福建省安溪八中2019届高三上学期期中质量检测数学(理)试题


2019 年秋季安溪八中高三年期中质量检测

数学试题 (理科) 第Ⅰ卷(选择题

命题人:陈秋水 141113

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题意要求的. 1.已知集合 M ? x | A. ?x | x ? ?1 ? C. ?x | ?1 ? x ? 1? 2.函数 y ?

?

x ? 1 ? 0 ,集合 N ? ?x | x ?1 ? 0? ,则 M ? N ? (
B. ? x | x ? 1 ? D. ?x | ?1 ? x ? 1? ) C. ? ?

?



x2 ? lg ? 2 x ? 1? 的定义域是( 2? x ? 1 ? ? 1 ? A. ? ? , 2 ? B. ? ? , ?? ? ? 2 ? ? 2 ?
0

? 1 1? , ? ? 2 2?

D. ? ??, ?

? ?

1? ? 2?

3. tan 960 等于 ( A. ?

)

3 3

B.

? 3

C.

3 3
)

D.

3

4.函数 f ? x ? ? ln x ?1 的图像大致是(

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D. )

5. 为了得到函数 y ? cos(2 x ? A.向右平移

?
3

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象(
B.向右平移

6.设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数,且 f(2)=0,则不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ( A.(-∞,-2)∪(0,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
·1·

? 个单位长度 3 ? C.向左平移 个单位长度 3

? 个单位长度 6 ? D.向左平移 个单位长度 6

)

C. (-2,0)∪(2,+∞)
2

D. (-2,0)∪(0,2) )

7.若函数 f(x)=x +2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数 a 的取值范围是( A.a≥3 B.a≤-3 C.a<5 D.a≥-3

8.函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 为常数,A>0,ω >0) 的部分图像如图 1 所示,则 f (? ) =( A. ? )

2 2

B. ?

6 2

C.

2 2

D.

6 2

图1 )

9.若实数 a ? A. x ? 0

?

e

1

2 dx ,则函数 f(x)=2sinx 十 acosx 的图象的一条对称轴方程为( x ? 3? 5? B. x ? ? C. x ? ? D. x ? ? 4 4 4

10. 已知方程 ( y ? 1)(| x | ?2) ? 4 ,若对任意 x ?[a, b](a, b ? Z ) , 都存在唯一的 y ? [0,1] 使方程成立; 且对任意 y ? [0,1] ,都有 x ?[a, b](a, b ? Z ) 使方程成立,则 a ? b 的最大值等于( A.2 B. 0 C.1 D. -2 )

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卷相应位置. 11.在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3 2,则 AC=________;

? ? ?2cos x, x ? 10 f ( x) ? ? 3 ? ? x ? 10, x ? 10 12.已知函数 ,则 f [ f (2014)] ? __________;
13. 已知函数 f ( x) ? x ? mx ? (m ? 6) x ? 1 既存在极大值又存在极小值,则实数 m 的取值范围是
3 2

___________________. 14. 函数 f ( x) ? e ? 1与 x 轴,直线 x ? 1 围成的图形的面积是__________;
x

?? ? f ? x? ? f ? ? f ? x?=asin2x+bcos2x ? 6 ? 对一切 x ? R 恒成立, 15.设 ,其中 a, b ? R, ab ? 0 . 若
f (?
则 ①

?
12

)?0
; ②

f ? x?

( , 0) 的图像关于 6 对称;
·2·

?



f ? x?

? 7? ? ? k? ? , k? ? ?k ? Z ? ? ? 12 12 ? ? 的单调递增区间是 ;

| f(


7? ? ) |?| f ( ) | 12 5 ;

⑤存在经过点

? a, b ? 的直线与函数 f ? x ? 的图象相交.

以上结论正确的是__________________(写出所有正确结论的编号) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分)

f ( x) ?
已知函数

1 3 x ? x 2 ? 3x ??3,6? 上的最值. 3 ,求 y ? f ( x) 在区间

17. (本小题满分 13 分) 如图,以 Ox 为始边作角 α 与 β(0<β<α<π),它们终边分别与单位圆相交于点 P、Q,已知点 P 的坐标为 ( ?

3 4 , ). 5 5

sin 2α +cos 2α +1 (Ⅰ)求 的值; 1+tan α

uu u r uuu r OP ? OQ ? 0 ,求 sin(α +β ). (Ⅱ)若

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos x ? 2 3sin x cos x ?1
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间;

x ? [0, ] 4 时,求函数 y ? f ( x) 的值域. (Ⅱ)当
19. (本小题满分 13 分) 某投资公司投资甲、 乙两个项目所获得的利润分别是 P (亿元)和 Q (亿元), 它们与投资额 t(亿 元)的关系有经验公式 P ?

