高二数学抛物线的几何性质1


2.4.2抛物线的简单几 何性质(1)

一、温故知新
(一) 圆锥曲线的统一定义
平面内,到定点F的距离与到定直线l的距离 比为常数e的点的轨迹,(定点F不在定直线l上) 当0<e<1时,是椭圆;当e>1时,是双曲线 . 当e=1时,是抛物线 .

(二) 抛物线的标准方程
(1)开口向右 y2 = 2px (p>0) (2)开口向左 y2 = -2px (p>0) (3)开口向上 x2 = 2py (p>0) (4)开口向下 x2 = -2py (p>0)

二、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px(p>0)的几何性质?

1、


范围

y

由抛物线y2 =2px(p>0)

2 px ? y ? 0 p?0
2

o

F(

p ,0 ) 2

x

x?0 ?

所以抛物线的范围为 x ? 0

2、

对称性
关于x轴

y

? ( x, y)

对称

( x, ? y )
2

若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px, o F ( p ,0) 则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.

x

3、

顶点
y

定义:抛物线与它 的轴的交点叫做抛物线

的顶点。

2 = 2px (p>0)中, y ?

o

F(

p ,0 ) 2

x

令y=0,则x=0.
即:抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点(0,0).

4、

离心率

y
P(x,y)

抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离之比,叫做抛物线 的离心率。 由定义知, 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.

o

p F ( ,0 ) 2

x

5、

通径

过焦点而垂直于对称轴的弦 AB,称为抛物线的通径, |AB|=2p 利用抛物线的顶点、通 径的两个端点可较准确 画出反映抛物线基本特 征的草图.

y
A O B F

y2=2px
? p ? ? , p? ?2 ?

2p

x

?p ? ? ,? p ? ?2 ?

2p越大,抛物线张口越大.

6、

焦半径

连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物 线的焦半径。 y 焦半径公式:
P

|PF|=x0+p/2
O F

x

方程
y ? 2 px
2
l

图形
y
O

准线

焦点
p 2
p F ( 2 ,0)

对称轴

( p ? 0)
y ? ?2 px ( p ? 0)
2

F
l
O

x

x??

x轴
x轴

y
F

x

x?

p 2

F (? ,0)
o

p 2

x ? 2 py ( p ? 0)
2

y
F
O

l

p y??2 x

F (0, )
F (0,? )
p 2

p 2

y轴 y轴

x ? ?2 py ( p ? 0)
2

y
l
O
F

x

y?

p 2

归纳:
(1)、抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它 也可以无限延伸,但没有渐近线; (2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)、抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条 准线; (4)、抛物线的离心率e是确定的为1,

⑸、抛物线的通径为2P, 2p越大,抛物线的张 口越大.

三、典例精析
例1:已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标 原点,并且经过点M(2, ),求它的标准方程. ?2 2

解: 因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原
点,并且经过点M(2, ?2 2 ), 所以设方程为: y 2 ? 2 px ( p ? 0) 又因为点M在抛物线上: 所以: (?2
2

2) ? 2 p ? 2 ? p ? 2
? 4x

2 因此所求抛物线标准方程为: y

探照灯、汽车前灯的反光曲面,手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。 抛物镜面:抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上,通过镜面反射就变 成了平行光束,这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。

平行光线射到抛物镜面上,经镜面反射后,反射光线都 经过抛物线的焦点,这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。

例2:探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源 位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm,灯深 40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置。
y

解: 在探照灯的轴截面 所在平面内建立直 角坐标系,使反射镜 的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径.

A

(40,30)

?

O
B

x

设抛物线的标准方程为:y2=2px 由条件可得A (40,30), 代入方程得: 45 2 解之: p= 4 30 =2p· 40 45 45 2 故所求抛物线的标准方程为: y = 2 x, 焦点为( 8 ,0)

例题3
思考题 例3:图中是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离 水面2米,水面宽4米. 若在水面上有一宽为 水下降1米后,水面宽多少? 2米,高 为1.6米的船只,能否安全通过拱桥? y A(2,-2) x2=-2y y=-3代入得 x ?

