2014年山东高考理科数学试卷(带详解)


2014 年高考山东卷理科数学真题
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,选 择符合题目要求的选项。 2 1.已知 a, b ? R,i 是虚数单位,若 a ? i 与 2 ? bi 互为共轭复数,则 ) (a ? bi) ?( A. 5 ? 4i B. 5 ? 4i C. 3 ? 4i D. 3 ? 4i
【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】给出复数,结合共轭复数的特点,求出关于复数的代数运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题分析】因为 a ? i 与 2 ? bi 互为共轭复数,所以 a =2,b =1 ,所以 (a+bi)2 =(2+i)2 =3+4i , 故选 D.
x 2.设集合 A ? {x x ? 1 ? 2}, B ? { y y ? 2 , x ? [0, 2]}, 则 A ? B ? (

)

A.?0,2?

B .? 1,?3

C. ? 1,?3

D.?1,4?

【测量目标】集合的基本运算(交集). 【考查方式】考查了集合的表示法(描述法) ,求集合的交集. 【难易程度】容易 【参考答案】C 1<x<3} , B={ y |1≤y≤4} ,所以 A ? B={x |1≤x<3} , 【试题分析】根据已知得,集合 A={x | - 故选 C. 3.函数 f ( x) ?

1 (log2 x) 2 ? 1

的定义域为(

)

1 A.(0, ) 2

B.? 2, ? ??

1 C.(0, ) ? (2, ??) 2

1 D.(0, ] ? [2, ? ?) 2

【测量目标】函数的定义域. 【考查方式】由函数表达式,直接求出函数定义域. 【难易程度】容易 【参考答案】C

?x ? 0 ? ?x ? 0 ? 【试题分析】根据题意得 ? ,解得 ? 1 ,故选 C. 2 x ? 2或x ? ? ? ?? log 2 x ? ? 1 ? 0 ? 2 2 4. 用反证法证明命题“设 a, b ? R, 则方程 x ? ax ? b ? 0 至少有一个实根”时要做的假设是( 2 2 A.方程 x ? ax ? b ? 0 没有实根 B.方程 x ? ax ? b ? 0 至多有一个实根 2 2 C.方程 x ? ax ? b ? 0 至多有两个实根 D.方程 x ? ax ? b ? 0 恰好有两个实根
【测量目标】命题的否定. 【考查方式】给出一个命题,求出其否定命题. 【难易程度】容易 【参考答案】A

)

【试题解析】“方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”等价于“方程 x +ax+b=0 有一个实根或两个实 根”,所以该命题的否定是“方程 x +ax+b=0 没有实根”.故选 A. 5.已知实数 x, y 满足 a ? a (0 ? a ? 1) ,则下列关系式恒成立的是(
x y
2

2

2

) D. x ? y
3 3

A.

1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

B. ln(x ? 1) ? ln(y ? 1)
2 2

C. sin x ? sin y

【测量目标】函数值的大小的比较.

【考查方式】给出不同类型的函数进行大小比较. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解 析】因为 a x<a y (0 <a<1),所以 x > y ,所 以 sin x > sin y , ln( x2+ 1)>ln( y 2+ 1) ,

1 1 ? 2 都不一定正确,故选 D. x ?1 y ?1
2

6.直线 y ? 4 x 与曲线 y ? x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为(
3

)

A. 2 2 B. 4 2 C.2 D.4 【测量目标】定积分. 【考查方式】通过直线与曲线的交点,求利用积分求封闭图形的面积. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限的交点坐标是(2,8),所以两者围成的封闭图形的面

? 2 1 4? 积为 ? (4x ? x )dx = ? 2 x ? x ? =4 ,故选 D. 0 4 ?0 ?
2 3

2

7.为了研究某药厂的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位: kPa ) 的分组区间为 [12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17], 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二 组,…,第五组,如图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有 20 人,第三 组中没有疗效的有 6 人,则第三组中有疗效的人数为( )

第 7 题图

A. 6 B. 8 C. 12 D. 18 【测量目标】频率分布直方图. 【考查方式】考查了根据频率分布直方图求解实际问题. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】因为第一组与第二组一共有 20 人,并且根据图像知第一组与第二组的人数比是

3 0 . 2 4 : 0 .? 1 6 ,所以第一组有 3:2 20 ? =12 .又因为第一组与第三组的人数比是 0.24 : 0.36 ? 2 : 3 , 5 2 所以第三组一共有 12 ? =18 .因为第三组中没有疗效的有 6 人,所以第三组中有疗效的人数是 18-6 3
=12,故选 C. 8.已知函数 f ?x? ? x ? 2 ? 1 g ?x ? ? kx .若方程 f ? x ? ? g ? x ? 有两个不相等的实根, 则实数 k 的取值范 , 围是( )

? 1? ? 0, ? ? 2?

