2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理科数学


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理科数学

一.填空题
3-i = ______( i 为虚数单位). 1+i 2.若集合 A ? {x | 2 x ? 1 ? 0} , B ? {x || x ? 1 |? 2} ,则 A ? B ? ______. 2    cos x 3.函数 f ( x) ? 的值域是______. sin x   ?1
1.计算: 4.若 n ? (?2,1) 是直线 l 的一个法向量,则 l 的倾斜角的大小为______(结果用反三角函数值 表示).

2 6 ) 的二项展开式中,常数项等于_______. x 1 6.有一列正方体,棱长组成以 1 为首项、 为公比的等比数列,体积分别记为 2 V1,V2, ?,Vn, ? ,则 lim(V1 ? V2 ? ? ? Vn ) ? ______.
5.在 ( x ?
n ??

7.已知函数 f ( x) ? e 围是______.

| x ?a|

( a 为常数).若 f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数,则 a 的取值范

8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为______. 9.已知 y ? f ( x) ? x 2 是奇函数,且 f (1) ? 1 ,若 g ( x) ? f ( x) ? 2 ,则 g (?1) ? ______. 10.如图,在极坐标系中,过点 M (2,0) 的直线 l 与极轴的夹角 ? ? 若将 l 的极坐标方程写成 ? ? f (? ) 的形式,则 f (? ) ? ______.

?
6



11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目,则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是______(结果用最简分数表示). 12.在平行四边形 ABCD 中, ?A ? 是边 BC 、 CD 上的点,且满足

?

3

,边 AB 、 AD 的长分别为 2、1,若 M 、 N 分别

| BM | | BC |

?

| CN | | CD |

,则 AM ? AN 的取值范围是______

13.已知函数 y ? f ( x) 的图象是折线段 ABC ,其中 A(0,0) 、 B( ,5) 、 C (1,0) , 函数 y ? xf ( x) ( 0 ? x ? 1 )的图象与 x 轴围成的图形的面积为______. 14.如图, AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱, BC ? 2 ,若 AD ? 2c , 且 AB ? BD ? AC ? CD ? 2a ,其中 a 、 c 为常数,则四面体 ABCD 的体积的最
1

1 2

大值是______.

二、选择题(20 分)
15.若 1 ?

2i 是关于 x 的实系数方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的一个复数根,则( A. b ? 2, c ? 3 B. b ? ?2, c ? 3 C. b ? ?2, c ? ?1 D. b ? 2, c ? ?1
2 2 2



16.在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形
4



B.直角三角形 D.不能确定

17.设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 10 , x5 ? 105 ,随机变量 ? 1 取值 x1、x2、x3、x4、x5 的 概率均为 0 .2 , 随机变量 ? 2 取值 A. D?1 ? D? 2 B. D?1 ? D? 2 C. D?1 ? D? 2 18. 设 an ? A.25 C.75 D. D?1 与 D? 2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关

x1 ? x2 x2 ? x3 x3 ? x4 x 4 ? x5 x5 ? x1 、 、 、 、 的概率也均为 2 2 2 2 2 0 .2 ,若记 D?1、D? 2 分别为 ?1、? 2 的方差,则( )

1 n? sin ,S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , 在 S1 , S 2 ,?, S1 正数的个数是 ( 0 0 中, n 25
B.50 D.100



三、解答题(74 分)
19.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 底面 ABCD , E 是 PC 的 中点,已知 AB ? 2 , AD ? 2 2 , PA ? 2 ,

求:(1)三角形 PCD 的面积;
2

(2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小. 20.已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) . (1)若 0 ? f (1 ? 2 x) ? f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围; (2) 若 g ( x) 是以 2 为周期的偶函数, 且当 0 ? x ? 1 时, 有 g ( x) ? f ( x) , 求函数 y ? g ( x) ( x ? [1,2] )的反函数. 21.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为 y 轴正 方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向 12 海

12 2 x ;②定位后救援船即 49 刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7t .
里 A 处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线 y ?

