18学年高中数学第一章不等关系与基本不等式22.2绝对值不等式的解法教学案北师大版选修4_5


§1 不等式的性质 [对应学生用书 P1] [自主学习] 1.实数大小的比较 a>b?a-b>0; 求差法 a<b?a-b<0; a=b?a-b=0. >1?a>b; b ? ?a 当 a>0, b>0 时, ?b<1?a<b; a ? ?b=1?a=b. a 求商法 2.不等式的性质 (1)性质 1(对称性):如果 a>b,那么 b<a; 如果 b<a,那么 a>b. (2)性质 2(传递性):如果 a>b,b>c,那么,a>c. (3)性质 3(加法性质):如果 a>b,那么 a+c>b+c. ①移项法则:如果 a+b>c,那么 a>c-b. ②推论(加法法则):如果 a>b,c>d,那么 a+c>b+d. (4)性质 4(乘法性质):如果 a>b,c>0,那么 ac>bc, 如果 a>b,c<0,那么 ac<bc. ①推论 1(乘法法则):如果 a>b>0,c>d>0,那么 ac>bd. ②推论 2(平方法则):如果 a>b>0,那么 a >b . ③推论 3(乘方法则):如果 a>b>0,那么 a >b (n 为正整数). 1 1 ④推论 4(开方法则):如果 a>b>0,那么 a >b (n 为正整数). n n 2 2 n n [合作探究] 1.怎样比较两个代数式的大小? 提示:整式、分式一般用求差的方法来比较大小;而算式则一般用求商的方法来比较大 小. 2.两个不同向不等式的两边可以分别相减或相除吗? 1 提示:不可以,两个不同向不等式的两边不能分别相减,也不能分别相除,在需求差或 商时,可利用不等式性质化为同向不等式相加或相乘,例如:a>b 且 c<d? a>b 且-c>-d, ? a-c>b-d. 3.若 a>b>0,当 n<0 时,a >b 成立吗? 提示:不成立,如当 a=3,b=2,n=-1 时, 1 1 -1 -1 3 = < =2 . 3 2 n n [对应学生用书 P1] 比较大小 [例 1] (1)比较 a -b 与 4a (a-b)的大小. (2)设 a>0,b>0,求证:a b ≥(ab) a b 4 4 3 a+b 2 . [思路点拨] 本题考查求差比较法及求商比较法在比较代数式大小中的应用, 同时考查 了运算及转化能力,解答此题(1)需要用求差的方法比较,解答(2)需要用求商的方法证明. [精解详析] (1)a -b -4a (a-b) =(a-b)(a+b)(a +b )-4a (a-b) =(a-b)[(a+b)(a +b )-4a ] =(a-b)(a +ab +ba +b -4a ) =(a-b)[(ab -a )+(ba -a )+(b -a )] =(a-b)(a-b)[-a(a+b)-a -(a +b +ab)] =-(a-b) (3a +2ab+b ) =-(a-b) [( 3a+ 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 4 4 3 b 2 2 2 ) + b ]≤0 3 3 (当且仅当 a=b 时取等号). ∴a -b ≤4a (a-b). (2)证明:∵a b >0,(ab) ∴ a b 4 4 3 a?b 2 >0, a?b 2 aabb ?ab? a?b 2 =a a?b 2 ·b b?a 2 ?a? =? ? ?b? . ①当 a=b 时,显然有( ) a a-b =1, b 2 a-b 2 >0, <0. ②当 a>b>0 时, >1, a b ③当 b>a>0 时,0< <1, a b a-b 2 2 由指数函数的单调性,②③均有? ? b ?a?a-b>1. ? ? 2 a b 综上可知,对任意正数 a,b,都有 a b ≥(ab) a+b 2 . 比较大小的常用方法及步骤: 1.求差法:a≥b?a-b≥0,a≤b?a-b≤0. 一般步骤是:作差→变形→判号→定论. 变形是作差法的关键,配方和因式分解是常用的变形手段. 2.求商法:当 a>0,b>0 时,把比较 a,b 的大小转化为比较 与 1 的大小关系,此即 为作商比较法. 理论依据是不等式的性质: 若 a>0,b>0,则 ≥1?a≥b, ≤1?a≤b. 一般步骤为:作商→变形→与 1 比较大小→定论. a b a b a b 1.已知 x≠0,求证:(x -1) <x +x +1. 证明:(x -1) -(x +x +1) =x -2x +1-x -x -1 =-3x <0, ∴(x -1) <x +x +1. 2 2 4 2 2 4 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 a2-b2 a-b 2.设 a>b>0,求证: 2 > . a +b2 a+b 证明:法一: = = a2-b2 a-b - a2+b2 a+b 2 2 2 ?a-b?[?a+b? -?a +b ?] 2 2 ?a +b ??a+b? 2ab?a-b? >0, 2 2 ?a +b ??a+b? 所以原不等式成立. 法二:∵a>b>0,故 a >b >0. 故左边>0,右边>0. ∴ 左边 ?a+b? 2ab = 2 =1+ 2 >1. 2 右边 a +b a +b2 2 2 2 3 ∴原不等式成立. 利用不等式的性质辨别不等式的正误 [例 2] 对于实数 a,b,c 判断下列命题的真假. (1)若 a>b,则 ac<bc; (2)若 ac >bc ,则 a>b; (3)若 a<b<0,则 a >ab>b ; (4)若 a<b<0,则|a|>|b|; (5)若 c>a>b>0,则 2 2 2 2 a c-a c-b > b . [思路点拨] 本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力. 解答此题需要依据实数的基 本性质,实数的符号的运算法则以及不等式性质,然后经过合理逻辑推理即可判断. [精解详析] (1)由于 c 的符号未知,因而

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