椭圆简单几何性质习题 (1)


椭圆简单几何性质习题 【学习目标】 知识与技能:进一步掌握椭圆的几何性质,并了解椭圆的实际应用,解决一些较复杂问题。 过程与方法:使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法。 情感态度与价值观:辨证唯物主义世界观。 【学习重点】 椭圆的几何性质及其应用。 【学习难点】 焦点三角形,第二定义,弦长公式,点差法。 【学法指导】 1.课前依据参考资料,自主完成,有疑问的地方做好标记. 2.课前互相讨论交流,课上积极展示学习成果. 【知识链接】 椭圆的标准方程:_____________________________________ 椭圆的范围:_________________________________________ 对称性:_____________________________________________ 顶点坐标:___________________________________________ 焦点坐标:___________________________________________ 半轴长: _____________________________________________ 离心率: _____________________________________________ a,b,c 的关系:________________________________________ 【学习过程】 一、焦点三角形问题: 1、已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆两焦点 F1 、 F2 连线的夹角为直角,则 PF1 ? PF2 是多少? 49 24

2、已知 P 为椭圆

x2 4 y 2 ? ? 1 上一点, F1 、 F2 是椭圆的焦点, ?F1PF2 ? 60 ,求 ?F1PF2 的面积。 25 75

二、第二定义问题: 1、 焦半径的推导: 对于椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 它的左、 右焦点分别是 F1 (?c,0) 和 F2 (c,0) , P( x0 , y0 ) a 2 b2

是椭圆上的任一点,求证: PF 1 ? a ? ex0, PF 2 ? a ? ex0 ,其中 e 是椭圆的离心率。

2、方程 2 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? x ? y ? 2 表示的曲线是什么?
2 2

3、已知椭圆 值为最小。

x2 y 2 ? ? 1 内有一点 P(1, ?1) ,F 是椭圆的右焦点,在椭圆上求一点 M,使 MP ? 2 MF 之 4 3

4、设椭圆的左焦点为 F,AB 为椭圆中过 F 的弦,试判断以 AB 为直径的圆与左准线的位置关系。

三、弦长问题: 1、椭圆弦长公式 AB ? 1 ? k

2

x1 ? x2 的推导:

2、经过椭圆

x2 ? y 2 ? 1的左焦点 F1 作倾斜角为 60? 的直线 L,直线 L 与椭圆相交于 A、B 两点,求 AB 长。 2

四、点差法问题:

x2 y 2 1、已知椭圆 ? ? 1 ,过点 P(2,1) 做一弦,使弦在 P 点被平分,求此弦所在直线的方程。 16 4

2、椭圆 ax 2 ? by 2 ? 1与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 A、B 两点,C 是 AB 的中点,若 AB ? 2 2 ,OC 的斜率



2 ,求椭圆的方程。 2

【达标检测】 A 组 基础巩固 如果椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点的连线组成一个正三角形,焦点在 x 轴上,且 a-c= 3 ,求椭圆的方程。

B 组 考点突破 椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列,求椭圆的离心率。


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