(1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求 救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船? 22.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 : 2 x 2 ? y 2 ? 1 . (1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐进线的平行线,求该直线与另一条渐进线及 x 轴围成的 三角形的面积;

OP ? OQ ; (2) 设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P 、Q 两点, 若 l 与圆 x ? y ? 1 相切, 求证:
2 2 2 2 (3)设椭圆 C 2 : 4 x ? y ? 1,若 M 、 N 分别是 C1 、 C 2 上的动点,且 OM ? ON ,求

证: O 到直线 MN 的距离是定值. 23.对于数集 X ? {?1 ,x1,x2, ?,xn } ,其中 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 ,定义向量 集 Y ? {a | a ? (s, t ), s ? X , t ? X } ,若对任意 a1 ? Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则 称 X 具有性质 P .例如 {?1,1,2} 具有性质 P . (1)若 x ? 2 ,且 {?1,1,2, x} 具有性质 P ,求 x 的值; (2)若 X 具有性质 P ,求证: 1 ? X ,且当 xn ? 1 时, x1 ? 1 ; (3)若 X 具有性质 P ,且 x1 ? 1 、 x2 ? q ( q 为常数),求有穷数列 x1,x2, ?,xn 的通 项公式

3

2012 上海高考数学试题(理科)答案与解析
一.填空题
1.答案: 1- 2i 思路分析: 考点解剖:本题着重考查复数的除法运算. 解题思路:首先,将分子、分母同乘以分母的共轭复数,将分母实数化即可. 解答过程:

3 - i (3 - i)(1- i ) 2 - 4i ? ? ? 1- 2i 1 ? i (1 ? i)(1- i ) 2

规律总结:解决此类问题主要是复数乘法运算要熟练,类似于实数中多项式运算. 2.答案: ? ? 思路分析: 考点解剖: 本题考查集合的概念和性质的运用, 同时考查了一元一次不等式和绝对值不 等式的解法. 解题思路:先解出两个集合中的不等式,再求交集. 解答过程:根据集合 A 2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? ? 所以 A ? B ? ? ?

? 1 ? ,3 ? ? 2 ?

1 ,由 x ?1 <2, 得到, ?1 ? x ? 3 , 2

? 1 ? ,3 ? . ? 2 ?

规律总结:解决此类问题,首先解不等式,然后,借助于数轴或韦恩图解决. 3.答案: ?

5 3 ? f ( x) ? ? 2 2

思路分析: 考点解剖:本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式,属于容易 题,难度较小. 解题思路:先利用行列式求出三角函数解析式,再变为“一角一名一次”的形式,直接求 值域. 解答过程:根据题目 f ( x) ? ? sin x cos x ? 2 ? ? 所以 ?

1 sin 2 x ? 2 ,因为 ? 1 ? sin 2 x ? 1 , 2

5 3 ? f ( x) ? ? . 2 2

规律总结: 此类问题只要明确掌握二阶行列式的运算性质, 熟练三角变换和三角函数的图像 和性质不难求解. 4.答案: ? ? arctan 2 思路分析: 考点解剖:本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的 表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意, 解题思路:求出方向向量,再求出斜率即可
4

解答过程:设直线 l 的一个方向向量是 m ? (1, tan ? )(? 为倾斜角), 则 m ? n ? ?2 ?1 ? 1? tan ? ? 0 ,即 tan ? ? 2 ,所以 ? ? arctan 2 . 规律总结:熟记直线的方向向量的定义是解决此类问题的基础. 5.答案:-160 思路分析: 考点解剖:本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚,特别注意常数项的 构成.属于中档题. 解题思路:(1)直接求出通项;(2)整理解方程. 解答过程:通项为 Tr ?1 ? C 6 x
r 6?r

2 r (? ) r ? C6 (?2)r x6?2r ,令 6-2r=0, 得 r=3, 即常数项为 x

3 T3 ? C6 (?2)3 ? ?160 .

规律总结:直接进行通项整理是求解此类问题的一般方法,当然还要注意特殊的方法,比如 等价变形法、按比例分配法语组合原理法等. 6.答案:

8 7

思路分析: 考点解剖:本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的 定义.考查知识较综合. 解题思路:本题借助等比数列的性质及求极限的方法求解。

1 为公比的等比数列,可知它们的体积则组成 2 1 8 1 ? . 了一个以 1 为首项, 为公比的等比数列,因此, lim (V1 ? V2 ? ? ? Vn ) ? n ?? 1 7 8 1? 8
解答过程:由正方体的棱长组成以 1 为首项, 规律总结:无穷递缩等比数列前 n 项和的极限,就是所有项和,记住所有项和公式是求解的 关键之所在. 思路分析: 考点解剖:本题主要考查指数函数单调性,复合函数的单调性的判断,分类讨论在求解 数学问题中的运用. 解题思路:分段除去绝对值,找出函数单调区间. 解答过程:根据函数 f ( x ) ? e
x?a ? ?e , x ? a ? ? ? x?a 看出当 x ? a 时函数增函数,而已知函数 e , x ? a ? ? f ( x) 在区间 ?1,??? 上为增函数,所以 a 的取值范围为: ?? ?,1? . x?a

7.答案: ?? ?,1?