?

1 1 2t , Q ? t ,今该公司将 5 亿元投资这两个项目,其中对甲项目投资 4 8

x(亿元),投资这两个项目所获得的总利润为 y(亿元).求: (Ⅰ)y 关于 x 的函数表达式; (Ⅱ)求总利润的最大值.
·3·

20.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若函数

f ( x) ? x 2 ? mx ?

1 4 为偶函数,且

B f (cos ) ? 0 2 .
(Ⅰ)求角 B 的大小;

15 3 7 3 (Ⅱ)若△ ABC 的面积为 4 ,其外接圆半径为 3 ,求△ ABC 的周长.

21. (本小题满分 14 分)
2 2 () b ? n lx 设函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 ) , gx



(Ⅰ) 若函数 y ? f ( x) 与 h( x) ? blnx ? 1 在点 P(1,c)处有相同的切线,求实数 a, b, c 的值; (Ⅱ) 关于 x 的不等式 ( x ?1) ? f ( x) 的解集中的整数恰有 3 个,求实数 a 的取值范围;
2

( Ⅲ ) 对于函数 f ( x) 与 g ( x) 定义域上的任意实数 x ,若存在常数 k , m ,使得 f ( x) ? kx ? m 和

g ( x) ? kx ? m 都成立,则称直线 y ? kx ? m 为函数 f ( x) 与 g ( x) 的“分界线”.设

a?

2 2 ,b ? e ,

试探究 f ( x) 与 g ( x) 是否存在“分界线”?若 存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

2019 年秋季安溪八中高三年期中质量检测

数学试题 (理科)参考答案
一、选择题:DADBB CBDCA

10.解析:原方程 ( y ? 1)(| x | ?2) ? 4 化为: y ?

4 ? 1 画出此函数的图象,由图象知:对任意 y | x | ?2

∈[0,1],都有 x∈[a,b](a,b∈Z)使方程成立,得出:[a,b]?[-2,2];又对任意 x∈[a,b](a,b∈Z) ,都存在唯一的 y∈[0,1]使方程成立;得出:[a,b]可能为[-2,0], [-2,1],[0,2],[-1,2],[-2,2]五种情况;故 a+b 的最大值为:2. 二、填空题:
·4·

11. 2 3 14. e ? 2

12. -1

13. (-∞,-3)∪(6,+∞)

15.①④⑤

三、解答题:

f ( x) ?
16.解:∵
2

1 3 x ? x 2 ? 3x 3

? ∴ f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ? ( x ? 3)( x ? 1) ………………3 分 ? ∴ f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 解得 x ? ?1 或 3.
2

………………5 分

x, y, y 取值情况列表如下

,

x
y? y

(??, ?1)
+

?1
0 极大值

(?1,3)
-

3 0 极小值

(3, ??)
+

?

?

?



f ( x)极大

………………8 分 5 ? f (?1) ? , f ( x)极小 ? f (3) ? ?9 3 .………………10 分

又 f (?3) ? ?9, f (6) ? 18, ∴

f ( x)最大 ? f (6) ? 18, f ( x)最小 ? f (3) ? f (?3) ? ?9

……13 分

3 4 17.解:(Ⅰ)由三角函数定义得 cosα =- ,sinα = . 5 5 ∴原式=

………… 2 分

2sin? cos? ? 2cos 2? sin? 1? cos? 2cos? (sin? ? cos? ) = sin? ? cos? cos?
= 2cos ?
2

………… 4 分

………… 6 分

3 2 18 ………… 7 分 5 25 uu u r uuu r OP ? OQ ? 0 ,∴α -β =π .∴β =α -π ,………… 9 分 (Ⅱ)∵
= 2?( ) = 2 2

·5·

π? 3 ? ∴sinβ =sin?α - ?=-cosα = , 2? 5 ? π? 4 ? cosβ =cos?α - ?=sinα = . 2 5 ? ? ∴sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ 4 4 ? 3? 3 = × +?- ?× 5 5 ? 5? 5 = 7 . 25
2

………… 11 分

………… 13 分

18. 解: f ( x) ? 2cos x ? 2 3sin xcos x ?1

? cos 2x ? 3 sin 2 x ? 2
2k? ?
(Ⅰ)由

? 2sin(2 x ?