?1 ? 1? ? , ?2 ?

2? ?1,

? ?? ? 2,

【测量目标】函数的图象与性质. 【考查方式】画出函数图象,判断满足条件的未知系数的范围.

【难易程度】中等 【参考答案】B 【试题解析】作出函数 f(x)的图像,如图所示.若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实数,则函数 f(x), g(x)有两个交点,则 k >

1 ,且 k<1 ,故选 B. 2

第 8 题图

9.已知 x ,y 满足的约束条件 ?
2 2

? x ? y ? 1≤0 当目标函数 z ? ax ? by(a ? 0,b ? 0) 在该约束条件下取得 , ?2x ? y ? 3≥0
)

最小值 2 5 时, a ? b 的最小值为(

A. 5 B. 4 C. 5 D. 2 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值. 【考查方式】已知不等式组和目标函数的最小值,结合图形及二次函数的图象与性质求目标函数中未 知参数关系式的最值. 【难易程度】中等 【参考答案】B 【试题解析】画出约束条件表示的可行域(如图所示), 显然,当目标函数 z =ax+by 过点 A(2,1)时,z 取得最小值,即 2 5=2a+b ,所以 2 5 ? 2a=b ,所 以 a2 +b2 =a2 +(2 5 ? 2a)2 =5a2 ? 8 5a+20 ,构造函数

? 4 5? a ? m ? a ? =5a -8 5+20= 5 ? ? +4(0<a ? 5) ,利用二次函数求最值,显然函数 ? 5 ? ? ?
2

2

m ? a ? =5a 2-8 5+20 的最小值是

4 ? 5 ? 20 ? 8 5 4?5

?

?

2

? 4 ,即 a2+b2 的最小值为 4,故选 B.

第 9 题图

10.已知 a ? 0,b ? 0 ,椭圆 C1 的方程为 之积为

x y x2 y2 ? =1 ? =1 C1 与 C2 的离心率 , 双曲线 的方程为 C 2 a 2 b2 a 2 b2 ,

2

2

3 ,则 C2 的渐近线方程为( ) 2 A. x ? 2 y=0 B. 2 x ? y=0 C. x ? 2y=0

D. 2x ? y ? 0

【测量目标】椭圆与双曲线的简单几何性质. 【考查方式】利用椭圆与双曲线的性质,将椭圆双曲线结合考查.

【难易程度】中等 【参考答案】A 【试题解析】椭圆 C1 的离心率 e1 =

a 2 ? b2 a 2 ? b2 ,双曲线 C2 的离心率 e2 = .由 a a
2 2

e1e2 =

3 a 2 ? b2 a 2 ? b2 b 2 ?b? ?b? ?b? 1 = 1? ? ? ? 1? ? ? = ,解得 ? ? = ,所以 = ,所以双曲 ? 2 a 2 a a ?a? ?a? ?a? 2

2

2 x ,故选 A. 2 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,答案须填在题中横线上. 11.执行如图的程序框图,若输入的值为 1,则输出的 n 的值为 .
线 C2 的渐近线方程是 y = ?

第 11 题图

【测量目标】循环结构程序框图. 【考查方式】程序框图与一元二次不等式相结合进行考察. 【难易程度】容易 【参考答案】3 【试题分析】x=1 满足不等式,执行循环后,x=2,n=1;x=2 满足不等式,执行循环后,x=3,n =2;x=3 满足不等式,执行循环后,x=4,n=3;x=4 不满足不等式,结束循环,输出的 n 的值为 3. 12.在 △ABC 中,已知 AB ? AC ? tan A ,当 A ?

uu u r uuu r

π 时, △ABC 的面积为 6

.