规律总结:本题容易产生增根,要注意取舍,切勿随意处理,导致不必要的错误. 8.答案:

3 ? 3

思路分析: 考点解剖:本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.
5

解题思路:求出母线长以及底面圆的半径即可. 解答过程:根据该圆锥的底面圆的半径为 r ,母线长为 l ,根据条件得到 ?l ? 2? ,
2

1 2

解得母线长 l ? 2 , 2?r ? ?l ? 2? , r ? 1所以该圆锥的体积为:

1 1 3 V圆锥 ? Sh ? ? 2 2 ? 12 ? ? ?. 3 3 3
规律总结:审清题意,所求的为体积,不是其他的量,分清图形在展开前后的变化;其次, 对空间几何体的体积公式要记准记牢,属于中低档题. 9.答案:-1 思路分析: 考点解剖:本题主要考查函数的奇偶性. 解题思路:利用 f (1) ? 1 先求出 g (1) ,再求出 g (?1) . 解答过程:由 y ? f ( x) ? x 2 是奇函数,且 f (1) ? 1 ,则 f (?1) ? (?1) 2 ? ?[ f (1) ? 12 ] , 得 f (?1) ? ?3 ,所以 g (?1) ? f (?1) ? 2 ? ?3 ? 2 ? ?1 . 规律总结:在运用此性质解题时要注意:函数 y ? f ( x) 为奇函数,所以有 f (? x) ? ? f ( x) 这个条件的运用,平时要加强这方面的训练, 10.答案: ? ?

1 sin(

?
6

??)

思路分析: 考点解剖:本题主要考查极坐标系. 解题思路:首先求出极坐标公式,借助正弦定理求解。 解答过程:方法一:直线的极坐标公式为 ? sin(? ? ? ) ? d ,而直线 ? ?

?
6

的一般方程为

3x ? 3 y ? 2 3 ? 0 ,得 d ?

2 3 ( 3) ? 3
2 2

? 1 ,代入公式,得 ? ?
sin(

1

?
6

.

??)

方法二:设 P ( ? ,? ) 为直线上的点,在 ?POM 中,由正弦定理得 即

?

OP OM ? , sin OMP sin OPM

sin(? ? ) 6

?

?

sin( ? ? ) 6

?

2

,整理即得 ? ?

1 sin(

?
6

??)

规律总结:本题所考查内容为选学内容,几乎年年都有所涉及,题目类型以小题为主,复习 时,注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中 档题,难度适中. 11.答案:

2 3

思路分析: 考点解剖:本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件
6

总数.本题属于中档题. 解题思路:求出试验的结果数和事件的结果数,带入等可能事件的概率公式.
2 2 2 解答过程:每人选择其中两个项目的不同方法数为 n= C3 C3 C3 ,满足条件的情况为
1 1 m= C3 C3 ? 2 ,则所求概率为 P ?
1 1 C ?2 2 m C3 ? 2 32 2 ? . n C3 C3 C3 3

规律总结:试验和事件结果数在求解释要注意标准一致. 12.答案: [2,5] 思路分析: 考点解剖:本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律 .做 题时,要切实注意条件的运用. 解题思路:建议坐标系,利用向量坐标形式,或者利用基底找出 AM ? AN 的函数解析 式. 解答过程:法一:如图,

由已知 AB ? 2,AD ? 1 , ?A ?

?
3

可得 AD ? BD ,又因为

| BM | | BC |

?

| CN | | CD |

可得

若设 BM ? x ? 0 ? x ? 1? , 则C CN ? 2 BM , N ?x 2 ,DN ? ?1 ? x ? DC ,BM ? xAD ,

DC AD ? 1,可知 AM ? AN ? AB ? BM

?

? ? ? AD ? DN ? ? ? DC ? x AD ? ? ? AD ? ?1 ? x ? DC ?
2

? 1 ? x ?1 ? x ? ? 4 ?1 ? x ? ? x ? ? x 2 ? 2 x ? 5 ? ? ? x ? 1? ? 6 ,在 0 ? x ? 1 时,为减函数,所


2 ? AM ? AN ? 5 ,答案为 [2,5] .
法二:由法一,可知如图建立平面直角坐标系 xDy ,

7

设 BM ? a ? 0 ? a ? 1? 则 CN ? 2a , DN ? 2 ?1 ? a ? ,故

A ? 0,1? , C

?

