ? 0。 an?1 an?1

?? 1, ? 1 ? 1 ? 4n(n ? 1) ? 1 ? (2n ? 1) ? an ? ? ?? n ∴ an?1 2(n ? 1) 2(n ? 1) ?n ? 1. ?
∴ an ? 0 ,∴ ∴

an an?1 ? an?1 an?2 a ∴ n ? n ,∴又 a1 ? 2 ,∴ an ? 2n 。 a1

an a n n ?1 。 即 n?1 ? 。 ? an?1 n ? 1 an n a a a n n ?1 n ? 2 3 2 ? n?2 ? ? ? 3 ? 2 ? ? ? ??? ? ? n 。 a n ?3 a2 a1 n ? 1 n ? 2 n ? 3 2 1

∴ S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? 2 ? (Ⅱ)∵ bn ? 2
0 n
n ?1

n(n ? 1) ? n2 ? n 。 2

? 1,
0 1 2 n?1

∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? (2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2

)?n

?

2 (2 ? 1) ? n ? 20 ? n ? 1 。 2 ?1
n 2 n 2

(Ⅲ) Tn ? S n ? (2 ? n ? 1) ? (n ? n) ? 2 ? n ? 1 当 n ? 1时, T1 ? S1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 0 ,∴ T1 ? S1 ;
1 2

当 n ? 2 时, T2 ? S 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? ?1 ? 0 ,∴ T2 ? S 2 ;
2 2

当 n ? 3 时, T3 ? S 3 ? 2 ? 3 ? 1 ? ?2 ? 0 ,∴ T3 ? S3 ;
3 2

当 n ? 4 时, T4 ? S 4 ? 2 ? 4 ? 1 ? ?1 ? 0 ,∴ T4 ? S 4 ;
4 2

当 n ? 5 时, T5 ? S 5 ? 2 ? 5 ? 1 ? 6 ? 0 ,∴ T5 ? S5 ;
5 2

当 n ? 6 时, T6 ? S 6 ? 2 ? 6 ? 1 ? 27 ? 0 ,∴ T6 ? S6 。
6 2

猜想:当 n ? 5 时, Tn ? S n 。 下面用数学归纳法证明: 1? 当 n ? 5 时,前面已验证成立;

即 2 ? n ? 1 ? 0 。亦即 2 ? n ? 1。
n 2 n 2

2? 假设 n ? k (k ? 5) 时, 2 k ? k 2 ? 1 成立,那么当 n ? k ? 1(k ? 5) 时, 2 k ?1 ? 2 ? 2 k ? 2(k 2 ? 1) ? k 2 ? k 2 ? 2 ? k 2 ? 5k ? 2 ? k 2 ? 2k ? 2 ? (k ? 1) 2 ? 1 。 k ?1 2 ∴当 n ? k ? 1(k ? 5) 时, 2 ? (k ? 1) ? 1 也成立。 由以上 1? . 2? 可知,当 n ? 5 时,有 Tn ? S n ;当 n ? 1时, T1 ? S1 ; 当 2 ? n ? 5 时, Tn ? S n 。
20.将两副三角板放成如图所示的形状,使二面角 D-AC-B 成直二面角。 0 已知:BC=CD,∠ACD=∠ABC=90 .求:二面角 C-AB-D 的大小。 证:如图∵平面 ACD?平面 ABC,CD?AC, ∴CD?平面 ABC. ∵斜线 BD 在平面 ABD 上的射影为 BC,AB?BC, ∴AB?BD.即∠DBC 为二面角 C-AB-D 的平面角。 0 ∵BC=CD,CD?BC,∴∠DBC=45 21.正方形 ABCD 和正方形 ABEF 折成一个二面角,M.N 分别是对角线 AC

和 BF 上的点,且 AM=FN(如图),求证:MN//平面 BEC. 证明:如图,分别过 M.N 作 MP∥DC 交 BC 于 P,NQ ∥EF 交 EB 于 Q,连接 PQ ∵EF∥AB∥CD,∴MP∥NQ 又∵AM=FN,∴在正方形 ABEF 和正方形 ABCD 中,MP=NQ ∴ 四边形 MPQN 为平行四边形 ∴MN∥PQ,∵ PQ ? 平面EBC, MN ? 平面EBC ∴MN∥平面 EBC

Q P

22.矩形 ABCD(AB≤BC)中,AC=2 2 ,沿对角线 AC 把它折成直二面角 B-AC-D 后,BD= 5 ,求 AB.BC 的长. C B B C A D

D 解:如图, A 分别过 B.D 作 BE⊥AC 于 E,DF⊥AC 于 F, 设∠BAC=θ ,则 AB=ACcosθ =2 2 cosθ , BE=DE=ABsinθ = 2 sin2θ , 2 AE=ABcosθ =2 2 cos θ ∴EF=AC-2AE 2 =2 2-2?2 2cos θ =-2 2 cos2θ 折叠后,在平面 ACD 内过 E 作 EG∥FD,且 EG=FD,连接 DG.BG.BD,则∠BEG 为二面角 B-AC- D 的平面角,∴∠BEG=90° 于是 BG= 2 BE= 2? 2 sin2θ =2sin2θ 2 2 2 2 2 ∴BG +DG =BD ,即:(2sin2θ ) +(-2 2 cos2θ ) =5 1 2 ∴4(cos2θ ) =1,∴cos2θ =± , 2 1 1 ∵AB≤BC,∴cos2θ =- ∴cosθ = ,故 AB= 2 ,BC= 6. 2 2 23.在三棱锥 A-BCD 中,E.F 分别是线段 AD.BC 上的点,满足 与 CD 所成的角为 60 ,求 EF 的长. 解:如图,过 E 分别作 EG∥AB 交 BD 于 G,EH∥DC 交 AC 于 H, 连接 GH.FH,由条件,易知 EGFH 为平行四边形。 ∴∠GEH 为异面直线 AB 与 CD 所成的角或其补角。∴∠GEH=60°或 120° 2 1 又 EG= AB=2,EH= AB=1, 3 3
o

