福建省永春一中、培元中学、季延中学、石光中学2017届高三数学上学期第一次联合考试试题 理(含解析)练习


福建省永春一中、培元中学、季延中学、石光中学 2017 届高三数学 上学期第一次联合考试试题 理(含解析)练习
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1. 若集合 A. 【答案】D 【解析】 , B. C. , D. ,则 ( )

本题选择 D 选项. 2. 设 i 为虚数单位, A. -1 【答案】A B. 1 C. -2 为纯虚数,则实数 a 的值为( D. 2 )

3. 设 是等差数列 A. 2 B. 3 C. 5

的前 n 项和, D. 7

,则





【答案】C 【解析】 ,

. 本题选择 C 选项. 4. 某校在高三第一次模拟考试中约有 1000 人参加考试,其数学考试成绩近似服从正态分 布,即 ,试卷满分 分,统计结果显示数学考试成绩不及格(低于 90 )

分)的人数占总人数的 ,则此次数学考试成绩在 100 分到 110 分之间的人数约为( A. 400 【答案】A B. 500 C. 600 D. 800

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【解析】 . 故选 A. 5. 设点 是双曲线 的距离的比值为 A. C. 【答案】B 【解析】双曲线的右焦点 F(c,0),到渐近线



的右焦点,点 到渐近线的距离与双曲线的两焦点间 ,则双曲线的渐近线方程为( B. D. )

,即 bx? ay=0 的距离



∵点 F 到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为 1:6, ∴ ,即 c=3b,则 ,即 ,则 , ,

则双曲线的渐近线方程为 即 ,

本题选择 B 选项. 点睛:双曲线 的渐近线方程为 ,而双曲线 的

渐近线方程为

(即

),应注意其区别与联系. )

6. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

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A. C. 【答案】C

B. D.

【解析】由三视图可知,该几何体是一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥, ∴ 本题选择 C 选项. 点睛:(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以 及直观图中线面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解;(2)若所给几何体的体积 不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.

7. 函数

的大致图象如图,则函数

的图象可能是(

)

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A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】由图象可知 0<a<1 且 0<f(0)<1, 即 ,解②得 ,

∵0<a<1∴由对数函数的单调性可知 a<b<1, 结合①可得 a,b 满足的关系为 0<a<b<1, 由指数函数的图象和性质可知,g(x)=ax-b 的图象是单调递减的,且一定在 y=-1 上方。 本题选择 D 选项. 8. 已知 满足 ) C. D. ,若目标函数 的最大值为 13,

则实数 的值为( A. 【答案】A B.

【解析】作出可行域,把目标函数 变形为 联立 , ,解得 ,A(3,4),

,

可知目标函数过点 A 时,取得最大值, 可知 本题选择 A 选项. ,∴a=±1.

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9. 执行如图所示的程序框图,若输出的值为-5,则判断框中可以填入的条件为(



A. C. 【答案】D

B. D.

【解析】试题分析: 满足条件,

,满足条件, ,满足条件, ,有题意,此时该不满足条件,推出循环,输出

, 满足条件,

,所以判断框内可填入的条件是 考点:循环结构 10. 已知椭圆 以 A. 为直径的圆内切于菱形 B. C. 的上下左右顶点分别为

?,故选 D.

,且左右焦点为 )

,且

,则椭圆的离心率 为( D.

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【答案】D 【解析】菱形 ABCD 一边 AD 所在直线方程为 ,即 bx+ay? ab=0,

由题意,坐标原点 O 到 AD 的距离 整理可得 解得: ∴椭圆的离心率 本题选择 D 选项. . ,即: (舍去), ,



点睛:椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围), 常见有两种方法: ①求出 a,c,代入公式 ;
2 2 2

②只需要根据一个条件得到关于 a,b,c 的齐次式,结合 b =a -c 转化为 a,c 的齐次 式,然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a 转化为关于 e 的方程(不等式),解方程(不等 式)即可得 e(e 的取值范围). 11. 四棱锥 顶点都在体积为 A. 3 B. 的底面 为正方形, ( 底面 ) , ,若该四棱锥的所有
2

的同一球面上,则 C. D.

