【书城】2017年高考通关讲练高考数学(理科)课标通用第3辑:一、导数的概念及几何意义.doc_图文


一、导数的概念及几何意义

考纲要求 1.了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义. 命题规律 导数的几何意义是高考考查的重点内容,常与解析几何知识交汇命题,多以选择题、填 空题的形式考查,有时也会出现在解答题中的关键一步.

1.导数的定义: f ?( x) ? lim

?y f ( x+ ?x) ? f ( x) ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

2 .导数的几何意义:函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数 f ? ? x0 ? 就是曲线 y ? f ( x) 在点

( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 k ,即 k ? f ?( x0 ) .
3.基本初等函数的导数公式 函数 f(x)=C(C 为常数) 导数

f ?( x ) = 0

f ( x)=xn (n ? N* )
f(x)=sin x f(x)=cos x

f ?( x)=nxn?1 (n ? N* )
f ?( x)= cos x

f ?( x)= ? sin x

f ( x) ? a x (a > 0且a ? 1) f ( x) ? ex f ( x) ? loga x(a ? 0且a ? 1)
f(x)=ln x

f ?( x) ? a x ln a(a > 0且a ? 1) f ?( x) ? e x
f ?( x ) = 1 x ln a ( a ? 0且a ? 1)

f ?( x )=

1 x

求 函数 y = 【答案】 ?

1 在 x ? 1 处的导数. x

1 2

【解析】记 f ( x)=

1 1 ,则 ?y ? f (1 ? ?x) ? f (1)= ?1 1 ? ?x x

?

1 ? 1 ? ?x 1 ? 1 ? ?x 1 ? 1 ? ?x ??x , ? ? ? 1 ? ?x 1 ? ?x 1 ? 1 ? ?x 1 ? ?x ? (1 ? 1 ? ?x )

?y 1 , =? ?x 1 ? ?x ? (1 ? 1 ? ?x )
∴ lim
?x ?0

?y ?1 1 = lim =? . ? x ? 0 ?x 2 1 ? ?x ? (1 ? 1 ? ?x )
1 . 2

∴ y? |x ?1 ? ?

【考点定位】导数的概念. 【方法规律】由定义求导数的方法及解题思路: (1)导数定义中,x 在 x0 处的增量是相对的,可 以 是 ?x , 也 可 以 是 2?x , 解 题 时 要 将 分 子 、 分 母 中 的 增 量 统 一 ; (2)导数定义

?x ? 0

lim

f ( x0 +?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) =f ?( x0 ) 等价于 lim =f ?( x0 ) ; (3)求函数 y=f(x)在 x=x0 处的 x ? x0 ?x x ? x0
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ;③ ?x ?x

导数的求解步骤:①求差: ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ;②求比:

f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

?y . ?x

一质点运动的方程为 s ? 8 ? 3t 2 . (1)求质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度; (2)求质点在 t=1 时的瞬时速度(用定义及求导两种方法). 【答案】 (1) ?6 ? 3?t ; (2) ?6 . 【解析】 (1)∵s=8?3t2,∴?s=8?3(1+?t)2?(8?3×12)= ?6?t?3(?t)2,

∴v=

?s ? ?6 ? 3?t . ?t

(2)定义法:质点在 t=1 时的瞬时速度 v = lim

?s ? lim(?6 ? 3?t ) ? ?6 . ?t ? 0 ?t ?t ? 0

求导法:质点在 t 时刻的瞬时速度 v=s?(t ) ? (8 ? 3t 2 )? ? ?6t ,当 t=1 时,v=?6×1=?6. 【考点定位】求导的步骤及导数的概念. 【名师点睛】导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系.对位移 s 与时间 t 的关 系式求导可得瞬时速度与时间 t 的关系.根据导数的定义求导数是求导数的基本方法,应按照“一差、 二比、三极限”的求导步骤来求. x 若曲线 f(x)=2sin x(x∈[0,π])在点 P 处的切线平行于曲线 g(x)=2 x· ( +1)在点 Q 处 3 的切线,则直线 PQ 的斜率为 A.1 【答案】C 【解析】 f ?( x ) =2cos x,x∈[0,π],∴ f ?( x ) ∈[?2,2], g ?( x) ? 当 x=1 时,等号成立, 设 P(x1, y1),Q(x2, y2),则由题意知, 2cos x1 ? ∴ 2cos x1 ? 2 且 x2 ? B.