AE BF 1 ? ? ,AB=CD=3,且 AB ED FC 2
A E H

D

2 2 G 由余弦定理得:EF= 2 +1 ±2?2?1?cos60° = 3 或 7 B F o 24.如图,△ABC 和△DBC 所在平面互相垂直 ,AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120 ,求 (1) AD 与平面 BCD 的成角; (2) AD 与 BC 的成角; (3) 二面角 A-BD-C 的正切值. 解:(1)如图,过 A 作 AE⊥CB 与 CB 的延长线交与 E,连接 DE,

C

∵平面 ABC⊥平面 DBC∴AE⊥平面 DBC, ∴∠ADE 即为 AD 与平面 CBD 所成的角。 ∵AB=BD,∠CBA=∠DBC,EB=EB A ∴∠ABE=∠DBE,∴△DBE≌△ABE ∴DE⊥CB 且 DE=AE F ∴∠ADB=45°∴AD 与平面 CBD 所成的角为 45° (2)由(1)知 CB⊥平面 ADE E B ∴AD⊥BC 即 AD 与 BC 所成的角为 90°. M (3)过 E 作 EM⊥BD 于 M G 由(2)及三垂线定理知,AM⊥BD, ∴∠AME 为二面角 A-BD-C 的平面角的补角. D ∵AE=BE=2ME,∴tg∠AME=2,故二面角 A-BD-C 的正切值为-2. 25.如图:已知平面四边形 ABCD,AC.BD 相交于 O,AB=AD,CB=CD, ∠ABC=120°,且 PA⊥平面 ABCD. (1)若 AB=PA= 6 ,求 P 到直线 BC 的距离; (2)求证平面 PBD⊥平面 PAC. 证明(1)延长 CB,过 A 在平面 ? 内作 AE⊥CB,垂足为 E. ∵∠ABC=120°,∴∠ABE=60°,在 Rt△ABE 中:AE=AB?sin60°= 6 ? ∵PA⊥平面 ? ,AE⊥EB,∴AE 是 PE 在平面 ? 内的射影, ∴PE⊥EB,∴PE 为点 P 到 BC 的距离.在 Rt△PAE 中: PE= PA ? AE ?
2 2

H C

3 3 2 = 2 2

6?

9? 2 42 ? . 4 2

(2)在四边形 ABCD 中,取 BD 中点 O,连 AO.CO, ∵AB=AD,CD=CB,BO=OD, ∴AO⊥BD,CO⊥BD, ∴A.O.C 共线,∴AC⊥BD. 又 PA⊥ ? ,∴PA⊥BD, ∴BD⊥平面 PAC,∵BD ? 平面 PBD, ∴平面 PBD⊥平面 PAC. 26.在正三角形 ABC 中,E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点,满足 AE:EB=CF:FA =CP:PB=1:2(如图 1)。将△AEF 沿 EF 折起到 ?A1 EF 的位置,使二面角 A1-EF -B 成直二面角,连结 A1B、A1P(如图 2) (Ⅰ)求证:A1E⊥平面 BEP; (Ⅱ)求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小; (Ⅲ)求二面角 B-A1P-F 的大小(用反三角函数表示)

A E
E

A1

F
B P

F

C

B
图1

P

C
图2

解法一:不妨设正三角形 ABC 的边长为 3 0 (1) 在图 1 中,取 BE 中点 D,连结 DF. AE:EB=CF:FA=1:2∴AF=AD=2 而∠A=60 , ∴ △ADF 是正三角形, AE=DE=1, ∴EF⊥AD 在图 2 中, 1E⊥EF, BE⊥EF, ∴∠A1EB 又 A 为二面角 A1-EF-B 的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角,A1E⊥BE,又 BE ? EF ? E ∴A1E⊥平面 BEF,即 A1E⊥平面 BEP (2) 在图 2 中,A1E 不垂直 A1B, ∴A1E 是平面 A1BP 的斜线,又 A1E⊥平面 BEP, ∴A1E⊥BE.从而 BP 垂直于 A1E 在平面 A1BP 内的射影(三垂线定理的逆定理)设 A1E 在平 面 A1BP 内的射影为 A1Q,且 A1Q 交 BP 于点 Q,则∠E1AQ 就是 A1E 与平面 A1BP 所成的角, 0 且 BP⊥A1Q.在△EBP 中, BE=EP=2 而∠EBP=60 , ∴△EBP 是等边三角形.又 A1E⊥平面 BEP , ∴ A1B=A1P, ∴ Q 为 BP 的 中 点 , 且 EQ ? 3 , 又 A1E=1, 在 Rt △ A1EQ 中 ,
0

t a n EA1Q ? ?

