人教A版高中数学选修2-1课件:第一章 常用逻辑用语 本章小结


第一章 常用逻辑用语 本章小结 知识网络建构 热点专题剖析 一、命题及其关系 本章常用逻辑用语所涉及的内容主要有以下两方 面: (1)命题的四种形式及原命题与其逆否命题的等价 性,以及含有一个量词的全称命题、特称命题的否 定. (2)充分条件、必要条件的判定,充要条件的证明 及应用. [例1] 写出命题“平行四边形的对角线互相平分” 的逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假. [分析] 结合四种命题的概念写出逆命题、否命题、 逆否命题,再结合它们的关系及命题的具体含义进行 真假的判断. [解] 原命题:平行四边形的对角线互相平分,是 真命题; 逆命题:对角线互相平分的四边形是平行四边形, 是真命题; 否命题:若一个四边形不是平行四边形,则这个 四边形的对角线不互相平分,是真命题; 逆否命题:对角线不互相平分的四边形,不是平 行四边形,是真命题. [例 2] 写出下列命题的否定: (1)各数位数字之和能被 3 整除的整数都能被 3 整 除; (2)有的素数是偶数; (3)所有的人都喝水; (4)存在有理数 x0,使 x2 0- 2= 0. [分析 ] 全称命题的否定是特称命题,特称命题的 否定是全称命题,要特别注意量词的变化. [解] (1)存在各数位数字之和能被 3整除的整数不 能被3整除; (2)所有的素数都不是偶数; (3)有的人不喝水; (4)?x∈Q,x2-2≠0. [例3] 已知关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0, a∈R,求方程有两正根的充要条件. [分析] 先求出方程有两个实根的充要条件,再讨 论 x 2 的系数及运用根与系数的关系求出要求的充要条 件. [解 ] 方程 (1- a)x2+ (a+ 2)x- 4= 0 有两个实 ?1- a≠ 0 ? 根的充要条件是? 2 ? ? a + 2 ? + 16? 1- a?≥ 0 ? ?a≠ 1, ? ?? ? ?a≤ 2,或 a≥ 10, 即 a≥ 10,或 a≤ 2,且 a≠ 1. 设此时方程的两实根为 x1, x2,有两个正根的充要条 件是: ?a≠1, ?a≤2,或a≥ 10 ? ?x1+ x2>0 ?x 1 · x2>0 ? ?a ≠ 1 ?a≤2,或a≥ 10, ?a+ 2 ?? >0 a - 1 ? ? 4 >0 ? a - 1 ? ? 1<a≤ 2,或 a≥ 10. 即方程有两个正根的充要条件是 1<a≤ 2,或 a≥ 10. 二、复合命题真假判断 1.判断复合命题真假的方法 (1) p∧ q形式的复合命题,当 p、 q都为真时, p∧ q 为真,当p、q中至少有一个为假时,p∧q为假. (2) p∨ q形式的复合命题,当 p 、 q至少有一个为真 时,p∨q为真,当p、q都为假时,p∨q为假. p为假时,綈p为真. (3)綈p形式的复合命题,当p为真时,綈p为假;当 2.判断复合命题真假的步骤: (1)确定这个复合命题的构成形式; (2)判断其中简单命题的真假; (3)根据其真值表判断复合命题的真假. 1 1 a [例 4] 设命题 p:若 a>b,则 < ;命题 q: <0 a b b ?ab<0.给出下列四个复合命题:①p 或 q;② p 且 q; ③綈 p;④綈 q.其中真命题的个数为( ) A.0 C.2 B.1 D.3 [解] 本题考查简单命题与复合命题的真假关 系.由已知条件容易判断命题 p为假,命题q为真.再 由简单命题和复合命题的真假关系可知:①p或 q为真; ②p且q为假;③綈p为真;④綈q为假. [答案] C π [例 5] 命题 p:函数 f(x)= sin(2x- )+ 1 满足 6 π π f( + x)= f( - x). 3 3 命题 q:函数 g(x)= sin(2x+ θ)+ 1 可能是奇函数(θ 为 常数 ); 则复合函数“ p 或 q”“ p 且 q”“非 q”为真命题 的个数为( A. 0 C. 2 ) B. 1 D. 3 π [解 ] 对命题 p: y= sinx 的对称轴为 x= kπ+ , k∈ Z. 2 π π π 令 2x- = kπ+ 得函数 f(x)= sin(2x- )+ 1 的对称轴为 x= 6 2 6 kπ π π π π + ,k∈ Z,故 x= 适合,即 f( + x)= f( - x)成立.所以 2 3 3 3 3 p 为真. 对命题 q: 若 g(x)为奇函数, 因为 g(x)的定义域为 R, 3 则有 g(0)= 0,即 sinθ=- 1.所以 θ= 2kπ+ π, k∈ Z.所以 q 2 为真,所以可判断真命题的个数为 2. [答案] C 三、全称命题与特称命题 全称命题的真假判定:要判定一个全称命题为真, 必须对限定集合 M中每一个x验证p(x)成立,一般用代 数推理的方法加以证明.要判定一个全称命题为假, 只需举出一个反例即可. 特称命题的真假判定:要判定一个特称命题为真, 只要在限定集合M中,能找到一个x=x0,使p(x0)成立 即可.否则,这一特称命题为假. [例6] 设A、B为两个集合,下列四个命题: ①A?B?对任意x∈A,有x?B; ②A ? B?A∩B=?; ③A ? B?A?B; ④A ? B?存在x∈A,使得x?B. 其中真命题的序号是 __________( 把符合要求的命 题序号都填上). [解] A ? B ?存在 x ∈ A ,有 x ?B ,故①错误;同 理②③均错;④正确. [答案] ④ 四、反证法 反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性,从 逻辑角度看,命题:“若p,则q”的否定“若p,则綈 q”,由此进行推理,如果发生矛盾,那么就说明“若 p,则 綈q”为假,从而可以导出“若p ,则 q”为真, 从而达到证明的目的. 反证法是高中数学的一种基本方

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