【测量目标】三角函数求三角形面积. 【考查方式】已知一角和边与三角函数关系式求三角形面积. 【难易程度】容易 【参考答案】

1 6

AC = AB ? AC cos A ? tan A ,且 A ? 【试题分析】因为 AB·
的面积 S ? AB ? AC sin A ?

??? ? ???? ??? ? ????

1 2 π 1 ? sin ? . 2 3 6 6 P ? ABC 13.三棱锥 中, D, E 分别为 PB, PC 的中点,记三棱锥 D ? ABE 的体积为 V1 , P ? ABC 的 V 体积为 V2 ,则 1 ? . V2
【测量目标】三棱锥的体积. 【考查方式】由三棱锥的边的关系得出体积之比.

??? ? ????

??? ? ???? 2 π ,所以 AB ? AC ? ,所以 △ABC 3 6

【难易程度】中等 【参考答案】

1 4

【试题分析】如图所示,由于 D,E 分别是边 PB 与 PC 的中点,所以 S△BDE ?

1 S△PBC .又因为三棱锥 4

A ? BDE 与三棱锥 A ? PBC 的高长度相等,所以

V1 1 ? . V2 4

第 13 题图

14.若 ? ax 2 ?

? ?

b? 3 2 2 ? 的展开式中 x 项的系数为 20,则 a ? b 的最小值为 x?

6

.

【测量目标】二项式定理. 【考查方式】给出二项式某项的系数,利用二项式展开式的求含有未知参数的关系式最值. 【难易程度】中等 【参考答案】2

?b? 6-3 3 6-r 【试题分析】 Tr +1 =C (ax ) ? ? ? =C6 ? br x12-3r ,令 12-3r =3 ,得 r =3 ,所以 C3 6 a b =20 , ra ? x? 3 3 2 2 2 2 即 a b =1 ,所以 ab =1 ,所以 a +b ≥2ab ? 2 ,当且仅当 a=b ,且 ab =1 时,等号成立.故 a +b 的
6 r 2 6-r

r

最小值是 2

15 已知函数 y ? f ( x)( x ? R) ,对函数 y ? g ? x ?? x ? I ? ,定义 g ? x ? 关于 f ? x ? 的“对称函数”为函数 若 h ? x? 是 g ? x? ?

对任意 x ? I , 两个点 ? x, h ? x ? ? , ? x, g ? x ? ? 关于点 ? x, f ? x ?? 对称, y ? h ? x ?? x ? I ? ,y ? h ? x ? 满足:

4 ? x 2 关于 f ? x ? ? 3x ? b 的“对称函数”,且 h ?x ? ?g ? x ? 恒成立,则实数 b 的取

值范围是 . 【测量目标】函数概念的新定义. 【考查方式】给出对称函数的定义,利用圆与直线的相切,求未知数的范围. 【难易程度】中等 【参考答案】 b ? 2 10 【试题分析】g(x)的图象表示圆的一部分,即 x +y =4( y≥0) .当直线 y =3x+b 与半圆相切时,满 足 h ? x ? ? g ? x ? ,根据圆心(0,0)到直线 y =3x+b 的距离是圆的半径求得
2 2

|b| =2 ,解得 b ? 2 10 9 ?1

或 b ? ?2 10 (舍去), 要使 h ? x ? ? g ? x ? 恒成立, 则 b ? 2 10 , 即实数 b 的取值范围是 (2 10, ? ?) .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ? m,cos 2x ? , b ? ?sin 2x, n ? ,函数 f ? x ? ? a ? b ,且 y ? f ? x? 的图象过点 ? 点?

?π ? , 3? 和 ? 12 ?

? 2π ? , ?2 ? . ? 3 ?

(1)求 m, n 的值; (2)将 y ? f ? x ? 的图象向左平移 ? ? 0 ? ? ? π ? 个单位后得到函数 y ? g ? x ? 的图象,若

y ? g ? x ? 图象上各最高点到点 ? 0,3? 的距离的最小值为 1,求 y ? g ? x ? 的单调递增区间.
【测量目标】三角函数基本公式、诱导公式,图象的平移以及单调区间. 【考查方式】通过向量考查三角函数的性质,利用最值问题求三角函数的图象平移后的单调区间. 【难易程度】中等 【试题分析】解: (1)已知 f ( x) ? a ? b ? m sin 2 x ? n cos 2 x ,