EQ ? A1 E

3 ,∴∠EA1Q=60 , ∴直线 A1E 与平面 A1BP 所成的角为 60
0

o

在图 3 中,过 F 作 FM⊥ A1P 与 M,连结 QM,QF,∵CP=CF=1, ∠C=60 , ∴△FCP 是正三角形,∴PF=1.有 PQ ?

1 BP ? 1 ∴PF=PQ①, 2

∵A1E⊥平面 BEP, EQ ? EF ? 3 ∴A1E=A1Q, ∴△A1FP≌△A1QP 从而∠A1PF=∠A1PQ②, 由①②及 MP 为公共边知△FMP≌△QMP, o ∴∠QMP=∠FMP=90 ,且 MF=MQ, 从而∠FMQ 为二面角 B-A1P-F 的平面角. 在 Rt△A1QP 中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又∴ A1 P ? 5 . ∵ MQ⊥A1P∴ MQ ?
A1Q? PQ A1P

?

2 5 ∴ 5

MF ?

2 5 0 在△FCQ 中,FC=1,QC=2, ∠C=60 ,由余弦定理得 QF ? 3 5
7 MF 2 ? MQ 2 ? QF 2 ?? 2 MF ? MQ 8

在△FMQ 中, cos ?FMQ ?

∴二面角 B-A1P-F 的大小为 ? ? arccos

7 8

27.设 a 为实数,设函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a)。 (Ⅰ)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) (Ⅱ)求 g(a)
1 (Ⅲ)试求满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a a

解: t ? 1 ? x ? 1 ? x

要使有 t 意义,必须 1+x≥0 且 1-x≥0,即-1≤x≤1, ∴ t ? 2 ? 2 1 ? x ? [2, 4], t≥0
2 2



t 的取值范围是 [ 2, 2]. 由①得 1 ? x 2 ? ∴m(t)=a(

1 2 t ?1 2

1 2 1 t ? 1 )+t= at 2 ? t ? a, t ? [ 2, 2] 2 2 1 (2)由题意知 g(a)即为函数 m(t ) ? at 2 ? t ? a, t ? [ 2, 2] 的最大值。 2 1 1 注意到直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at 2 ? t ? a 的对称轴,分以下几种情况讨论。 a 2
当 a>0 时,函数 y=m(t), t ? [ 2, 2] 的图象是开口向上的抛物线的一段, 由t ? ?

1 <0 知 m(t)在 [ 2, 2]. 上单调递增,∴g(a)=m(2)=a+2 a

(2)当 a=0 时,m(t)=t, t ? [ 2, 2] ,∴g(a)=2. (3)当 a<0 时,函数 y=m(t), t ? [ 2, 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段, 若t ? ?

2 1 则 g (a) ? m( 2) ? 2 ? [0, 2] ,即 a ? ? 2 a

若t ? ? 若t ? ?

2 1 1 1 1 ? a ? ? 则 g (a) ? m(? ) ? ?a ? ? ( 2, 2] ,即 ? 2 2 a a 2a

1 1 ? (2, ??) ,即 ? ? a ? 0 则 g (a) ? m(2) ? a ? 2 a 2
a?? 1 2

?a ? 2, ? 2 1 1 ? ?a?? , 综上有 g (a ) ? ?? a ? , ? 2 2 2a ? ? 2, 2 ? a?? 2
(3)解法一: 情形 1:当 a ? ?2 时 由2?

1 1 1 1 ? ? ,此时 g (a ) ? 2 , g ( ) ? ? 2 a 2 a a

1 2 ? 2解得a ? ?1 ? ,与 a<-2 矛盾。 a 2 2 1 1 1 1 a ? ? ? 时,此时 g (a ) ? 2 , g ( ) ? ? ? 2 a 2 a a 2

情形 2:当 ?2 ? a ? ? 2 ?

1 a 2 ? ? ? 解得, a ? ? 2 与 a ? ? 2 矛盾。 a 2
情形 3:当 ? 2 ? a ? ?

2 1 2 1 时,此时 g (a) ? 2 ? g ( ) ,? 2? ?? a 2 2 a

所以 ? 2 ? a ? ?

2 , 2

情形 4:当 ?

2 1 1 1 , ? a ? ? 时, ?2 ? ? ? 2 ,此时 g (a) ? ?a ? 2 2 a 2a

1 2 2 1 ? 2, 解得a ? ? , 与a ? ? 矛盾。 g ( ) ? 2 ?a ? 2a 2 2 a

1 1 1 ? a ? 0 时, ? ?2 ,此时 g(a)=a+2, g ( ) ? 2 2 a a 1 由 a ? 2 ? 2 解得 a ? 2 ? 2, 与a ? ? 矛盾。 2 1 1 1 情形 6:当 a>0 时, ? 0 ,此时 g(a)=a+2, g ( ) ? ? 2 a a a 1 由 a ? 2 ? ? 2解得a ? ?1 ,由 a>0 得 a=1. a
情形 5:当 ? 综上知,满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a 为 ? 2 ? a ? ?