【答案】B 【解析】试题分析:连结 底面 交于点 ,取 的中点 ,连结 ,则 ,所以

,则 到四棱锥的所有顶点的距离相等,即 为球心,半径为 ,所以球的体积为 ,解得 ,故

选 B.

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考点:球的内接多面体;求的体积和表面积公式. 【方法点晴】本题主要考查了四面体的外接球的体积公式、球内接四棱锥的性质等知识的 应用,同时考查了共定理的运用,解答值需要认真审题,注意空间思维能力的配用,解答 中四棱锥的外接球是以 为球心,半径为 ,利用体积公式列出等式是解答的关

键,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,属于中档试题. 12. 已知函数 值为( A. ) B. C. D. 的一条对称轴为 ,且 ,则 的最小

【答案】C 【解析】 由于函数的对称轴为 解得 a=1.所以 ,且 ,由于 , ,则: , ,

所以函数必须取得最大值和最小值, 所以 或 ,所以 ,

当 k=0 时,最小值为 . 本题选择 C 选项. 第 II 卷 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分。 13. 已知在边长为 2 的等边 【答案】-1 【解析】 中,D 是 BC 中点, ,则 _______.

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14. 在 【答案】70

的二项展开式中, 的项的系数是_______.(用数字作答)

【解析】根据二项式定理, 当 时,即 r=4 时,可得

的通项为 .



即 项的系数为 70. 15. 设 是等比数列 的前 n 项和, , , ,且 对任意正整数 n 恒成

立,则 m 的取值范围是_______. 【答案】

【解析】由题意可得:

,解得:



则:



即: 其中 且

恒成立, , , . ,则不等式 的解集为_______.

据此可得: 的取值范围是 16. 已知函数

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【答案】 【解析】函数 则 x>0 时,f′(x)>0,f(x)递增,且 则 为偶函数,即有 ,则 即解集为 ,即 ,则不等式 ,解得 , ,即为 的导数为 , ,即为 ,

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 在△ABC 中,角 (Ⅰ)求 (Ⅱ)若 的对边分别为 ,且 成等比数列, .

的值; ,求 的值. .

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) 【解析】试题分析: (Ⅰ)由题意结合正弦定理可得

,切化弦可得 ;

(Ⅱ) 由

结合平面向量数量积的定义可得 ,据此可得 .

,结合余弦定理得

试题解析: (Ⅰ)因为 成等比数列,所以

由正弦定理可得

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所以

(Ⅱ)由 由 所以 由余弦定理得 得 即 解得 得

得 … …





18. 如图,几何体 EF﹣ABCD 中,CDEF 为边长为 2 的正方形,ABCD 为直角梯形,AB∥CD,

AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90°.

(Ⅰ)求证:AC⊥FB (Ⅱ)求二面角 E﹣FB﹣C 的大小. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) . 【解析】试题分析: (Ⅰ)由题意结合线面垂直的判定定理可证得 AC⊥平面 FCB,据此有 AC⊥FB. (Ⅱ)建立空间直角坐标系,结合半平面的法向量可得二面角 E﹣FB﹣C 的大小为 . 试题解析: (Ⅰ)证明:由题意得,AD⊥DC,AD⊥DF,且 DC∩DF=D, ∴AD⊥平面 CDEF,∴AD⊥FC,

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∵四边形 CDEF 为正方形.∴DC⊥FC 由 DC∩AD=D ∴FC⊥平面 ABCD,∴FC⊥AC 又∵四边形 ABCD 为直角梯形,

AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4
∴ , ,则有 AC2+BC2=AB2∴AC⊥BC

由 BC∩FC=C,∴AC⊥平面 FCB,∴AC⊥FB. (Ⅱ)解:由(I)知 AD,DC,DE 所在直线相互垂直,故以 D 为原点,以 向分别为 x,y,z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz… 的方