?
6

)?2
………… 4 分

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2 ,得 , k? ? 2? 3

k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6 ,k ?Z

所以 f ( x) 的单调递增区间为

[k? ?

?
3

?

] 6 ,k ?Z

………… 8 分

0? x?
(Ⅱ)∵

?

?

4 ∴6

? 2x ?

?
6

?

1 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 6 ∴2 3 ? 2 sin( 2 x ?


………… 12 分

?
6

)?2? 4

∴函数 y ? f ( x) 的值域为 [3, 4]

………… 13 分

1 1 2x ? (5 ? x ) , 8 19. 解:(Ⅰ)根据题意,得 y= 4 x∈[0,5].………… 4 分

t2 (Ⅱ)令 t= 2x ,t∈[0, 10 ] ,则 x= 2 ,………… 7 分
y?? 1 2 1 5 1 7 t ? t ? ? ? (t ? 2) 2 ? . ………… 10 分 16 4 8 16 8

因为 2∈[0, 10 ] ,所以当 2x =2 时,即 x=2 时,y 取最大值 0.875.………… 12 分 答:总利润的最大值是 0.875 亿元.………… 13 分
·6·

20.解: (Ⅰ)∵

f ( x) ? x 2 ? mx ?

1 4 是偶函数,
1 1 ? x 2 ? mx ? 4 4 ,∴ m ? 0 …………………2 分

∴ f ( x) ? f (? x) ,即

x 2 ? mx ?

B B 1 1 ? cos B 1 f (cos ) ? 0 cos 2 ? ? 2 2 4 ,即 2 4 ,………………4 分 又 ,∴ cos B ? ?


1 2? B? B ? (0, ? ) 2 ,又 3 .……………………6 分 ∴

7 3 (Ⅱ)∵△ ABC 的外接圆半径为 3 ,
b 14 3 ? b 2? 3 ? 2R sin 3 sin B ∴根据正弦定理 得, , b ? 7 .…………8 分



S?ABC ?

1 15 3 ac sin B ? 2 4 ,∴ ac ? 15 . ……………………10 分

在△ ABC 中,根据余弦定理得,

b ? a ? c ? 2ac cos B ,即
2 2 2

a 2 ? c 2 ? 30 cos

2? ? 49 2 2 3 , a ? c ? 34

…………12 分

∴ (a ? c) ? a ? c ? 2ac ? 64 ,∴ a ? c ? 8 ,
2 2 2

∴△ ABC 的周长等于 15 .……………………………………13 分

20.解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? a x

2 2

, h( x) ? blnx ? 1 ∴ f ( x) ? 2a x ,
' 2

h ' ( x) ?

b x

……1 分

依题意的

? f ' (1) ? h' (1) ? ? f (1) ? c ?h(1) ? c ?



? 2a 2 ? b ? 2 ?a ? c ?1 ? c ? ……3 分

·7·

解得

? a ? ?1 ? ?b ? 2 ?c ? 1 ?

…………4 分
2

(Ⅱ)解法一:不等式 ( x ?1) ? f ( x) 的解集中的整数恰有 3 个,
2 等价于 (1 ? a ) x ? 2 x ? 1 ? 0 恰有三个整数解,故 1 ? a ? 0 ,

2

2

令 h( x) ? (1 ? a ) x ? 2 x ? 1 ,由 h(0) ? 1 ? 0 且 h(1) ? ?a ? 0(a ? 0) ,
2 2 2

所以函数 h( x) ? (1 ? a ) x ? 2 x ? 1 的一个零点在区间 (0,1) ,
2 2

?h(?2) ? 0, ? h(?3) ? 0, 则另一个零点一定在区间 [?3, ?2) ,故 ?

4 3 ?a? 2 .…8 分 解之得 3

…………9 分

…………10 分

…………11 分
·8·

…12 分

e g ( x) ? ex ? ( x ? 0) 2 下面证明 恒成立.

G ( x) ? e ln x ? x e ?


e e e ( e ? x) G?( x) ? ? e ? 2 ,则 x x .

所以当 0 ? x ? e 时, G '( x) ? 0 ;当 x ?

e 时, G ( x) ? 0 .
'

e f ( x) ? ex ? ( x ? 0) 2 因此 x ? e 时 G ( x) 取得最大值 0 ,则 成立.………13 分 y ? ex ?
故所求“分界线”方程为:

e 2 . …………14 分

·9·


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