1 a

2 , 或 a=1 2

28.进货原价为 80 元的商品 400 个,按 90 元一个售出时,可全部卖出。已知这种商品每个 涨价一元,其销售数就减少 20 个,问售价应为多少时所获得利润最大? 解:设售价为 90 ? x 元时利润为 y ,此时售量为 400 ? 20 x.

y ? (90 ? x)( 400 ? 20 x) ? (400 ? 20 x) ? 80 ? 20(20 ? x)(10 ? x) ? 20[?( x ? 5) 2 ? 225 ].
当 x ? 5 时, y max ? 4500 (元)。 答:售价为 95 元时获利最大,其最大值为 4500 元。 35.20 个劳动力种 50 亩地,这些地可种蔬菜.棉花.水稻。这些作物每亩地所需劳力和预计 产值如下表。应怎样计划才能使每亩地都能种上作物(水稻必种),所有劳力都有工作且作 物预计总产值达最高? 作物 劳力/亩 产值/亩 蔬菜 棉花 水稻 1/2 1/3 1/4 0.6 万元 0.5 万元 0.3 万元

解:设种 x 亩水稻(0<x≤50), y 亩棉花(0<x≤50)时,总产值为 h 且每个劳力都有 工作。

? h ? 0.3x ? 0.5 y ? 0.6[50 ? ( x ? y)] 且 x . y 满足

x 1 1 ? y ? [50 ? ( x ? y)] ? 20. 4 3 2

3 x ? 27,4 ? x ? 50, x ? N . 20 欲使 h 为最大, x 应为最小, 则 故当 x ? 4 (亩) hmax ? 26 .4 万元, 时, 此时 y ? 24 (亩) 。
即h ? ? 故安排 1 人种 4 亩水稻,8 人种 24 亩棉花,11 人种 22 亩蔬菜时农作物总产值最高且每 个劳力都有工作。 36.某企业在今年年初向银行贷款 a 万元,年利率为 r ;从今年年末开始,每年末向银行 偿还一定的金额,预计五年内还清,问每年末平均偿还的金额应是多少? 解:设平均每年末应向银行偿还 x 万元,则每年尚欠银行款依次为:

a ? ar ? x ? a(1 ? r ) ? x, a(1 ? r ) ? x ? [a(1 ? r ) ? x] ? r ? x ? a(1 ? r ) 2 ? x(1 ? r ) ? x,
?? 第五年欠款应等于零,即:

a(1 ? r ) 5 ? ? x[(1 ? r ) 4 ? (1 ? r ) 3 ? ? ? (1 ? r ) ? 1] ? a(1 ? r ) 5 ? x ?
ar(1 ? r ) 5 ∴x ? (1 ? r ) 5 ? 1
2

(1 ? r ) 5 ? 1 ? 0. r

ar(1 ? r ) 5 故平均每年末向银行偿还金额 万元。 (1 ? r ) 5 ? 1
2

29.某市 1994 年底人口为 20 万,人均住房面积为 8 m ,计划 1998 年底人均住房面积达 10 m 。如果该市每年人口平均增长率控制在 1%,要实现上述计划,这个城市每年平均至少 要新增住房面积多少万 m (结果以万 m 为单位,保留两位小数)。 解:设平均每年至少要新增住房面积 x 万 m 。四年共新增住房面积 4 x 万 m 。此时住 房总面积应为 20 ? 8 ? 4 x 万 m 。另一方面,到 1998 年底总人口为 20(1+1%) 万。按人均
2
4

2

2

2

2

10 m 计,1998 年底应有住房面积为 20?10?(1+1%) 万 m 。据题意有:

2

4

2

20 ? 8 ? 4 x ? 200 (1 ? 1%) 4 ,即x ? 50(1 ? 1%) 4 ? 40.
因 1.01 ? 1.0406 . 故 x ? 50 ?1.0406 ? 40 ? 52.03 ? 40 ? 12.03. 即 x ? 12.03.
4

故该城市每年至少要新增住房面积 12.03 万 m ,才可达人均住房面积 10 m 的目标。 38.铁道机车运行 1 小时所需的成本由两部分组成,固定部分为 m 元,变动部分与运行 速度 V(千米/小时)的平方成正比。比例系数为 k(k≠0)。如果机车匀速从甲站开往乙站, 为使成本最省应以怎样的速度运行? 解:设以速度 V 匀速运行成本最省,甲.乙两站相距 S 千米,则机车匀速从甲站到乙站 所需时间为 t ?

2

2

S . 总成本为 y 元。 V S ? y ? (m ? KV 2 ) ? S ( KV ? mV ) ? 2S Km, V m 仅当 V ? 时, y 有最小值, K
故机车以速度

m 千米/小时匀速运行时,成本最省。 K

30.某渔场养鱼,鱼的重量增长率第一年为 400%,以后每年重量增长率都是前一年的三分之 一。同时鱼每年要损失预计重量的 10%。预计养鱼的费用第一年是鱼苗成本的 20%,以后每 年的费用 M(t) 与年数 t 满足关系式 M (t ) ?

