人教版高中数学选修4-4课件:第一讲四柱坐标系与球坐标系简介


第一讲 坐标系 四、 柱坐标系与球坐标系 简介 [学习目标] 1.了解刻画空间中点的柱坐标和球坐标 (重点). 2.了解柱坐标及球坐标与直角坐标间的变换公 式(重点). 3.通过介绍柱坐标系与球坐标系,对坐标系 有一个完整的认识,能更好地体会和理解坐标思想 ( 难 点). [知识提炼· 梳理] 1.柱坐标系 (1)定义:一般地,如图建立空间 直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任意一点, 它在 Oxy 平面上的射影为 Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π) 表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标,这时点 P 的位置可用 有序数组(ρ,θ,z)(z∈R)表示. 这样,我们建立了空间的点与有序数组 (ρ,θ,z)之 间的一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫作 柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫作点 P 的柱坐标,记作 P(ρ,θ,z),其中 ρ≥0,0≤θ<2π,z∈R. (2)空间点 P 的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z) ?x=ρcos θ, ? ?y=ρsin θ, ?z = z ? 之间的变换公式为_______________ . 温馨提示 柱坐标系又称半极坐标系, 它由平面极坐 标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的. 2.球坐标系 (1)定义:一般地,如图建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 P 是空间任意一点,连接 OP,记|OP|=r,OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ,设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q, Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角 为 θ,这样点 P 的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示, 这样,空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对 应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫作球坐标系(或 空间极坐标系),有序数组(r,φ,θ),叫作点 P 的球坐标, 记作 P(r,φ,θ),其中 r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π. (2)空间点 P 的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ) ?x=rsin φcos θ, ? ?y=rsin φsin θ, ?z=rcos φ ? 之间的变换公式为_________________ . 温馨提示 在测量实践中, 球坐标中的角 θ 称为被测 点 P(r,φ,θ)的方位角,90°-φ 为高低角. [思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)点 M 的直角坐标为(1,- 3,4),则点 M 的柱坐 ? 5π ? 标为?2, 3 ,4?.( ? ? ) N 的直角坐 (2)点 N ? ? 7π 的柱坐标为?2, 6 ,-1?,则点 ? ? 标为(- 3,-1,-1).( ) (3) 点 S 的 直 角 坐 标 (1 , 0 , - 1) 化 为 球 坐 标 为 ? ? ? π ? 2, ,0?.( 4 ? ) ? 3π 5π? (4)点 t 的球坐标?2, 4 , 4 ?化为直角坐标为(-1, 1, ? ? - 2).( ) 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.在球坐标系中,方程 r=2 表示空间的( A.球 C.圆 B.球面 D.直线 ) 解析:设方程 r=2 的解在空间对应点 P 的球坐标为 P(2,φ,θ),直角坐标为 P(x,y,z). 则 x=2sin φcos θ,y=2sin φsin θ,z=2cos φ,所以 |OP| = x2+y2+z2 = 4sin2φcos2θ+4sin2φsin2θ+4cos2φ =2. 所以 P 点的轨迹是以原点为球心,2 为半径的球面. 答案:B 3 .点 P ( ) ? 5π ? 的柱坐标是 ?4, 4 ,3? ,则其直角坐标为 ? ? A.(2 2,2 2,3) C.(-2 2,-2 2,3) B.(-2 2,2 2,3) D.(2 2,-2 2,3) 5π 解析:x=ρcos θ=4cos =-2 2, 4 5π y=ρsin θ=4sin =-2 2, 4 故其直角坐标为(-2 2,-2 2,3). 答案:C 4.如图所示,正方体 OABC-O1A1B1C1 中,棱长为 1. (1)在柱坐标系中,点 B1 的坐标为 ________________. (2)在球坐标系中,点 C1 的坐标为 ________________. π 解析: (1)易知 ρ=|OB|= 2, θ=∠AOB= , z=|BB1| 4 ? =1,故点 B1 的柱坐标为? ? π ? 2, ,1?. 4 ? π (2)易知 r=|OC1|= 2,φ=∠O1OC1= , 4 ? π π? π θ=∠AOC= ,故点 C1 的球坐标为? 2,4,2?. 2 ? ? ? 答案:(1)? ? ? π ? π π? 2, ,1? (2)? 2, , ? 4 ? 4 2? ? 5.已知点 M 的直角坐标为(1,2,3),球坐标为(r, φ,θ),则 tan φ=________,tan θ=________. 解析:如图所示, x2+y2 5 tan φ= z = , 3 y tan θ=x=2. 5 答案: 2 3 类型 1 柱坐标、球坐标的确定(自主研析) [典例 1] 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,如右图所示, 建立空间直角坐标系 Axyz,以 Ax 为极轴. (1)求点 C1 的直角坐标、柱坐标以及球坐标; (2)求点 C 的和点 D 的直角坐标、 柱坐标以及球坐标. 解:(1)点 C1 的直角坐标为(1,1,1),设点 C1 的柱 坐标为(ρ,θ,z),球坐标为(r,φ,θ),其中 ρ≥0,r≥0, 0≤φ≤π,0≤θ<2π, ? ?x=ρcos θ, ? ?x=rsin φcos θ, ? ? 由公式?y=ρsin θ, 及?y=rsin φsin θ, 得 ? ? ? ?

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