可得 D(0,0,0),F(0,2,2),B(2,4,0),

E(0,0,2),C(0,2,0),A(2,0,0),
由(Ⅰ)知平面 FCB 的法向量为 ∵ , … 则有 即

设平面 EFB 的法向量为 令 则

设二面角 E﹣FB﹣C 的大小为 θ ,有图易知 为锐角

所以二面角 E﹣FB﹣C 的大小为 … 点睛:(1)求解本题要注意两点:一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角,二是 利用方程思想进行向量运算,要认真细心,准确计算. (2)设 m,n 分别为平面 α ,β 的法向量,则二面角 θ 与<m,n>互补或相等.求解时一定要 注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角. 19. 某学校为倡导全体学生为特困学生捐款,举行“一元钱,一片心,诚信用水”活动, 学生在购水处每领取一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。现统计了连续 5 天 的售出和收益情况,如下表:

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售出水量 x(单位:箱) 收益 y(单位:元)

7 165

6 142

6 148

5 125

6 150

(Ⅰ) 若 x 与 y 成线性相关,则某天售出 8 箱水时,预计收益为多少元? (Ⅱ) 期中考试以后,学校决定将诚信用水的收益,以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困 生,规定:特困生考入年级前 200 名,获一等奖学金 500 元;考入年级 201—500 名,获 二等奖学金 300 元;考入年级 501 名以后的特困生将不获得奖学金。甲、乙两名学生获一 等奖学金的概率均为 ,获二等奖学金的概率均为 ,不获得奖学金的概率均为 . ⑴在学生甲获得奖学金条件下,求他获得一等奖学金的概率; ⑵已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的,求甲、乙两名学生所获得奖 学金总金额 X 的分布列及数学期望。

附:





【答案】(Ⅰ)186 元;(Ⅱ)(1) ;(2)分布列见解析,期望为 600.

【解析】试题分析: (Ⅰ)由题意可求得回归方程为 ,据此预测售出 8 箱水时,预计收益为 186 元;

(Ⅱ) (1)由条件概率公式可得他获得一等奖学金的概率是 ; (2) 由题意可得 X 的取值可能为 0,300,500,600,800,1000,据此求得分布列,然后 计算可得数学期望为 600. 试题解析:

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… 当 时,

即某天售出 8 箱水的预计收益是 186 元。 (Ⅱ) ⑴设事件 A 为“学生甲获得奖学金”,事件 金”,

B 为“学生甲获得一等奖学

则即学生甲获得奖学金的条件下,获得一等奖学金的概率为 ⑵

X 的取值可能为 0,300,500,600,800,1000
, ,



, 即 的分布列为:

(元)

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20. 已知点



其中 .

是曲线

上的两点, , 两点在 轴上

的射影分别为点 , ,且 (I)当点 的坐标为 (II)记

时,求直线

的斜率; 的面积为 ,求证: .

的面积为 ,梯形 ;(Ⅱ)见解析.

【答案】(Ⅰ)

【解析】试题分析: (Ⅰ)由题意结合直线的斜率公式可得 ;

(Ⅱ)设直线

的方程为

.联立直线与抛物线的方程,可得



,则 试题解析: (Ⅰ)因为 又 代入 所以 (Ⅱ)法一:设直线 则 由 所以 , 得 的方程为 … , . ,所以 ,得到 ,所以 代入 ,所以 ,得到

.据此即可证得题中的结论

所以

,

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,所以

,所以



因为 法二:设直线 由 所以

,所以 的方程为 .

,所以

.

, 得

,

, 点 到直线 的距离为 , 所以

所以 又 因为 所以 ,所以 ,所以

21. 已知函数 (Ⅰ)当 (Ⅱ)当 时,求 时,讨论 的极值; 的单调性;



(Ⅲ)若对于任意的 值范围. 【答案】(Ⅰ)当 时, 在 和 时,

都有

,求实数 的取

取得极小值为

,无极大值.;(Ⅱ)当 上是增函数,当 时, 在 上是

上是减函数,在

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减函数,当 .