t ? 2且t ? N )。问该渔场的鱼养几年后全部捕捞,鱼的产值高且费用较少(设鱼苗价 30 元/斤,成鱼市场价 7 元/斤)。 解:设第 n 年鱼的产值 a n 为最高。p 为鱼苗总重量,则

a 2 t ? 7t ? 13 (其中 a 为鱼苗成本, 10

a 1 63 21 且a1 ? 7 p(1 ? 4)(1 ? ) ? p? a, 30 10 2 20 4 1 4 1 63 ? 21 441 a2 ? 7 p(1 ? 4)(1 ? )(1 ? ) 2 ? a1 (1 ? )(1 ? ) ? p? a. 3 10 3 10 20 200 4 4 1 4 1 a3 ? 7 p(1 ? 4)(1 ? )(1 ? 2 )(1 ? ) 3 ? a 2 (1 ? 2 )(1 ? ) 3 10 10 3 3 63 ? 21 ? 13 441 ? 13 ? p? a 200 2000 4 1 a 4 ? a3 (1 ? 3 )(1 ? ), ??, 10 3 4 9 a n ? a n ?1 (1 ? n ?1 ) ? . 10 3 n 当 a n ?1 ? a n时,3 ? 36,? n ? 4. p?
即第 4 年鱼的产值最高;另一方面,

a 2 a 7 3 t ? 7t ? 13 ? (t ? ) 2 ? . 10 10 2 4 a 当 t ? 3 或 4 时, M (t ) min ? . 10 M (t ) ?
下面比较第 4 年比第 3 年增加的产值 G 与该年投入的费用 若 G≠0 则取 t ? 4 ; 若G ?

a 的大小。 10

a , 则取 t ? 3. 10 1 1911 a a ? G ? a 4 ? a3 ? a3 ? ? ? . 30 2000 10 10 ∴取 n ? 3 ,即该渔场三年后捕捞,鱼的总产值高且费用较少。 31.按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a 元,每期利率为 r ,设本利和为 y ,存期为 x , 写出本利和 y 随存期 x 变化的函数式,如果存入本金 1000 元,每期利率 2.25%,试计算 5
期后的本利和是多少? 解:已知本金为 a 元 1 期后的本利和为 y1 ? a ? a ? r ? a(1 ? r ) ; 2 期后的本利和为 y 2 ? a(1 ? r ) ? a(1 ? r )r ? a(1 ? r ) ;
2

3 期后的本利和为 y 3 ? a (1 ? r ) ;??
3

x 期后的本利和为 y ? a(1 ? r ) x 将 a ? 1000 (元), r =2.25%, x ? 5 代入上式得 y ? 1000 ? (1 ? 2.25%)5 ? 1000 ? 1.0225 5 x 由计算器算得 y ? 1117 .68 (元) 答:复利函数式为 y ? a(1 ? r ) ,
5 期后的本利和为 1117.68 元 评述:此题解答的过程体现了解题的思路,再现了探究问题的过程,容易被学生接受。 31.某乡镇现在人均一年占有粮食 360 千克,如果该乡镇人口平均每年增长 1.2%,粮食总产 量平均每年增长 4%,那么 x 年后若人均一年占有 y 千克粮食,求出函数 y 关于 x 的解析式。 分析:此题解决的关键在于恰当引入变量,抓准数量关系,并转化成数学表达式,具 体解答可以依照例子。 解:设该乡镇现在人口量为 M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为 360M。

经过 1 年后 该乡镇粮食总产量为 360M(1+4%), 人口量为 M(1+1.2%) 则人均占有粮食为 经过 2 年后:人均占有粮食为

360 M (1 ? 4%) ; M (1 ? 1.2%)

360 M (1 ? 4%) 2 ?? M (1 ? 1.2%) 2

360 M (1 ? 4%) x M (1 ? 1.2%) x 1.04 x 即所求函数式为: y ? 360 ( ) 1.012
经过 x 年后:人均占有粮食 y ? 评述:这是一个有关平均增长率的问题,如果原来的产值的基础数为 N,平均增长率为 P,则对于时间 x 的总产值 y 可以用下面的公式,即 y ? n(1 ? p) 解决平均增长率的问题,常用这个函数式。 32.购买一件售价为 5000 元的商品,采用分期付款方法.每期付款数相同,购买后 1 个月付 款一次,过 1 个月再付一次,如此下去,到第 12 次付款后全部付清.如果月利率为 0.8%, 每月利息按复利算(上月利息要计入下月本金),那么每期应付款多少(精确到 1 元)? 解:设每期付款 x 元,根据题意,得到
x

x ? 1.008 x ? 1.008 2 x ? ? ? 1.00811 x ? 5000 ? 1.00812. 2 11 12 所以 x(1 ? 1.008 ? 1.008 ? ? ? 1.008 ) ? 5000 ? 1.008 .
由等比数列前 n 项和的公式得 x ?

1 ? 1.008 12 ? 5000 ? 1.008 12 1 ? 1.008

5000 ? 1.008 12 ? 0.008 x? ,由计算器算得 x≈439(元). 1.008 12 ? 1
答:每期应付款约 439 元. 解法二:设每期付款 x 元,第 n 期后欠款数记作 an 那么, 第 1 期后的欠款数为 a1 ? 5000 (1 ? 0.008 ) ? x 第 2 期后的欠款数为 a2 ? a1 (1 ? 0.008 ) ? x ? 5000 (1.008 ) ? x(1 ? 1.008 )
2

第 3 期后的欠款数为 a3 ? a 2 (1 ? 1.008 ) ? x ? 5000 (1.008 ) ? x(1 ? 1.008 ? 1.008 ) .
3 2

?? 第 12 期后的欠款数为 a12 ? a11 (1 ? 1.008) ? x

? 5000 (1.008 )12 ? x(1 ? 1.008 ? 1.008 2 ? ? ? 1.008 11 ).
因为第 12 期全部付清,所以 a12=0 即

5000 (1.008 )12 ? x(1 ? 1.008 ? 1.008 2 ? ? ? 1.008 11 ) ? 0 ,

?x?