3, ?1 , M

?

?

3, ?a , AM ?

?

AN ? AD ? ?1 ? a ? DC ? ? 0, ?1? ? ?1 ? a ?
2

?

?

3, ?a ? 1

3, ?1 ?

? ?

?

3 ? 3a, a ? 2 ,可得

?

AM ? AN ? ? a 2 ? 2a ? 5 ? ? ? a ? 1? ? 6 ,可知 2 ? AM ? AN ? 5 .
规律总结:此类问题求解时两个方向一是坐标法;另一个是向量法. 13.答案:

5 4

思路分析: 考点解剖:本题主要考查函数的图象与性质,函数的解析式的求解方法、定积分在求解 平面图形中的运用 解题思路:求出分段函数的解析式,画出函数图像

1 1 ? ? 10 x (0 ? x ? ) 10 x 2 (0 ? x ? ) ? ? ? ? 2 2 解答过程: f ( x) ? ? ,y ? xf ( x) ? ? (如图) , ??10 x ? 10( 1 ? x ? 1) ??10 x 2 ? 10 x( 1 ? x ? 1) ? ? ? 2 ? 2 y ? xf ( x) 与 x 轴围成图形的面积

1 1 10 3 10 3 2 S ? ? 10 x ? ?1 (?10 x ? 10 x) = x 2 ? (? x ? 5 x ) 1 3 3 2 0 2 10 1 10 10 1 1 5 ? ? ? (? ? 5) ? (? ? ? 5 ? ) ? 。 3 8 3 3 8 4 4
1 2 0 2 1 2

8

规律总结:突出体现数形结合思想,本题综合性较强,需要较强的分析问题和解决问题的能 力,在以后的练习中加强这方面的训练,本题属于中高档试题,难度较大. 14.答案:

2 c a2 ? c2 ?1 3

思路分析: 考点解剖:本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系 解题思路:本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式,这是解决问题的关键. 解答过程:法一:如图,

过 B 作 BE⊥AD,垂足为 E,连 EC,∵AD⊥BC,∴AD ⊥平面 BCE ,故 AD⊥EC ,可得 EB=EC ,若不等,设 EB ? EC ,则由勾股定理得:

AB ? AC, BD ? CD ,这与 AB ? BD ? AC ? CD 矛盾。
设 EB ? EC ? x ,则易证 1 ? x ? a2 ? c2 ,又 S# ABC ? 从而四面体 ABCD 的体积 V ?

x2 ?1 ,

2 2 c x2 ?1 ? c a2 ? c2 ?1 , 3 3 2 2 2 故四面体 ABCD 的体积的最大值是 c a ? c ? 1 3
法二:过 AD 做平面 DAE⊥BC 交 BC 于 E,过 E 在平面 DAE 内做 EF⊥AD 于 F,则 EF 是异 面 直 线 DA 与 BC 的 公 垂 线 段 , 由 题 可 知 , 当 E 、 F 分 别 为 DA 、 BC 的 中 点 时 , 即 AB=BD=AC=CD= a 时 , 四面体 ABCD的 体积 最大 , 由异 面直线 上 两点 间的 距离 公式得

1 1 2 EF ? a2 ? c2 ?1 ,则此时体积的最大值为 VABCD ? ? ? 2c ? EF ? 2 ? c a 2 ? c 2 ? 1 . 3 2 3 2 2 2 故答案为 c a ? c ? 1 . 3
规律总结:把立体几何与体积综合难度较大,考虑如何建立函数关系式,要有较强的空间想 象能力,这需要学习过程中不断培养.

二、选择题(20 分)
15.答案:D 思路分析: 考点解剖: 本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、 复数的代数形式的四则运算, 属于中档题,注重对基本知识和基本技巧的考查,复习时要特别注意.
9

解题思路:运用韦达定理直接求解. 解答过程:由题知 1 ? 2i ,1?

