泰州市姜堰区2013-2014学年高二上学期期中考试数学试题


2013~2014 学年度第一学期期中考试

高二数学试题
(考试时间:120 分钟
命题人:王光华 史记祥

总分 160 分)
审题人: 孟 太

注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸相应的答题 线上. ) 1.直线 3x ? y ? 1 ? 0 的斜率是 ▲ . ▲ . ▲ . .

2. 经过点 B(3,0) ,且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线方程为: 3.以 A(2, ?1) 为圆心,半径为 2 的圆的标准方程为
2 2



4.方程 x ? y ? x ? y ? m ? 0 表示一个圆,则 m 的取值范围是: 5.抛物线 y ? ?16 x 的准线方程为
2



. ▲ .

6.已知双曲线的实轴长为 16,虚轴长为 12,则双曲线的离心率为 7.在立体几何中,下列结论一定正确的是: ▲

(请填所有正确结论的序号)

①一般地,由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱; ②用一个平面去截棱锥,得到两个几何体,一个仍然是棱锥,另一个我们称之为棱台; ③将直角三角形绕着它的一边所在的直线旋转一周,形成的几何体叫做圆锥; ④将直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周,形成的几何体叫做圆台. 8.用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥,截得圆台的上、下底面半径之比是 1 : 4,截 去的小圆锥的母线长是 3 cm,则圆台的母线长 ▲ cm. ▲ .

2 2 9.与圆 x ? y ? 5 外切于点 P(?1,2) ,且半径为 2 5 的圆的方程为

10. 已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形, 则椭圆的离心率为 ▲ . 11.已 知圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,过点 ? 2, 3? 的直线 l 与圆相交于 A, B 两 点,且
2 2

?ACB ? 90? ,则直线 l 的方程是





12.在等腰直角三角形 ABC 中, AB=AC ? 4, P 是边 AB 上异于 A, B 的一点,光线从 点 点 P 出发,经 BC , CA 发射后又回到点 P (如图1 ).若光线 QR 经过

?ABC 的重心(三角形三条中线的交点),则 AP =





1

13.在直角坐标系中,已知 A ? ?1,0 ? , B ?1,0 ? ,点 M 满足 取值范围为 14.函数 y ? ▲ .

MA ? 2 ,则直线 AM 的斜率的 MB

4 ? ( x ? 3) 2 (1 ? x ? 5) 的图象上至少有三个点到原点的距离成等比数列,则

公比 q 的最大值是 ▲ . 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本题满分 14 分) 已知直线 l1 : 2 x ? y ? 2 ? 0 和 l2 : 3x ? y ? 1 ? 0 (Ⅰ)求过直线 l1 和 l 2 的交点且与直线 l3 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行得直线方程; (Ⅱ)若直线 l4 : 3x ? 2 y ? 2 ? 0 与直线 l1 和 l 2 的分别交于点 A、B ,求线段 AB 的长

16. (本题满分 14 分) 已知圆心 C (1, 2),且经过点 ? 0,1? (Ⅰ)写出圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过点 P(2, ?1) 作圆 C 的切线,求切线的方程及切线的长.

2

17. (本题满分 14 分)

x2 y 2 3 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 (0, 4) ,且离心率为 . a b 5
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求过点 (3, 0) 且斜率为

4 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5

18. (本题满分 16 分) 已知抛物线 C 顶点在坐标原点,准线方程为 x ? ?1 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程. (Ⅱ)若直线经过抛物线 C 的焦点,与抛物线交于 A, B 两点,且线段 AB 中点的横坐标为 2, 求直线 AB 的方程.