1 ? 1.008 12 ? 5000 ? 1.008 12 , 1 ? 1.008

解得 x≈439(元). 答:每期应付款约 439 元. 33. 设数列 {a n } 、{bn } 、{c n } 满足:bn ? a n ? a n? 2 ,c n ? a n ? 2a n?1 ? 3a n? 2(n=1,2,3,?) , 证明 {a n } 为等差数列的充分必要条件是 {c n } 为等差数列且 bn ? bn ?1 (n=1,2,3,?) 证明:必要性,设{an}是公差为 d1 的等差数列,则 bn+1–bn=(an+1–an+3) – (an–an+2)= (an+1–an) – (an+3–an+2)= d1– d1=0

所以 bn ? bn+1 ( n=1,2,3,…)成立。 又 cn+1–cn=(an+1–an)+2 (an+2–an+1)+3 (an+3–an+2)= d1+2 d1 +3d1 =6d1(常数) ( n=1,2,3,…) 所以数列{cn}为等差数列。 充分性: 设数列{cn}是公差为 d2 的等差数列,且 bn ? bn+1 ( n=1,2,3,…) ∵cn=an+2an+1+3an+2 ① ∴cn+2=an+2+2an+3+3an+4 ② ①-②得 cn–cn+2=(an–an+2)+2 (an+1–an+3)+3 (an+2–an+4)=bn+2bn+1+3bn+2 ∵cn–cn+2=( cn–cn+1)+( cn+1–cn+2)= –2 d2 ∴bn+2bn+1+3bn+2=–2 d2 ③ 从而有 bn+1+2bn+2+3bn+3=–2 d2 ④ ④-③得(bn+1–bn)+2 (bn+2–bn+1)+3 (bn+3–bn+2)=0 ⑤ ∵bn+1–bn≥0, bn+2–bn+1≥0 , bn+3–bn+2≥0, ∴由⑤得 bn+1–bn=0 ( n=1,2,3,…), 由此不妨设 bn=d3 ( n=1,2,3,…)则 an–an+2= d3(常数). 由此 cn=an+2an+1+3an+2= cn=4an+2an+1–3d3 从而 cn+1=4an+1+2an+2–5d3 , 两式相减得 cn+1–cn=2( an+1–an) –2d3 因此 an ?1 ? an ?

1 1 (cc ?1 ? cc ) ? d3 ? d 2 ? d3 (常数) ( n=1,2,3,…) 2 2

所以数列{an}公差等差数列。

34.已知点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 x2 ? 0) 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上的两个动点, O 是坐
2

标原点,向量 OA , OB 满足 OA ? OB ? OA ? OB .设圆 C 的方程为

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
(I) 证明线段 AB 是圆 C 的直径;

2 5 时,求 p 的值。 5 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? 2 ? ? ??? ??? 2 ? ? 【解析】(I)证明 1: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB ) ? (OA ? OB )
(II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为

??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB
整理得: OA ? OB ? 0

??? ??? ? ?

? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0
设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 MA ? MB ? 0 即 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0

???? ????

整理得: x ? y ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
2 2

故线段 AB 是圆 C 的直径

证明 2: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB ) ? (OA ? OB )
2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

2

??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB
整理得: OA ? OB ? 0

??? ??? ? ?

? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……..(1)
设(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则 即

y ? y2 y ? y1 ? ? ?1( x ? x1 , x ? x2 ) x ? x2 x ? x1

去分母得: ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 点 ( x1 , y1 ), ( x1 , y2 ), ( x2 , y1 )( x2 , y2 ) 满足上方程,展开并将(1)代入得:

x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
故线段 AB 是圆 C 的直径

证明 3: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB ) ? (OA ? OB )
2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

2

??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB
整理得: OA ? OB ? 0

??? ??? ? ?

? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……(1)
以线段 AB 为直径的圆的方程为

(x ?

x1 ? x2 2 y ?y 1 ) ? ( y ? 1 2 )2 ? [( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ] 2 2 4

展开并将(1)代入得:

x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
故线段 AB 是圆 C 的直径 (II)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2
? y12 ? 2 px1 , y2 2 ? 2 px2 ( p ? 0)

? x1 x2 ?

y12 y2 2 4 p2

又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2

y12 y2 2 ?? y1 ? y2 ? 4 p2
? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0
? y1 ? y2 ? ?4 p 2

x?

x1 ? x2 yy 1 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p

?

1 2 ( y ? 2 p2 ) p
2 2

所以圆心的轨迹方程为 y ? px ? 2 p

设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则

1 2 ( y ? 2 p2 ) ? 2 y | | x ? 2y | | y 2 ? 2 py ? 2 p 2 | p d? ? ? 5 5 5p |
? | ( y ? p)2 ? p 2 | 5p p 2 5 p ? ,由题设得 5 5 5

当 y=p 时,d 有最小值

? p ? 2.
解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2
? y12 ? 2 px1 , y2 2 ? 2 px2 ( p ? 0)

? x1 x2 ?

y12 y2 2 4 p2

又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2

y12 y2 2 ?? y1 ? y2 ? 4 p2
? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0
? y1 ? y2 ? ?4 p 2

x?

x1 ? x2 yy 1 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p

?