2i 是方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的两个根,则由根与系数的关系得

b ? ?[(1 ? 2i) ? (1 ? 2i)] ? ?2, c ? (1 ? 2i)(1 ? 2i) ? 3 ,
故选答案 D. 规律总结:在进行复数运算时,没注意虚数单位 i 在运算过程中带来的符号变化.解决此类问 题主要是复数乘法运算要熟练,类似于实数中多项式运算. 16.答案:A 思路分析: 考点解剖:本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用. 解题思路:利用正弦定理化边为角,再利用余弦定理判断出 C 为钝角,直接解题. 解答过程:由正弦定理可知, a ? b ? c ,又由余弦定理得 cos C ?
2 2 2

a 2 ? b2 ? c 2 ?0, 2ab

所以 ?ABC 是钝角三角形. 故选答案 A. 规律总结: 此类问题的求解主要抓住所给式子的结构来选择定理, 如果出现了角度的正弦值 就选择正弦定理,如果出现角度的余弦值就选择余弦定理. 17.答案:A 思路分析: 考点解剖:本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的 前提和基础,本题属于中档题. 解题思路: 先求出随机变量 ? 1 , 再利用整体代换求出 D? 2 , 比较 D? 2 ? 2 取值的平均值, 与 D?1 的大小可的结果. 解答过程:法一:由 10 的数量级观察知道, x5 ? 105 远大于 x1 , x2 , x3 , x4 . 而两组数的平

x ? x5 x5 ? x1 1 x5 ,且远大于 x1 , x2 , x3 , x4 .由于第二组数中有 4 , 都接 5 2 2 近 x5 ,而第一组仅有一个数 x5 .变量取值的概率都为 0.2,由方差公式可知 D?1 ? D? 2 . 1 法二: 由随机变量 ?1 , ? 2 的取值情况, 它们的平均数分别为:x1 ? ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ), , 5 1? x ? x x ? x x ? x x ? x x ? x ? x2 ? ? 1 2 ? 2 3 ? 3 4 ? 4 5 ? 5 1 ? ? x1 , 5? 2 2 2 2 2 ? 且随机变量 ?1 , ? 2 的概率都为 0 .2 ,所以有 D?1 > D? 2 .
均值相等,都接近于 故选择 A. 规律总结:熟记公式是求解此类问题的基础,整体代换是减小运算量的关键之所在. 18.答案:D 思路分析: 考点解剖:本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到
10

规律,考查综合分析问题和解决问题的能力. 解题思路:依据正弦函数的周期性,可以找其中等于零或者小于零的项. 解答过程: 法一:函数 y ? sin 作出函数 y ?

?
25

x 的周期为 50,100 为该函数的两个周期,

1 ? sin x 的草图如下图所示, 数列{ aan }的前 24 项均为正数,第 51 项到 74 项 x 25 也为正数,第 26 项到第 49 项均为负数,第 76 项到第 99 项也为负数,则在 Sn 中前 25 项和必为
正,从第 26 项开始,可以将第一半个周期中对应的项与其相消,由图象可知前 50 项和也必为正 数, 于是可得前 75 项和为正, 从第 76 项开始,仍然可以从第三半周期中对应的项也之相消, 于时可得,在两个周期内 Sn 恒为正, 故应选 D.

1 n? ?x 2? sin , 因 为 f ( x )? s i n 的 周 期 为 T ? ? 50 , 又 ? n 25 25 25 ? 2? 24? 25? sin ? 0,sin ? 0, ,sin ? 0,sin ? 0, 所以在 S1 , S2 , , S25 全是正数, 25 25 25 25 1 n? ? 0, 当 25 ? n ? 50 时 an ? sin n 25 ? 1 2? 1 25? 1 26? 1 n? Sn ? sin ? sin ? ? sin ? sin ? ? sin 25 2 25 25 25 26 25 n 25 1 ? 2? 25? 1 26? n? ? (sin ? sin ? ? sin ) ? (sin ? ? sin ) 25 25 25 25 25 25 25 ? ? n ? 25? ? ? n ? 24 ? ? ? sin 25? ? 1 ?? ? 26? ? ? 2? 27? ? n? ? ? ?? sin ? sin ? sin ? sin ? sin ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 25 ? 25 ? ? 25 25 ? 25 25 ? 25 25 ? ?? 25 ? ?
法 二 : 依 据 题 设 及 an ?

?

1 ? ? n ? 24 ? ? ?sin 25 ? 25

? sin

25? ? ? ? 0 ,故 S1 , S2 , , S50 全部为正,同理可知 S51 , S52 , 25 ?

, S100

也全部为正,所以 S1 , S 2 ,?, S100 全部为正数.故选答案 D. 法三:令 x ?