π 2π ? f ( x) 过点 ( , 3), ( , ?2), 12 3 π π π 2π 4π 4π ? f ( ) ? m sin ? n cos ? 3,f ( ) ? m sin ? n cos ? ?2, 12 6 6 3 3 3 ?1 3 n? 3 ? m? ? ?m ? 3 ?2 2 解得 ? . ?? , ? ?n ? 1 ?? 3 ? 1 ? ?2 ? ? 2 2 π π (2) f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ), f ( x) 左移 ? 后得到 g ( x) ? 2sin(2 x ? 2? ? ). 6 6
设 g ( x) 的对称轴为 x ? x0 ,? d ? 1 ? x0 ? 1 解得 x0 ? 0.
2

? g (0) ? 2 ,解得 ? ?

π , 6 π π π ? g ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) ? 2sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x, 3 6 2 ??π ? 2kπ≤2 x≤2kπ, k ? Z, π ? ? kπ≤x≤kπ, k ? Z, 2 π ? f ( x) 的单调增区间为 [? ? kπ, kπ], k ? Z. 2
17.(本小题满分 12 分)

ABCD 是等腰梯形, ?DAB ? 60? , AB ? 2CD ? 2 , 如图,在四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中,底面

M 是线段 AB 的中点. (1)求证: C1M∥平面A 1 ADD 1;
(2)若 CD1 ⊥平面 ABCD 且 CD1 = 3 ,求平面 C1 D1M 和平面 ABCD 所成的角(锐角)的余弦值.

第 17 题图(1)

【测量目标】立体几何中的线面平行的判定,二面角的基础知识,空间向量的应用. 【考查方式】线面平行,线面垂直定理的应用,找出异面直线所成角,由边长解三角形及空间向量的应 用,考查空间想象能力. 【难易程度】中等

?CD∥C1D1 , CD ? C1D1 . 【试题分析】 (1)连接 AD 1 ,? ABCD ? A 1B 1C1D 1 为四棱柱, ? AM∥C1D1 , AM ? C1D1. ? AMC1D1 为平行四边形,? AD1∥MC1. 又?C1M ? 平面A1 ADD , AD 1 1 ? 平面A 1A D D 1. ? AD1∥平面A1 ADD1 .
又? M 为 AB 的中点,? AM ? 1 ,? CD∥AM , CD ? AM ,

第 17 题图(2)

第 17 题图(3)

(2)方法一:? AB∥A 1B 1, A 1B 1∥C1D 1 ,?面D 1C1M与ABC 1D 1共面 . 作 CN ? AB ,连接 D1 N ,则 ?D1 NC 即为所求二面角. 在 ABCD 中, DC ? 1, AB ? 2, ?DAB ? 60 ,? CN ?
?

3 . 2

在 Rt△D1CN 中, CD1 ? 3 , CN ?

3 15 . ? D1 N ? 2 2

3 NC 3 5 ? cos ?D1CN ? ? 2 ? . ? D1 N 5 15 15 2 方法二:作 CP ? AB 于 P 点,如图所示,以 C 为原点, CD 为 x 轴, CP 为 y 轴, CD1 为 z 轴建立
空间直角坐标系.

1 3 1 3 ? C1 (?1,0, 3 ), D1 (0,0, 3 ), M ( , ,0) ,? C1 D1 ? (1,0,0), D1M ? ( , ,? 3 ) . 2 2 2 2 设平面 C1 D1M 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

? x1 ? 0 ? ,? n1 ? (0, 2,1) . ??1 3 x ? y ? 3 z ? 0 ? 1 1 1 2 ?2 显然平面 ABCD 的法向量为 n2 ? (1,0,0)

? cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 1 5. ? ? n1 n2 5 5

显然二面角为锐角,所以平面 C1 D1M 和平面 ABCD 所成角的余弦值为

5 . 5

3 NC 3 5 ? cos ?D1CN ? ? 2 ? . ? D1 N 5 15 15 2
18.(本小题满分 12 分) 乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域 A, B ,乙被划分为两个不 相交的区域 C , D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球. 规定:回球一次,落点在 C 上记 3 分,在 D 上记 1 分,其他情况记 0 分.对落点在 A 上的来球,队员小明回球的落点在 C 上的概 1 1 1 率为 ,在 D 上的概率为 ;对落点在 B 上的来球,小明回球的落点在 C 上的概率为 ,在 D 上的概率 2 3 5 3 为 .假设共有两次来球且落在 A, B 上各一次,小明的两次回球互不影响.求: 5 (I)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (II)两次回球结束后,小明得分之和 ? 的分布列与数学期望.