1 2 ( y ? 2 p2 ) p
2 2

所以圆心的轨迹方程为 y ? px ? 2 p

设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为

2 5 ,则 5

m ? ?2
因为 x-2y+2=0 与 y ? px ? 2 p 无公共点,
2 2

所以当 x-2y-2=0 与 y ? px ? 2 p 仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为
2 2

2 5 5
? x ? 2 y ? 2 ? 0? (2) ? 2 2 ? y ? px ? 2 p ? (3)
将(2)代入(3)得 y ? 2 py ? 2 p ? 2 p ? 0
2 2

?? ? 4 p 2 ? 4(2 p 2 ? 2 p) ? 0

?p?0 ? p ? 2.
解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2
圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则

x1 ? x2 ? ( y1 ? y2 ) | 2 d? 5 |
? y12 ? 2 px1 , y2 2 ? 2 px2 ( p ? 0)

? x1 x2 ?

y12 y2 2 4 p2

又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2

?? y1 ? y2 ?

y12 y2 2 4 p2

? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0
? y1 ? y2 ? ?4 p 2

1 ( y12 ? y2 2 ) ? ( y1 ? y2 ) | | y 2 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ? 4 p( y1 ? y2 ) ? 8 p 2 | 4p ?d ? ? 1 5 4 5p |
? ( y1 ? y2 ? 2 p ) 2 ? 4 p 2 4 5p p 2 5 p ? ,由题设得 5 5 5

当 y1 ? y2 ? 2 p 时,d 有最小值

? p ? 2.
【点评】本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础 知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力.

1 3 ax ? bx 2 ? cx ? d ,其中 a , b , c 是以 d 为公差的等差数列,,且 a> 3 2b 0,d > 0. 设 x0为f ( x)的极小值点,在 [ 1,0 ] 上 , f ' ( x)在x1处取得最大植 , 在 a
35.已知函数 f(x)=

( x2处取得最小值,将点 x0 , f ( x0 )), ( x1 , f ' ( x1 )), ( x2 , f ' ( x2 , f ( x2 ))依次记为 A, B, C
(I)求 xo的值 (II)若⊿ABC 有一边平行于 x 轴,且面积为 2 ? 3 ,求 a ,d 的值 【解析】(I)解: ? 2b ? a ? c

? f ?( x) ? ax 2 ? 2bx ? c ? ax 2 ? (a ? c) x ? c ? ( x ? 1)(ax ? c)
令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1或x ? ?

c a

? a ? 0, d ? 0 ?0 ? a ? b ? c

c c ? ? 1, ? ? ?1 a a c 当 ? ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ; a
当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 所以 f(x)在 x=-1 处取得最小值即 xo ? ?1 (II) ? f ?( x) ? ax ? 2bx ? c(a ? 0)
2

? f ?( x) 的图像的开口向上,对称轴方程为 x ? ?

b a

2b b b b ? 1 知 | (1 ? ) ? (? ) |?| 0 ? (? ) | a a a a 2b ? f ?( x) 在 [1 ? , 0] 上的最大值为 f ?(0) ? c a
由 即 x1 =0 又由

b b 2b ? 1, 知 ? ? [1 ? , 0] a a a

b d2 b b ?当 x ? ? 时, f ?( x) 取得最小值为 f ?(? ) ? ? , 即x2 ? ? a a a a

1 ? f ( x0 ) ? f (?1) ? ? a 3
1 b d2 ? A(?1, ? a), B(0, c)C (? , ? ) 3 a a
由三角形 ABC 有一条边平行于 x 轴知 AC 平行于 x 轴,所以 ? a ? ?

1 3

d2 ,即a 2 =3d 2 ? (1) a

又由三角形 ABC 的面积为 2 ? 3 得

1 b a (?1 ? ) ? (c ? ) ? 2 ? 3 2 a 3

利用 b=a+d,c=a+2d,得

2 d2 d? ? 2 ? 3 ? (2) 3 a

联立(1)(2)可得 d ? 3, a ? 3 3 . 解法 2: ? f ?( x) ? ax ? 2bx ? c(a ? 0)
2

? f ?(1 ?

2b ) ? 0, f ?(0) ? c a 2b 又 c>0 知 f ( x) 在 [1 ? , 0] 上的最大值为 f ?(0) ? c a
即: x1 =0 又由

b b 2b ? 1, 知 ? ? [1 ? , 0] a a a

b d2 b b ?当 x ? ? 时, f ?( x) 取得最小值为 f ?(? ) ? ? , 即x2 ? ? a a a a

1 ? f ( x0 ) ? f (?1) ? ? a 3
1 b d2 ? A(?1, ? a), B(0, c)C (? , ? ) 3 a a
由三角形 ABC 有一条边平行于 x 轴知 AC 平行于 x 轴,所以 ? a ? ? 又由三角形 ABC 的面积为 2 ? 3 得