?

25 1 fk ? x ? ? sin x ? sin 2 x ? 2

, 则 sin x ?

2 ? ?? x?0 ? x ? ?, ? ? 2? 1 2 ?1 ? sin kx ? ? x ? x ? ? x ? ? 0 ? ? ? k ? ? 26
11

1 ? 24 100 ? 25 ? ?? ? ? 4.75 ? 0 k? ? 26

,所以 Sn ? 0 规律总结:本题考查了新定义函数数列的前 n 项和的正负值的讨论问题,体现了数形结合思 想的灵活应用.难度较大.

三、解答题(74 分)
19.答案:(1) 2 3 ; (2) 4 思路分析: 考点解剖:本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,考查空间想象能力和推 理论证能力. 综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解, 同时考查空间几何图形的面积. 解题思路:(1)利用线线垂直的判定三角形为直角三角形,再求面积;(2)建立空间 直角坐标系,利用向量的数量积求异面直线所成的角. 解答过程:(1)因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD,又 AD⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD, 从而 CD⊥PD. 因为 PD= 2 ? (2 2 ) ? 2 3 ,CD=2,
2 2

?

所以三角形 PCD 的面积为

1 2

? 2? 2 3 ? 2 3 .

(2)法一:如图所示,建立空间直角坐标系,

则 B(2, 0, 0),C(2, 2 2 ,0),E(1, 设 AE 与 BC 的夹角为?,则
AE ? BC cos? ? | AE ? || BC | 4 2? 2 2

2 , 1),

AE ? (1, 2, 1) , BC ? (0, 2 2, 0) .

?

2 2 ,?=

? 4

.由此可知,异面直线 BC 与 AE 所成的角的

大小是 4 法二:取 PB 中点 F,连接 EF、AF,则

?

12

EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角,在 ?AEF 中,由 EF= 2 、AF= 2 、AE=2 知 ?AEF 是等腰直角三角形,所以∠AEF= 4 . 因此异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 4 规律总结:本题源于《必修 2》立体几何章节复习题,复习时应注重课本,容易出现找错角 的情况,要考虑全面,考查空间想象能力,属于中档题. 20.答案:(1)

?

?

1 ?2 ? x ? 3 3;

(2) y ? 3 ? 10x , x ? [0, lg 2] 思路分析: 考点解剖: 本题主要考查函数的概念、 性质、 分段函数等基础知识. 考查数形结合思想, 熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质,属于中档题. 解题思路: (1) 把抽象式化为形象式, 直接解不等式组; (2) 先求出 y ? g ( x) 在 x ? [1,2] 内的解析式,再利用反函数定义求解. 解答过程:(1)由 ?

?2 ? 2 x ? 0 ,得 ? 1 ? x ? 1 . x ? 1 ? 0 ?
2?2 x x ?1

由 0 ? lg(2 ? 2 x) ? lg( x ? 1) ? lg

? 1 得1 ?
2

2?2 x x ?1

? 10 .

因为 x ? 1 ? 0 ,所以 x ? 1 ? 2 ? 2 x ? 10 x ? 10 , ? 3 由?

?x?1 3.

? ?1 ? x ? 1 ?2 2 1得 3 ?? 3 ? x ? 3

?x?1 3.
y

(2)当 x?[1,2]时,2-x?[0,1],因此 y ? g ( x) ? g ( x ? 2) ? g (2 ? x) ? f (2 ? x) ? lg(3 ? x) . 由单调性可得 y ? [0, lg 2] .因为 x ? 3 ? 10 ,所以所求反函数是 y ? 3 ? 10 , x ? [0, lg 2]
x

规律总结:把不等式形象化时,要注意对数函数的定义域,求反函数时要写出反函数的定义 域.

7 21.答案:(1)为北偏东 arctan 30 弧度.;
(2)25 思路分析: 考点解剖:本题主要考查二次函数的概念、性质、基本不等式的运用等基础知识.选 择恰当地函数模型是解决此类问题的关键, 属于中档题. 考查灵活运算数形结合思想方法进 行探究、分析与解决问题的能力.也是近几年高考的热点问题. 解题思路:(1)直接令 t ? 0.5 ,求出 P 点坐标,再求出 AP 的长,求解∠OAP;(2) 建立时间和路程之间的函数关系式,再取最小值即可. 解答过程:(1) t ? 0.5 时,P 的横坐标 xP= 7t ? 中,得 P 的纵坐标 yP=3. 由|AP|=
7 2

,代入抛物线方程

y ? 12 x2 49

949 2 ,得救援船速度的大小为 949 海里/时.
13

由 tan∠OAP= 3 ?12

7 2

?