1 2

C.

8 3

D.2

x?

1 ? 2 ,当且仅 x

x2 ?

1 , x2

1 =2, x2
8 y ? y1 8 ,∴ k PQ ? 2 ? . 3 x2 ? x1 3

∵x1∈[0,π],∴x1=0,∴y1=0,x2=1,y2= 【考点定位】导数的几何意义.

【名师点睛】设出切点是本题解题的关键,再利用导数的几何意义进行求解即可.曲线的切线的求法: 若已知曲线过点 P(x0, y0), 求曲线过点 P 的切线, 则需分点 P(x0, y0)是切点和不是切点两种情况求解. (1) 当点 P(x0,y0)是切点时,切线方程为 y?y0=f ′(x0)(x?x0);(2)当点 P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步 完成: 第一步: 设出切点坐标 P′(x1, f(x1)); 第二步: 写出过 P′(x1, f(x1))的切线方程为 y?f(x1)=f ′ (x1)(x?x1); 第三步:将点 P 的坐标(x0,y0)代入切线方程求出 x1;第四步:将 x1 的值代入方程 y?f(x1)=f ′(x1)(x?x1), 可得过点 P(x0,y0)的切线方程.

1.过曲线 y ? f ( x ) ?

x 上一点(2, ? 2)及邻近一点(2 ??x , ? 2 ??y )作割线,则当 1? x
2 3
x ?0

?x ? 0.5 时割线的斜率为
A.

1 3

B.

C.1

D. ?

5 3

2.已知函数 f ( x) 在 x ? 1 处的导数为 1,则 lim A.3 C.

f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 3x
2 3 3 D. ? 2
B. ?

1 3
B.1 C .2

3.设曲线 y=ax?ln (x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= A.0 D.3

4.曲线 y=e?5x+2 在点(0,3)处的切线方程为________. 5.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:y=x3?10x+3 上,且在第二象限内,已知曲 线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为________. 6.设点 P 是曲线 y=x3? 3 x+

2 上的任意一点,且该曲线在点 P 处的切线的倾斜角为 α, 3
参考答案

则角 α 的取值范围是________.

1.B 【解析】

2 ? ?x ? (?2) ?y f (2 ? ?x) ? f (2) 1 2 1 ? (2 ? ?x) lim ? lim = lim ? lim ? .故 B ?x ? 0.5 ?x ?x ? 0.5 ?x ? 0.5 ?x ? 0.5 1 ? ?x ?x ?x 3
正确.

f (1 ? x) ? f (1 ? x) 2 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 2 ? ? lim =? . ? 2 x ? 0 3x 3 ?2 x 3 1 3.D 【解析】y′=a? ,当 x=0 时,y′=a?1=2,∴a=3,故选 D. x ?1
2.B 【解析】 lim
x ?0

4.5x+y?3=0 【解析】由 y=e?5x+2?y′=?5e?5x?切线的斜率 k=y′|x=0=?5,于是切线方 程为 y?3=?5(x?0)?5x+y?3=0. 5.(?2,15) 【解析】由 C:y=x3?10x+3,得 y′=3x2?10=2,即 x2=4,又切点在第二象限, ∴ x=?2,y=15,即点 P(?2,15).