3

19. (本题满分 16 分) 已知 ?ABC 三个顶点的坐标分别为 A ? ?2, 0 ? , B ?1, 0 ? , C ? 0, 4 ? (Ⅰ)若直线 y ? 2 x ? b 平分 ?ABC 面积,求实数 b 的值; (Ⅱ)若直线 y ? kx ? b ? k ? 0 ? 平分 ?ABC 的面积,求实数 b 的取值范围.
5

C
4

3

2

1

A

2

B
1

2

4

6

8

10

2

20. (本题满分 16 分) 已知圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0
2 2

(Ⅰ)若直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 与圆 C1 相交于 A,B 两点.求弦 AB 的长; (Ⅱ)若圆 C 2 经过 E (1, ?3), F (0, 4) ,且圆 C 2 与圆 C1 的公共弦平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 , 求圆 C 2 的方程. (Ⅲ)求证:不论实数 ? 取何实数时,直线 l1 : 2? x ? 2 y ? 3 ? ? ? 0 与圆 C1 恒交于两点,并 求出交点弦长最短时直线 l1 的方程。

4

2013~2014 学年度第一学期期中考试

高二数学参考答案
一、填空题: 1. 3 2. x ? 2 y ? 3 ? 0 3. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

4. m ?

1 2
10.

5. x ? 4

6.

5 4

7. ①④

8. 9

9. ( x ? 3) ? ( y ? 6) ? 20
2 2

10 10

11 . x ? 2或15 x ? 8 y ? 6 ? 0 二、解答题 15.解: (Ⅰ) ? 由 分

12.

4 3

13.

? ?1,1?

14.

5

?2 x ? y ? 2 ? 0 , 解得交点坐标为 ?1, ?4 ? ----------------------------3 ?3 x ? y ? 1 ? 0

因为所求直线与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行,则所求直线方程为 ?

2 , 3

所求直线方程为 2 x ? 3 y +10 ? 0 ----------------------------------7 分

(Ⅱ)由 ?

?2 x ? y ? 2 ? 0 ,解得交点 A 坐标为 ? ?2, 2 ? ,----------------10 分 ?3x ? 2 y ? 2 ? 0

由?

?3x ? y ? 1 ? 0 ,解得交点 B 坐标为 ? 0, ?1? ,----------------13 分 ?3x ? 2 y ? 2 ? 0

所以线段 AB 的长 ? 16.解(Ⅰ)圆 C 的半径 r ?

? ?2 ? 0? ? ? 2 ? 1?
2
2 2

2

? 13 ----------------14 分

?1 ? 0? ? ? 2 ?1?
2

? 2 ----------------------------------2 分
2

所以圆 C 的标准方程: ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 2 --------------------------------4 分 (Ⅱ)设过点 P(2, ?1) 的切线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ---------------------------------6 分 即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0 ,有:

?k ? 3 1? k 2

? 2 ,---------------------------------------------------------------------8 分

? k 2 ? 6k ? 7 ? 0 ,解得 k ? 7或k ? ?1 ,--------------------------------------10 分

?所求切线的方程为 7 x ? y ? 15 ? 0或x ? y ? 1 ? 0 ----------------------------12 分
由圆的性质可知:

PA=PB= PC 2 ? AC 2 ?

? 2 ?1? ? ? ?1 ? 2?
2

2

? 2 ? 2 2 ------------------14 分

5

17.解: (Ⅰ)?设椭圆 C 过点 (0, 4) ,? b ? 4 又? e ?

--------------------2 分

3 , ?a ? 5 , c ? 3 ---------------------------5 分 5
x2 y 2 ? ? 1 ----------------------------7 分 25 16

?椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)直线方程为 y ?

4 ( x ? 3) 5

4 ? ? y ? 5 ( x ? 3) 3 ? 41 ? 2 由? 2 , 消去 y 得: x ? 3x ? 8 ? 0 ,解得 x ? --------10 分 2 2 x y ? ? ?1 ? 25 16 ?