第 18 题图

【测量目标】随机事件与概率,离散型随机变量的期望. 【考查方式】考查随机事件概率计算,考查离散型随机变量及其分布列、数学期望等基本知识 【难易程度】中等 【试题分析】 (1)设恰有一次的落点在乙上这一事件为 A, 则

5 1 1 4 3 P( A) ? ? ? ? ? . 6 5 6 5 10 0, 1, 2, 3, 4, 6 (II) ?的可能取值为 1 1 1 1 1 1 3 1 P(? ? 0) ? ? ? P(? ? 1 )? ? ? ? ? , 6 5 30 3 5 6 5 6 1 3 1 1 1 1 1 2 P(? ? 2) ? ? ? , P(? ? 3 )? ? ? ? ? 3 5 5 2 5 6 5 15 1 3 1 1 11 1 1 1 P(? ? 4) ? ? ? ? ? ,P(? ? 6) ? ? ? 2 5 3 5 30 2 5 10 ??的分布列为
?
P

0
1 30

1
1 6

2
1 5

3
2 15

4
11 30

6
1 10

? 数学期望为E (? ) ? 0 ?
19.(本小题满分 12 分)

1 1 1 2 11 1 91 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? ? 30 6 5 15 30 10 30

已知等差数列 {an } 的公差为 2,前 n 项和为 Sn ,且 S 1 , S2 , S4 成等比数列. (I)求数列 {an } 的通项公式;

(II)令 bn =(?1) n ?1

4n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an ?1

【测量目标】等差数列的通项公式及前 n 项和,等比数列的性质,数列的前 n 项和. 【考查方式】 已知等差数列的首项和前几项的关系, 通过等差数列和等比数列的性质与前 n 项和公式, 求出结果.由题设等式关系求解通项公式和前 n 项和. 【难易程度】较难 【试题分析】 (1) d ? 2, S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ? d, S4 ? 4a1 ? 6d ,

? S1,S2,S4 成等比数列,? S22 ? S1 ? S4 . 解得 a1 ? 1,? an ? 2n ?1 . 4n 1 1 (II) bn ? (?1) n ?1 ? (?1) n?1 ( ? ), an an?1 2n ? 1 2n ? 1
当 n 为偶数时,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? ), 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ?Tn ? 1 ? ? . 2n ? 1 2n ? 1
当 n 为奇数时,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? ), 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ? 2 ? Tn ? 1 ? ? , 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n , n为偶数 ? ? 2n ? 1 ?Tn ? ? . ? 2n ? 2 , n为奇数 ? ? 2n ? 1
20.( 本小题满分 13 分)

ex 2 ? k ( ? ln x) ( k 为常数, e ? 2.71828? 是自然对数的底数). 2 x x (I)当 k ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间;
设函数 f ? x ? ? (II)若函数 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 内存在两个极值点,求 k 的取值范围. 【测量目标】利用导数研究函数的单调区间、极值. 【考查方式】利用函数导数、单调性,求解未知参数的范围. 【难易程度】较难 【试题分析】 (1)函数 y=f(x)的定义域为 (0,+?) ,

x e x ? x 2 ? 2 xe x ? 2 1 ? ? x ? 2? ? e ? kx ? f '? x? ? ?k ?? 2 ? ? ? ? x ? 0? . x4 x? x3 ? x x 当 k≤0 可得 e -kx ? 0 , 2) 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 y=f ? x ? 单调递减; 所以当 x ? (0,

当 x ? (2,+?) 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 y=f ? x ? 单调递增.

2) ,单调递增区间为 (2,+?) . 所以 f ? x ? 的单调递减区间为 (0,
(2)令 g ? x ? =e -kx ,则 g? ? x ? =e -k .?e ? k , x ? ln k .
x x
x

? g ' ? 0? ? 1 ? k ? 0, g ? 0? ? 1 ? 0 ,

g ' ? 2? ? e2 ? k ? 0 , g ? 2? ? e2 ? 2k ? 0 ,? k ? g ? ln k ? ? eln k ? k ln k ? 0 ,? ln k ? 1? k ? e .

e2 . 2
? ? e2 2 ? ?. ?