6. [0, ) ? [

π 2

2π π , π) 【解析】y′=3x2? 3 ≥? 3 ,∴ tan α≥? 3 ,由 0≤α<π 且 α≠ ,结 3 2 π 2 2π , π) . 3

合正切函数图象可得 α 的取值范围为 [0, ) ? [

1.导数的几何意义 函数 y=f (x)在 x=x0 处的导数 f ′(x0)就是曲线 y=f (x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率 k, 即 k=f ′(x0). 2.求曲线 y=f(x)的切线方程的类型及方法 (1)已知切点 P(x0, y0),求 y=f (x)过点 P 的切线方程:求出切线的斜率 f ′(x0),由点斜 式写出方程; (2)已知切线的斜率为 k,求 y=f (x)的切线方程:设切点 P(x0, y0),通过方程 k=f ′(x0) 解得 x0,再由点斜式写出方程; (3)已知切线上一点(非切点),求 y=f (x)的切线方程:设切点 P(x0, y0),利用导数求得 切线斜率 f ′(x0),再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得 x0,最后由点斜式或两点 式写出方程. (4)若曲线的切线与已知直线平行或垂直,求曲线的切线方程时,先由平行或垂直关系 确定切线的斜率,再由 k=f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0),最后写出切线方程. (5)①在点 P 处的切线即是以 P 为切点的切线,P 一定在曲线上.②过点 P 的切线即切 线过点 P,P 不一定是切点.因此在求过点 P 的切线方程时,应首先检验点 P 是否在已 知曲线上.

求切线方程时忽略导数的几何意义 已知曲线 f ( x) ?

x 上的一点 P(0,0),求曲线在点 P 处的切线方程.?

【错解】切线不存在.

f ?( x) ?

1 ?1 x 2 ,因为 f ′(0)不存在,所以曲线 f (x)在点 P 处的切线不存在.? 2

【错因分析】错解中误认为曲线在点 P 处的导数不存在,则曲线在该点处的切线不存 在.?

【正解】

f (0 ? ?x) ? f (0) ?x 1 ,根据切线的定义,当 Δx→0 时,割线的 ? ? ?x ?x ?x
π , 斜率不存在, 故曲线在点 P 处的切线为 y 轴, 即切线方程为 x=0.? 2

倾斜角无限逼近于

【归纳总结】在求曲线上某点处的切线方程时,要注意区分切线、切线的斜率和该点处 的导数这三者之间的关系, 函数在某点处可导是曲线在该点处存在切线的充分不必要条 件.因此,在求曲线在某点处的切线方程时,如果导数不存在,可由切线的定义来求切 线方程.

求切线方程时混淆“某点处”和“过某点” 已知曲线 f ( x) ? 2 x3 ? 3x ,过点 M(0,32)作曲线 f(x)的切线,求切线的方程.? 【错解】y=?3x+32. 因为 f ?( x) ? 6 x2 ? 3 ,所以切线的斜率 k=f ′(0)=0?3=?3.所以切线方程为 y= ?3x+32.? 【错因分析】错解中没有验证点 M 与曲线的位置关系,而是直接把它当作是曲线上的 切点.? 【正解】 显然点 M 不在曲线 f (x)上, 设切点坐标为 N ( x0 , 2x03 ? 3x0 ) , 又 f ′(x)=6x2?3, 所以切线的斜率 k ? f ?( x0 ) ? 6x02 ? 3 ,所以切线方程为 y ? (6x02 ? 3) x0 ? 32 .又点 N 在切线上,所以有 2x03 ? 3x0 ? (6x02 ? 3) x0 ? 32 ,解得 x0 = ? 2 .故切线方程为 y= 21x+32. ? 【易错警示】在求曲线 y=f(x)的切线方程时,要注意区分是求某点处的切线方程,还是 求过某点(不在曲线 f(x)的图象上)的切线方程,前者的切线方程为 y?f (x0)=f ′(x0)(x?x0)(切点(x0,f (x0)),后者一般先设出切点坐标,再求解.

有一位国外的学者(搞数学研究的)到我们学校访问,住在学校外宾招待所。

他要走的时候,我问他对我们学校的印象如何。 他说:“你们学校的招待所太差了,以后再也不敢住了!” 我急忙问其原因,教授说道:“那吃饭的碗,碗口处处不可导,这哪是给人用的!” 我听了,大笑,这教授比喻得还真形象! 虽说是笑话,但是能加深对连续、可导概念 的理解哟.


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