7 30 ,得∠OAP=arctan

7 30 ,故救援船速度的方向,

7 为北偏东 arctan 30 弧度.
(2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为 (7t , 12t 2 ) . 由 vt ?

(7t ) 2 ? (12t 2 ? 12) 2 ,整理得 v 2 ? 144(t 2 ? 12 ) ? 337 .因为 t 2 ? 12 ? 2 ,当且仅当 t t

t =1 时等号成立,所以 v2 ? 144? 2 ? 337 ? 252 ,即 v ? 25 .因此,救援船的时速至少是 25
海里才能追上失事船. 规律总结:解决数学应用问题,首先要读懂题意,然后注意建立数学模型,解析来运用数学 知识解决数学模型,最后注意验证.

22.答案:(1)

2 ; 8

(2)见解析; (3)见解析 思路分析: 考点解剖: 本题主要考查双曲线的概念、 标准方程、 几何性质及其直线与双曲线的关系、 椭圆的标准方程和圆的有关性质. 解题思路:(1)求出双曲线的渐近线,再求出直线和渐近线的交点,即可求出三角形 面积;(2)联立直线与双曲线方程,利用根与系数关系证明 OM ON =0 即可;(3)分类 写出 OM , ON 方程与椭圆方程联立为方程组,利用 OM , ON 表示出 O 到直线 MN 的距 离,化简为定值. 解答过程:(1)双曲线 C1 :
x2
1 2

? y 2 ? 1,左顶点 A(?

2 2

, 0) ,渐近线方程: y ? ? 2 x .
2 2

过点 A 与渐近线 y ? 2 x 平行的直线方程为 y ?

2 (x ?

) ,即 y ? 2 x ? 1.

? ?x ? ? ? y?? 2 x 解方程组 ? ,得 ? 1 ? ?y ? 2 ?y ? 2 x ?1

2 4

. 所以所求三角形的面积 1 为

S?1 | OA || y |? 2
由?

2 8 .
|b| 2

(2)设直线 PQ 的方程是 y ? x ? b .因直线与已知圆相切,故

? 1 ,即 b2 ? 2 .

? y ? x?b 2 2 ,得 x ? 2bx ? b ? 1 ? 0 . 2 2 ?2 x ? y ? 1
? x1 ? x2 ? 2b . 2 ? x1 x2 ? ?b ? 1

设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 ?

又 2,所以 OP ? OQ ? x1x2 ? y1 y2 ? 2x1x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b2

? 2(?b2 ? 1) ? b ? 2b ? b2 ? b2 ? 2 ? 0 ,故 OP⊥OQ.
(3)当直线 ON 垂直于 x 轴时, |ON|=1,|OM|=
2 2

,则 O 到直线 MN 的距离为
14

3 3

.

当直线 ON 不垂直于 x 轴时, 设直线 ON 的方程为 y ? kx (显然 | k |?
2 ? ? y ? kx ?x ? 由? 2 ,得 ? 2 2 ? ?4 x ? y ? 1 ?y ?
2 同理 | OM | ? 1? k 2 2 k 2 ?1

2 2

),则直线 OM 的方程为 y ? ? 1 x. k
1? k 2 4? k 2

1 4? k 2 k2 4? k 2

2 ,所以 | ON | ?

.

.
3k 2 ? 3 k 2 ?1

设 O 到直线 MN 的距离为 d,因为 (| OM |2 ? | ON |2 )d 2 ?| OM |2 | ON |2 , 所以 d12 ?
1 |OM | 2 1 ? |ON ? |2

? 3 ,即 d=

3 3

.