1 3

d2 ,即a 2 =3d 2 ? (1) a

1 b a (?1 ? ) ? (c ? ) ? 2 ? 3 2 a 3

利用 b=a+d,c=a+2d,得

2 d2 d? ? 2 ? 3 ? (2) 3 a

联立(1)(2)可得 d ? 3, a ? 3 3 【点评】 本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数基础 知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 36. 已知 f 0 ( x) ? x , f k ( x) ?
n 0 2 1 2

f k'?1 ( x) ,其中 k ? n(n, k ? N ? ) , f k ?1 (1)
k 2 n 2

设 F ( x) ? Cn f 0 ( x ) ? Cn f1 ( x ) ? ... ? Cn f k ( x ) ? ... ? Cn f n ( x ) , x ? ? ?1,1? . (I) 写出 f k (1) ;

(II) 证明:对任意的 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,恒有 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 2 【解析】(I)由已知推得 f k ( x) ? (n ? k ? 1) x (II) 证法 1:当 ?1 ? x ? 1 时,
n?k

n ?1

(n ? 2) ? n ? 1 .

,从而有 f k (1) ? n ? k ? 1

1 2 k n F ( x) ? x 2 n ? nCn x 2( n ?1) ? (n ? 1)Cn x 2( n ?2) ... ? (n ? k ? 1)Cn x 2( n ?k ) ? ... ? 2Cn ?1 x 2 ? 1

当 x>0 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在[0,1]上为增函数 因函数 F ( x) 为偶函数所以 F ( x) 在[-1,0]上为减函数 所以对任意的 x1 , x2 ? ? ?1,1? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (1) ? F (0)
0 1 2 k n F (1) ? F (0) ? Cn ? nCn ? (n ? 1)Cn ... ? (n ? k ? 1)Cn ? ... ? 2Cn ?1 n n n 1 0 ? nCn ?1 ? (n ? 1)Cn ? 2 ... ? (n ? k ? 1)Cn ? k ? ... ? 2Cn ? Cn n n n ? (n ? k ? 1)Cn ? k ? (n ? k )Cn ? k ? Cn ? k k k ? nCn ?1 ? Cn (k ? 1, 2,3? n ? 1) 1 2 k? 1 2 n 0 F (1) ? F (0) ? n(Cn ?1 ? Cn ?1... ? Cn ?11 ) ? (Cn ? Cn ... ? Cn ?1 ) ? Cn

? n(2n ?1 ? 1) ? 2n ? 1 ? 2n ?1 ( n ? 2) ? n ? 1
因此结论成立. 证法 2: 当 ?1 ? x ? 1 时,
1 2 k n F ( x) ? x 2 n ? nCn x 2( n ?1) ? (n ? 1)Cn x 2( n ?2) ... ? (n ? k ? 1)Cn x 2( n ?k ) ? ... ? 2Cn ?1 x 2 ? 1

当 x>0 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在[0,1]上为增函数 因函数 F ( x) 为偶函数所以 F ( x) 在[-1,0]上为减函数 所以对任意的 x1 , x2 ? ? ?1,1? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (1) ? F (0)
0 1 2 k n F (1) ? F (0) ? Cn ? nCn ? (n ? 1)Cn ... ? (n ? k ? 1)Cn ? ... ? 2Cn ?1

又因 F (1) ? F (0) ? 2Cn ? 3Cn ? ... ? kCn
1 2 1 2

k ?1

n 0 ? ... ? nCn ?1 ? Cn k ?1 n 0 ? ... ? Cn ?1 ] ? 2Cn

所以 2[ F (1) ? F (0)] ? (n ? 2)[Cn ? Cn ? ... ? Cn

F (1) ? F (0) ? ?

n?2 1 2 k n 0 [Cn ? Cn ? ... ? Cn ?1 ? ... ? Cn ?1 ] ? Cn 2

n?2 n (2 ? 2) ? 1 ? 2n ?1 (n ? 2) ? n ? 1 2

因此结论成立. 证法 3: 当 ?1 ? x ? 1 时,
1 2 k n F ( x) ? x 2 n ? nCn x 2( n ?1) ? (n ? 1)Cn x 2( n ?2) ... ? (n ? k ? 1)Cn x 2( n ?k ) ? ... ? 2Cn ?1 x 2 ? 1

当 x>0 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在[0,1]上为增函数 因函数 F ( x) 为偶函数所以 F ( x) 在[-1,0]上为减函数 所以对任意的 x1 , x2 ? ? ?1,1? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (1) ? F (0)
0 1 2 k n F (1) ? F (0) ? Cn ? nCn ? (n ? 1)Cn ... ? (n ? k ? 1)Cn ? ... ? 2Cn ?1



1 2 k n x[(1 ? x) n ? x n ] ? x[Cn x n ?1 ? Cn x n ? 2 ? ...Cn x n ? k ? .. ? Cn ?1 x ? 1] 1 2 k n ? Cn x n ? Cn x n ?1 ? ...Cn x n ? k ?1 ? .. ? Cn ?1 x 2 ? x

对上式两边求导得
1 2 k n (1 ? x)n ? x n ? nx(1 ? x) n?1 ? nx n ? nCn x n?1 ? (n ? 1)Cn x n?2 ? ...(n ? k ? 1)Cn x n?k ? .. ? 2Cn ?1x ? 1

F ( x) ? (1 ? x 2 )n ? nx 2 (1 ? x 2 )n?1 ? nx 2 n ? F (1) ? F (0) ? 2n ? n2n?1 ? n ? 1 ? (n ? 2)2n?1 ? n ? 1
因此结论成立.


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