3 6 ------------12 分 ?中点的横坐标为 ,代入直线方程得中点纵坐标为 ? 2 5 3 6 所以所求中点的坐标为 ( , ? ) -----------------------------------14 分 2 5 18.解:(Ⅰ)?抛物线 C 顶点在坐标原点,准线方程为 x ? ?1

?可设抛物线 C 的方程为: y 2 ? 2 px( p ? 0) ,有
? p ? ?1 ,得 p ? 2 ,-----------------------------------4 分 2

?抛物线 C 的方程为: y 2 ? 4 x .---------------------------6 分
(Ⅱ)由(1)可知抛物线 C 的焦点坐标为 (1, 0) ,----------------------8 分 设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? 1) , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,有

? y2 ? 4x 2 2 2 2 ,消去 y 得: k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 ,---------------12 分 ? ? y ? k ( x ? 1)

? x1 ? x2 ?

2k 2 ? 4 ? 2 ? 2 ,解得 k ? ? 2 ----------------------------14 分 k2
2 x ? 2或y ? ? 2 x ? 2 -------------------16

所求直线 AB 的方程为: y ? 分

19. 解: (Ⅰ)设直线 y ? 2x ? b 与 ?ABC 的边 AB、BC 分别交于 E、F, 点 B 到 EF、AC 的距离分别为 d1 , d 2 ,? k AC ? k EF ,? AC ? EF -----------2 分

6

d 1 1 --------------------------------------4 分 S?EBF ? S?ABC ,? 1 ? d2 2 2
2?b 5 ? 1 , 2 ? b ? 3 2 ,又 b ? 0 ,------------------------------------------6 分 2?4 2 5

b ? 3 2 ? 2 -------------------------------------------------------------------------------8 分
(Ⅱ)分三种情况讨论: ① 若直线 y ? kx ? b(k ? 0) 与三角形边 AB、BC 分别交于点 E、F,平分三角形 ABC 面 积:
C
4

C
4

C
4

3

3

F
2

3

2

F
2

1

1
1

4

A

2

E

D
1

4

B

2

2 AE

4

D

4

B6

2

8

4

10

6
2 4

8

A

2

E D
1

B

取 AB 中点 D,连 CD,CE,过点 D 作 DF ? CE ,交 BC 于点 F,

1

? DF ? CE ,? S?EDF ? S?CDF ,?有S?EDF +S?BDF ? S?CDF +S?BDF
2

2

2

即 S?EBF ? S?CDB = S?ABC ,直线 EF 平分三角形 ABC 面积。
3

又 k ? 0 ,点 E 在线段 AD 满足条件, 当 E 与 A 点重合时,F 为 BC 中点,此时: 直线lEF : 4 x ? 5 y ? 8 ? 0 ,此时 b ?

1 2

3

3

8 5

当 E 与 D 点重合时,F 与点 A 重合,此时: 直线lEF : 8 x ? y ? 4 ? 0 ,此时 b ? 4 所以 b ? ? , 4 ? ----------------------------------------------------10 分 5 ②若直线 y ? kx ? b(k ? 0) 与三角形边 AC、 分别交于点 E、 平分三角形 ABC 面积: BC F,

?8 ?

? ?

7

5

5

C
4

C
4

3

3

D

2

F

D

F
2

1

1

E A
2

B
5

2

4

6

E A

2

8

B 10
1

2

4

1

C
4

2

2

3

D E

2

F
1

A

2

B

2

4

6

8

10

图1 同 理 ,

1

图2 取 D 为 AC 中 点 , 作

图3

2

DF ? BE



? 有S?EDF +S?CDF ? S?BDF +S?CDF ? S?CDB ?

? k ? 0 ,点 E 可从点 A 开始(图 2)运动到与直线 AB 平行
且平分三角形面积的直线位置(图三) 当 E 与 A 点重合时, 为 BC 中点 F (图 2) 此时:直线lEF : 4 x ? 5 y ? 8 ? 0 , , 此时 b ? 当 E 运动到与直线 AB 平行且平分三角形面积的直线位置(图三)

1 S?ABC 2

8 5

直线lEF : y ? 4 ? 2 2 ,但此时 k ? 0 ,

?4 ? 2 2 ? b ?