综上,O 到直线 MN 的距离是定值. 规律总结:特别要注意直线与双曲线的关系问题,在双曲线当中,最特殊的为等轴双曲线, 它的离心率为 2 ,它的渐近线为 y ? ? x ,并且相互垂直,这些性质的运用可以大大节省 解题时间,本题属于中档题 . 23.答案:(1)x=4; (2)见解析; (3) xk
2 k ?1 ? x1 ( x ) ? q k ?1 ,k=1, 2, …, n. x1

思路分析: 考点解剖:本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识. 解题思路:理解好本题的定义可以直接求解(1)(2)两问;(3)先猜测,再利用数 学归纳法证明. 解答过程: (1)选取 a1 ? ( x, 2) ,Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 (?1, b) .所以 x=2b,从而 x=4. (2)证明:取 a1 ? ( x1, x1 ) ? Y .设 a2 ? (s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 . 由 ( s ? t ) x1 ? 0 得 s ? t ? 0 ,所以 s 、 t 异号.因为-1 是 X 中唯一的负数,所以 s 、 t 中之一 为-1,另一为 1,故 1?X. 假设 xk ? 1 ,其中 1 ? k ? n ,则 0 ? x1 ? 1 ? xn . 选取 a1 ? ( x1, xn ) ?Y ,并设 a2 ? (s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 sx1 ? txn ? 0 , 则 s 、 t 异号,从而 s 、 t 之中恰有一个为-1. 若 s =-1,则 2,矛盾; 若 t =-1,则 xn ? sx1 ? s ? xn ,矛盾.所以 x1=1. (3)法一:猜测 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, …, n. 记 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } ,k=2, 3, …, n. 先证明:若 Ak ?1 具有性质 P,则 Ak 也具有性质 P. 任取 a1 ? (s, t ) , s 、 t ? Ak .当 s 、 t 中出现-1 时,显然有 a2 满足 a1 ? a2 ? 0 ; 当 s ? ?1 且 t ? ?1 时, s 、 t ≥1. 因为 Ak ?1 具有性质 P,所以有 a2 ? (s1, t1 ) , s1 、 t1 ? Ak ?1 ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,
15

从而 s1 和 t1 中有一个是-1,不妨设 s1 =-1. 假设 t1 ? Ak ?1 且 t1 ? Ak ,则 t1 ? xk ?1 .由 (s, t ) ? (?1, xk ?1 ) ? 0 ,得 s ? txk ?1 ? xk ?1 ,与

s ? Ak 矛盾.所以 t1 ? Ak .从而 Ak 也具有性质 P.
现用数学归纳法证明: xi ? qi ?1 ,i=1, 2, …, n. 当 n=2 时,结论显然成立; 假设 n=k 时, Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 有性质 P,则 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, …, k; 当 n=k+1 时,若 Ak ?1 ? {?1, 1, x2 , ?, xk , xk ?1} 有性质 P,则 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 也有性质 P,所以 Ak ?1 ? {?1, 1, q, ?, qk ?1, xk ?1} . 取 a1 ? ( xk ?1, q) , 并设 a2 ? (s, t ) 满足 a1 ? a2 ? 0 , 即 xk ?1s ? qt ? 0 .由此可得 s 与 t 中有且只 有一个为-1.若 t ? ?1 , 则 1, 不可能; 所以 s ? ?1 ,xk ?1 ? qt ? q ? qk ?1 ? qk , 又 xk ?1 ? q k ?1 , 所以 xk ?1 ? q k .综上所述, xi ? qi ?1 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, …, n. 法二:设 a1 ? (s1, t1 ) , a2 ? (s2 , t2 ) ,则 a1 ? a2 ? 0 等价于
s1 t1 t2 ??s 2

.

记 B ? {s | s ? X , t ? X ,| s |?| t |},则数集 X 具有性质 P 当且仅当数集 B 关于 t 原点对称. 注意到-1 是 X 中的唯一负数, B ? (??, 0) ? {? x2 , ? x3 , ?, ? xn }共有 n-1 个数, 所以 B ? (0, ? ?) 也只有 n-1 个数.由于 xn?1 以下三角数阵 x n ?1 注意到 x1
xn

xn

?

xn xn?2

???

xn x2

?

xn x1 ,已有 n-1 个数,对

xn

?

xn x n?2

???
x2 x1

xn x2

?

x n ?1 xn x1 , x n ? 2

?

x n ?1 x n ?3

???

x n ?1 x2 x1 ,……, x1

?

x n ?1 x1

???

,所以 x n ?1

xn

?

x n ?1 x n?2

???

x2 x1 ,从而数列的通项公式为

2 k ?1 xk ? x1 ( x ) ? q k ?1 ,k=1, 2, …, n. x1

规律总结:本题属于信息给予题,通过定义“ X 具有性质 P ”这一概念,考查考生分析探究 及推理论证的能力.综合考查集合的基本运算,集合问题一直是近几年的命题重点内容,应 引起足够的重视.

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