综上所述,函数 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 内存在两个极值点,k 的取值范围是 ? e, 21.(本小题满分 14 分)

已知抛物线 C:y 2 ? 2 px( p>0) 的焦点为 F , A 为 C 上异于原点的任意一点,过点 A 的直线 l 交于 另一点 B , 交 x 轴的正半轴于点 D , 且有 FA ? FD , 当点 A 的横坐标为 3 时,△ADF 为正三角形。 (I)求 C 的方程; (II)若直线 l1∥l ,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E , (i)证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; (ii) △ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. 【测量目标】抛物线方程、直线与抛物线的位置关系以及运用参数法求最值. 【考查方式】利用抛物线的定义及性质得出抛物线的方程;直线与抛物线的位置关系,求直线所过的定 点坐标及三角形面积的最值,考查运算求解能力 【难易程度】难 【试题分析】 (1)由题意知 F ?

?p ? ? p ? 2t ? , 0 ? ,设 D(t,0)(t>0),则 FD 的中点为 ? , 0? . ?2 ? ? 4 ? p p 因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知 3+ = t ? ,解得 t=3+p 或 t=-3(舍去). 2 2 p ? 2t =3 ,解得 p=2, 由 4 ? C 的方程为: y 2 ? 4x .
(2) (i) 证明:由(1)知 F(1,0), 设 A( x0,y0 )( x0 y0 ? 0) , D( xD, 0)

? xD ? 0? ,因为 FA = FD ,则 | xD-1| =x0+1 ,
y0 . 2

由 xD ? 0 得 xD=x0+2 ,故 D( x0+2, 0) ,故直线 AB 的斜率 k AB=- 因为直线 l1 和直线 AB 平行,设直线 l1 的方程为 y =- 代入抛物线方程得 y ?
2

y0 x?b, 2

8 8b y ? =0 , y0 y0 64 32b 2 由题意 ? ? 2 ? ? 0 ,得 b ? ? . y0 y0 y0 4 4 设 E ( xE,yE ) ,则 yE ? ? , xE ? 2 . y0 y0 4 ? y0 yE ? y0 y0 4y 2 当 y0 ? 4 时, k AE ? ?? ? 2 0 . 2 y 4 xE ? x0 y0 ? 4 ? 0 2 y0 4 4y 可得直线 AE 的方程为 y ? y0 ? 2 0 ( x ? x0 ) , y0 ? 4

由 y02 ? 4x0 ,整理可得 y ?

4 y0 ( x ? 1) , y0 2 ? 4

0) . 直线 AE 恒过点 F (1,
当 y02 =4 时,直线 AE 的方程为 x =1 ,过点 F (1, 0) . 所以直线 AE 过定点 F (1, 0) .

0) , (ii) 由(1)知,直线 AE 过焦点 F (1,
所以 AE = AF + FE = ? x0 ? 1? ? ?

?1 ? 1 ? 1? ? ? x0 ? 2 . ? x0 ? x0

1, 设直线 AE 的方程为 x=my+

x0 ? 1 . y0 y 设 B( x1,y1 ) ,直线 AB 的方程为 y-y0 ? ? 0 ? ( x ? x0 ) , 2 2 由 y0 ? 0 ,得 x ? ? y ? 2 ? x0 . y0 8 8 2 代入抛物线方程得 y ? y ? 8 ? 4 x0 ? 0 ,所以 y0+y1 ? ? . y0 y0 8 4 可求得 y1 ? ? y0 ? , x1 ? ? x0 ? 4 . y0 x0
因为点 A( x0,y0 ) 在直线 AE 上,故 m ? 所以点 B 到直线 AE 的距离为 d ?

? 4 8 ? ? x0 ? 4 ? m ? y0 ? ? ? 1 x0 y0 ? ? 1 ? m2

?

4 ? x0 ? 1? x0

? 1 ? ? 4 ? x0 ? ?, ? ? x 0 ? ?

则△ABE 的面积 S ? 当且仅当

1 ? 1 ? 1 ? 4 ? x0 ? ? x0 ? +2≥16 , ? ? 2 ? x0 x0 ?

1 =x0 ,即 x0 =1 时,等号成立. x0

所以△ABE 的面积的最小值为 16.


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