2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试题 (理科)解析版


2012 上海高考数学试题(理科)答案与解析 一.填空题 1.计算: 3-i = 1+i ( i 为虚数单位). 【答案】1-2i 【解析】 3-i = (3-i)(1-i) = 2-4i =1-2i . 1+i (1+i)(1-i) 2 【点评】本题着重考查复数的除法运算,首先,将分子、分母同乘以分母的共轭复数,将分母实数化 即可. 2.若集合 A ? {x | 2x ?1 ? 0}, B ? {x || x ?1|? 2},则 A ? B ? . 【答案】 ?? ? 1 ,3?? ?2? 【解析】根据集合 A 2x ?1 ? 0 ,解得 x ? ? 1 ,由 x ?1 p 2,得到, ?1? x ? 3,所以 2 A ? B ? ?? ? 1 ,3?? . ?2? 【点评】本题考查集合的概念和性质的运用,同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决 此类问题,首先分清集合的元素的构成,然后,借助于数轴或韦恩图解决. 3.函数 f (x) ? 2   cos x sin x  ? 1 的值域是 . 【答案】 ???? 5 2 ,? 3 2 ? ?? 【解析】根据题目 f (x) ? ?sin x cosx ? 2 ? ? 1 sin 2x ? 2 ,因为 ?1 ? sin 2x ? 1,所以 2 ? 5 ? f (x) ? ? 3 . 2 2 【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式,属于容易题,难度较小. 考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质. 4.若 n ? (?2,1) 是直线 l 的一个法向量,则 l 的倾斜角的大小为 示). (结果用反三角函数值表 【答案】 arctan2 【解析】设直线的倾斜角为? ,则 tan? ? 2,? ? arctan2 . 【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜 角的取值情况一定要注意,属于低档题,难度较小. 5.在 (x ? 2)6 的二项展开式中,常数项等于 . x 【答案】 ?160 【解析】根据所给二项式的构成,构成的常数项只有一项,就是 T4 ? C36 x3 (? 2)3 x ? ?160 . 【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚,特别注意常数项的构成.属于中档题. 6.有一列正方体,棱长组成以 1 为首项、 1 2 为公比的等比数列,体积分别记为V1,V2,? ,Vn,? , 则 lni?m?(V1 ? V2 ? ? ? Vn ) ? . 【答案】 8 7 【解析】由正方体的棱长组成以1为首项, 1 为公比的等比数列,可知它们的体积则组成了一个以 1 2 为首项, 1 8 为公比的等比数列,因此, lni?m?(V1 ? V2 ?? ? Vn ) ?1 1? 1 ? 8 7 . 8 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较 综合. 7.已知函数 f (x) ? e|x?a|( a 为常数).若 f (x) 在区间[1,??) 上是增函数,则 a 的取值范围是 . 【答案】 ?? ?,1? 【解析】根据函数 f (x) ? e x?a ? ??ex?a , ???e? x ? a x?a ,x?a 看出当 x ? a 时函数增函数,而已知函数 f (x) 在区间 ?1,???上为增函数,所以 a 的取值范围为: ?? ?,1? . 【点评】本题主要考查指数函数单调性,复合函数的单调性的判断,分类讨论在求解数学问题中的运 用.本题容易产生增根,要注意取舍,切勿随意处理,导致不必要的错误.本题属于中低档题目,难度适 中. 8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为 . 【答案】 3? 3 【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为 r ,母线长为 l ,根据条件得到 1 ?l 2 ? 2? ,解得母线长 l ? 2 , 2 2?r ? ?l ? 2? , r ? 1所以该圆锥的体积为:V圆锥 ? 1 Sh 3 ? 1? 3 22 ? 12 ? ? 3? . 3 【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意,所求的为体积,不是其他的量, 分清图形在展开前后的变化;其次,对空间几何体的体积公式要记准记牢,属于中低档题. 9.已知 y ? f (x) ? x2 是奇函数,且 f (1) ? 1,若 g(x) ? f (x) ? 2 ,则 g(?1) ? . 【答案】 ?1 【解析】因为函数 y ? f (x) ? x2 为奇函数,所以 g(1) ? f (1) ? 2,又f (1) ? 1,所以,g(1) ? 3, f (?1) ? ?3, g(?1) ? f (?1) ? 2 ? ?3 ? 2 ? ?1 . f (?1) ? ? f (1). 【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意:函数 y ? f (x) 为奇函数,所以有 f (?x) ? ? f (x) 这个条件的运用,平时要加强这方面的训练,本题属于中档题,难度适中. 10.如图,在极坐标系中,过点 M (2,0) 的直线 l 与极轴的夹角? ? ? , 6 若将 l 的极坐标方程写成 ? ? f (? ) 的形式,则 f (? ) ? . 【答案】 1 sin(? ? ? ) 6 【解析】根据该直线过点 M (2,0) ,可以直接写出代数形式的方程为: y ? 1 (x ? 2) ,将此化成极坐 2 标系下的参数方程即可 ,化简得 f (? ) ? 1 ? sin( ??) . 6 【点评】本题主要考查极坐标系,本部分为选学内容,几乎年年都

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