6
l

o

?水面宽2 6
B(1,y) y=-0.5 B到水面的距离为1.5米

2

B A

x

不能安全通过

4

四、课堂练习
(1)已知点A(-2,3)与抛物线

y ? 2 px( p ? 0)
2

的焦点的距离是5,则P =
(2)抛物线
2

4



y ? 4x 的弦AB垂直x轴,若|AB|= 4
2
2

3 ,

则焦点到AB的距离为 (3)已知直线x-y=2与抛物线



y ? 4x交于A、B两
(4, 2)


点,那么线段AB的中点坐标是

4、求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点在直线x-2y-4=0上.
2

y ? 16 x或 x ? ?8 y
2 2

(2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为 15.

y ? 12 x或 y ? ?4 x
2
2

5.点A的坐标为(3,1),若P是抛物线 y ? 4 x上的一动 点,F是抛物线的焦点,则|PA|+|PF|的最小值为( B ) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

6、已知Q(4,0),P为抛物线 y 则|PQ|的最小值为( C) 3 10 19 A. B. C. 2 2 2

2

? x ? 1 上任一点,
D.

3

五、归纳总结
1、范围: 抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可 以无限延伸,但没有渐近线; 2、对称性: 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3、顶点:抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线; 4、离心率:抛物线的离心率是确定的,等于1; 5、通径: 抛物线的通径为2P, 2p越大,抛物线的张口 越大. 6、光学性质: 从焦点出发的光线,通过抛物线反射就 变成了平行光束.

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一个多月的“兄弟”三人,终于又恢复成兄妹三人了,大家心里都很高兴!大白骡一路疾走,很快就在县城正北的大约 二里远处,顺利地在李家庄西南的南北大路边上找到了李老乡父母的长眠之地。这个用青砖砌就的圆顶坟墓果然相当气 派,而且李老乡走之前在坟后两侧栽的松树也都长到一人多高了。兄妹三人再辨别方向仔细琢磨一下,坟墓前的那个青 石板供桌果然是面向东南方向摆放的。最后,三人又在黑色花岗岩墓碑的左下侧找到了李老乡的名字。耿正放心地说: “绝对不会错的,这里就是李叔叔父母的安息地儿了!”耿直也说:“全都对上了,绝对没有错儿!”耿英说:“这实 际上也并不费劲儿啊,俺们不就是顺路的事儿嘛!这就能了了李叔叔的心愿了。”说着话,耿正和弟弟将青石板供桌设 法清扫一番,耿英将李老乡在临行前夜亲自送去的祭奠用品全部拿出来摆放在供桌上。看看供桌上并没有香炉,耿英拿 着三大把香说:“插哪里啊?”耿正看看供桌前的地面,说:“这前面的土也太硬实,这??”耿直说:“嗨,用这些 糖果点心围起来不就行了!”于是,他们先把三大把香全部点着了稳稳地围在糖果点心的中间,然后并排跪在供桌前焚 烧纸钱。耿正轻轻地说:“李爷爷,李奶奶,俺们和李叔叔在杭州一起经营了四年的‘昌盛丝绸行’做得很好!如今, 俺们要回老家去开创另一番事业了,李叔叔一家人还在杭州呢,他们都很好!李叔叔很能干的,他正带领全家人继续开 ‘昌盛丝绸行’呢。您二老的孙子孙女都长大了,都很聪明,很快就会成为能干的生意人了。俺们临走之前,李叔叔特 地让俺们转告二老,请二老放心在此安息哇,他们一家人正在杭州做光宗耀祖的大事业呢!”耿英和耿直也说:“请二 老放心在此安息哇!”纸钱全部焚烧完后,兄妹三人一起给安息在地下的两位老人磕了三个头。大家站起来,鱼贯围着 坟墓走了一圈,又站在坟头前。耿正再次深情地看着墓碑上李老乡的名字,轻轻地说:“我们是不是应该告诉李叔叔一 些什么啊?”耿英听了,“扑哧”一声笑出声来,说:“俺说哥啊,这隔着黄河和长江呢,你倒是怎么告诉哇!”耿正 故意不回答,而是转头看着弟弟,很认真地说:“小直子,你说呢?”耿直瞪着眼儿看看哥哥和姐姐,再看看墓碑上李 老乡的名字,猛然明白了哥哥的意思!只见他一转身指着东南方向大声说:“我们就向着杭州城的方向,把想说的话大 声说出来!”耿正抬手拍拍弟弟的肩膀连连点头,笑着对妹妹说:“英子,瞧瞧,小直子比你聪明!”耿英会心地笑了, 说:“好主意!咱们谁先说啊?”耿直说:“按照从大到小的顺序来,哥第一个说,姐第二个说,俺最小,当然最后说 咯!”于是,耿正站在坟前朝东南方向拱拱手,大声说:“李叔叔,俺们已


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