8 -----------------------------------------------------12 分 5

③若直线 y ? kx ? b(k ? 0) 与三角形边 AB、AC 分别交于点 E、F,平分三角形 ABC 面 积:

8

6.5

6
6

5.5
5.5

5
5

4.5
4.5

4

C
F

4

C

3.5

3.5

3

3

F

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1
6.5

1

0.5

0.5

A
5 4 3 2 1

6

B E
0.5 1 1 2
5

A
3
4

B
2

5.5

D

4

3

5

1

6

D

E
0.5 1

7

1

2

3

4

5

4.5

F4 C
3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

A
5 4 3 2 1

B DE
0.5 1 1 2 3 4 5 6 7

取 AB 中点 D,连 CD,CE,过点 D 作 DF ? CE ,交 AC 于点 F,

? DF ? CE ,? S?EDF ? S?CDF ,? 有S?EDF +S?ADF ? S?CDF +S?ADF ? S?ADC ?
即 S?AEF ? S?CDA =

1 S?ABC 2

1 S?ABC ,直线 EF 平分三角形 ABC 面积。 2

当 EF ? x轴时,k不存在, 当点 E 从 EF ? x轴 的位置向点 D 运动时, k ? 0 ,满足条件, 当 E 与 D 点重合时,F 与点 A 重合,此时: 直线lEF : 8 x ? y ? 4 ? 0 ,此时 b ? 4 所以得 b ? 4 ---------------------------------------------------------14 分 综合①②③可知, b ? 4 ? 2 2, ?? ? -----------------------------------16 分

?

?

20. 解: (Ⅰ)圆心到直线 l 的距离 d ?

5 , 5

------------------- 2 分

9

所以 | AB |? 2 1 ?

1 4 5 ? . -----------------------------4 分 5 5
2 2

(Ⅱ)解法一:设圆 C2 的一般方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0, 则公共弦所在的直线方程为: ( D ? 2) x ? ( E ? 2) y ? F ? 0, 所以 又

D?2 E?4 ? , 即 D ? 2E ? 6 ---------------------------------6 分 2 1
因 为 圆

C2





E( ? 1 F ,
?6 0 6 . , ,

3 ,)

所 ,

以 (

0

,

4

)

D? 9 E 3 ? F? ? 0? ,D ?1 ? ? ? 4 ?? 0 ? ,E---8 分 ? 1 ? 6E ? ? F ? ? ?? F D?2 ?E 6 ,? 1 ?
2 2

所以圆 C 2 的方程为 x ? y ? 6 x ? 16 ? 0 .---------------------------10 分 解法二:设圆 C2 的圆心 C2 的坐标为 (a, b) ,则有

? ( a ? 1) 2 +(b ? 3) 2 ? ( a ? 0) 2 +(b ? 4) 2 ? ----------------------6 分 ?b ? 2 ? (?2) ? ?1 ? ? a ?1
解得 ?

? a ? ?3 ?b ? 0

---------------------8 分

设圆 C2 的半径 r2 ?

(?3 ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2 ? 5
2 2

所以圆 C 2 的方程为 ( x ? 3) ? y ? 25 ---------------------10 分 (Ⅲ)将直线 l1 : 2? x ? 2 y ? 3 ? ? ? 0 方程整理为:

? ? 2 x ? 1? ? ? 2 y ? 3? ? 0 对于 ? ? R 恒成立,
所以 ?

?2 x ? 1 ? 0 1 3 ,即直线 l1 恒过定点 P ( , ) ,------------------12 分 2 2 ?2 y ? 3 ? 0

由圆心 C1 (1, 2) ,半径为 1.

1 3 2 PC1 ? ( ? 1) 2 ? ( ? 2) 2 ? ?1 2 2 2

1 3 P ( , ) 恒在圆 C1 内, 2 2
10

所以不论实数 ? 取何实数时, 直线 l1 : 2? x ? 2 y ? 3 ? ? ? 0 与圆 C1 恒交于两点-----14 分 直线 l1 与圆 C1 恒交点弦长最短时, l1 ? PC1

k PC1 ? 1 ,直线 l1 的斜率为 k1 ? ?1
所以直线 l1 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,即为所求.----------------16 分

11


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