时,





上是减函数,在

上是增函数;(Ⅲ)

【解析】试题分析: (Ⅰ) 当 得极小值为 (Ⅱ) 当 (1)当 (2)当 (3)当 时, ,定义域为 ,无极大值. 时,函数的定义域为 时, 时, 时, 在 在 在 和 ,且 上是减函数,在 .分类讨论有: 上是增函数; , .据此可得当 时, 取

上是减函数; 和 时, 对任意 上是减函数,在 在 上是增函数

(Ⅲ) 由(Ⅱ)知,当

上是减函数.原问题等价于 恒成立,分离参数有 . 对任意

恒成立.据此可得实数 的取值范围为 试题解析: (Ⅰ)当 的导函数 当 当 ∴当 时, 时, 时, , , 在 在 时, ,定义域为 . 上是减函数; 上是增函数. ,

取得极小值为

,无极大值. 的定义域为 , 的导函数为

(Ⅱ)当

时,



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由 (1)当 (2)当 (3)当



, 时, 时, 时, 在 在 在

, 和

. 上是减函数,在 上是增函数;

上是减函数; 和 时, 上是减函数,在 在 . 都有 对任意 恒成立, , 上是增函数

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 ∴ ∵对于任意的 ∴ ∴ 当 时, 对任意

上是减函数.

恒成立. ,∴ . .

∴实数 的取值范围为

请考生在第(22)(23)(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22. 选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知 AP 是⊙O 的切线,P 为切点,AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于 B,C 两点,圆 心 O 在∠PAC 的内部,点 M 是 BC 的中点.

(I)证明:A,P,O,M 四点共圆; (II)求∠OAM+∠APM 的大小. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)90°. 【解析】试题分析:(1)证明四点共圆,一般利用对角互补进行证明:根据相切及垂径定 理得 OP⊥AP 及 OM⊥BC,从而得∠OPA+∠OMA=180°. (2)根据四点共圆得同弦所对角 相等:∠OAM=∠OPM,因此

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∠OPM+∠APM=90°,

试题解析:(1)证明 连接 OP,OM,因为 AP 与⊙O 相切于点 P,所以 OP⊥AP. 因为 M 是⊙O 的弦 BC 的中点,所以 OM⊥BC, 于是∠OPA+∠OMA=180°. 由圆心 O 在∠PAC 的内部,可知四边形 APOM 的对角互补,所以 A、P、O、M 四点共圆. (2)解 由(1)得 A、P、O、M 四点共圆, 所以∠OAM=∠OPM, 由(1)得 OP⊥AP,因为圆心 O 在∠PAC 的内部, 所以∠OPM+∠APM=90°, 所以∠OAM+∠APM=90°. 考点:四点共圆 23. 选修 4-4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系 中,曲线 .直线 经过点 ,且倾斜角为 .以 为极

点,以 轴正半轴为极轴,建立极坐标系. (I)写出曲线 的极坐标方程与直线 的参数方程; (II)若直线 与曲线 相交于 两点,且 ,求实数 的值.

【答案】(Ⅰ)

(t 为参数);(Ⅱ)





.

【解析】试题分析:(1)利用 及得到直线的参数方程;(2)设 中,得到 的方程,即可得到

,即可把圆的直角坐标方程化为极坐标方程,以 两点对应的参数分别为 ,将直线的参数方程代入圆

,即可求解实数 的值. ,即 ,即 ,

试题解析:(1)曲线 的普通方程为: 即曲线 的极坐标方程为

直线 的参数方程为

( 为参数)

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(2)设 , 两点对应的参数分别为 , ,将直线的参数方程代入 得 由题意得 ,得 ,所以 , 或

中,

考点:直角坐标方程与极坐标方程的互化;参数方程的应用. 24. 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 (I)当 时,求不等式 . 的解集;

(II)若不等式 【答案】(Ⅰ)

对任意实数 恒成立,求 的取值范围. ;(Ⅱ) .

【解析】试题分析:(Ⅰ)分三种情况讨论,分别求解不等式组,然后求并集即可得 不等式的解集;(Ⅱ)根据绝对值不等式的性质可得,不等式 成立,等价于 试题解析:(Ⅰ)当 ①当 ②当 ③当 时,得 时,得 时,得 成立,所以 . , ,则 , . , ,解不等式即可求 的取值范围. 时, ,所以 即 ; ,即 . ,所以 ; , 对任意实数 恒

故不等式 (Ⅱ)因为 由题意得 解得

的解集为

故 的取值范围是

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