高二数学(人教A版)选修1-1课件3-4 生活中的优化问题举例_图文


成才之路· 数学 人教A版 ·选修1-1 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第三章 导数及其应用 第三章 3. 4 生活中的优化问题举例 学习要点点拨 课堂巩固练习 课前自主预习 课后强化作业 课堂典例讲练 课程目标解读 1.了解导数在实际问题中的应用,对给出的实际问题, 如使利润最大、效率最高、用料最省等问题,体会导数在解决 实际问题中的作用. 2.能利用导数求出某些特殊问题的最值. 重点难点展示 本节重点:利用导数知识解决实际中的最优化问题. 本节难点:将实际问题转化为数学问题,建立函数模型. 学习要点点拨 1.生活中,经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高 等问题, 这些问题通常称为优化问题. 在解决实际优化问题中, 不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示, 还应确定函数关系式中自变量的定义区间. 2.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系, 找出实际问题的数学 模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式 y=f(x); (2)求函数的导数 f ′(x),解方程 f ′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小,最大(小) 者为最大(小)值. (4)把所得数学结论回归到数学问题中, 看是否符合实际情 况并下结论.其基本流程是 课前自主预习 1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等 问题,这些问题通常称为 优化 问题. 2.解决优化问题的基本思路: 上述解决优化问题的过程是一个典型的 数学建模 过程. 3.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单 1 3 位:万件)的函数关系式为 y=- x +81x-234,则使该生产厂 3 家获取最大年利润的年产量为( A.13 万件 C.9 万件 ) B.11 万件 D.7 万件 [答案] C [解析] 1 3 ∵y=- x +81x-234, 3 ∴y′=-x2+81(x>0). 令 y′=0 得 x=9,令 y′<0 得 x>9,令 y′>0 得 0<x<9, ∴函数在(0,9)上单调递增,在(9,+∞)上单调递减, ∴当 x=9 时,函数取得最大值.故选 C. [点评] 利用导数求函数最值时,令 y′=0 得到 x 的值, 此 x 的值不一定是极大(小)值时,还要判定 x 值左右两边的导 数的符号才能确定. 课堂典例讲练 思路方法技巧 命题方向 [例 1] 面积、容积最大问题 有一块边长为 a 的正方形铁板,现从铁板的四个角 各截去一个相同的小正方形, 做成一个长方体形的无盖容器. 为 使其容积最大,截下的小正方形边长应为多少? [解析] 设截下的小正方形边长为 x, 容器容积为 V(x), 则 做成的长方体形无盖容器底面边长为 a-2x,高为 x, a V(x)=(a-2x) x,0<x<2. 2 a 即 V(x)=4x -4ax +a x,0<x<2. 3 2 2 实际问题归结为求 先求 ? a? V(x)在区间?0,2?上的最大值点.为此, ? ? ? a? V(x)的极值点.在开区间?0,2?内, ? ? V′(x)=12x2-8ax+a2. 令 V′(x)=0,得 12x2-8ax+a2=0. 1 1 解得 x1= a,x2= a(舍去). 6 2 ? a? 1 x1=6a 在区间?0,2?内,x1 可能是极值点.且 ? ? 当 0<x<x1 时,V′(x)>0; a 当 x1<x<2时,V′(x)<0. 因此 ? a? x1 是极大值点,且在区间?0,2?内,x1 是唯一的极值 ? ? 1 点,所以 x= a 是 V(x)的极大值点. 6 1 即当截下的小正方形边长为6a 时,容积最大. 已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物 线 y=4-x2 在 x 轴上方的曲线上,求这个矩形面积最大时的 长和宽. [解析] 如图所示,设出 AD 的长,进而求出 AB,表示出 面积 S,然后利用导数求最值. 设 AD=2x(0<x<2),则 A(x,0), AB=y=4-x2, ∴矩形面积为 S=2x(4-x2)(0<x<2), 即 S=8x-2x3, S′=8-6x2,令 S′=0, 2 2 解得 x1= ,x2=- (舍去). 3 3 2 当 0<x< 时,S′>0; 3 2 当 <x<2 时,S′<0, 3 2 所以,当 x= 时,S 取得最大值,此时 3 32 3 S 最大值= 9 . 8 4 3 即矩形的长和宽分别为3, 3 时,矩形的面积最大. 建模应用引路 命题方向 利润最大问题 [例 2] 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成 本为 10 万元/辆,出厂价为 13 万元/辆,年销售量为 5000 辆, 本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入 成本,若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价 相应提高的比例为 0.7x,年销售量也相应增加.已知年利润 =(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量. (1)若年销售量增加的比例为 0.4x,写出本年度的年利润 p(万元)关于 x 的函数关系式; (2)若年销售量关于 x 的函数为 ? 5? 2 y=3240?-x +2x+3?,则 ? ? 当 x 为何值时,本年度年利润最大?最大年利润是多少? [解析] (1)由题意得:本年度每辆车的投入成本为 10×(1 +x); 出厂价为 13×(1+0.7x), 年销售量为 5000×(1+0.4x). 因 此本年度的年利润为: p = [13×(1 + 0.7x) - 10×(1 + x)]×5000×(1 + 0.4x) = (3 - 0.9x)×5000×(1+0.4x)=-1800x2+1500x+15000(0<x<1). (2) 本 年 度 的

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