2014年秋《全优课堂》高中数学(配人教A版,选修2-1)同步课件:空间向量与立体几何3.2.2_图文


1.理解直线与平面所成角的概念. 2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的求法问题. 3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲. 4.能灵活运用向量方法求各种空间距离.

角的分类

向量求法 范围 设两异面直线所成的角为 θ,它们的方向 异面直线 |cos〈a,b〉| ? π? 向量为 a,b,则 cos θ=____________ ?0, ? |a· b| 2? 所成的角 ? |a||b| =____________ 设直线 l 与平面 α 所成的角为 θ,l 的方向 直线与 ? π? 向量为 a,平面 α 的法向量为 n, 平面所 ?0, ? |a· n| 2? ? 〈a,n〉|= 成的角 则 sin θ=|cos ____________ |a||n| 设二面角 α-l-β 的平面角为 θ,平面 α, β 的法向量为 n1,n2, ? ? ?0,π? 二面角 | n · n | ? ? 〈n1,n2〉|= 1 2 , 则|cos θ|=|cos _____________ |n1||n2| θ=〈n1,n2〉或 π-〈n1,n2〉

→ |AB|

?→ ? ?BA· n? ? ? n ? ?

自主探究 1.直线与平面所夹的角不是锐角就是直角,对吗?

【答案】不对,有可能是 0 度角.

2.如何求一个点到平面的距离?线面距离?面面距离呢?

【答案】要求一个点到平面的距离,可以分以下几步完成: (1)求出该平面的一个法向量;(2)找出从该点出发到平面的任 一条斜线段对应的向量;(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的 n 绝对值再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离.由于 =n0 |n | 可以视为平面的单位法向量, 所以点到平面的距离实质就是平面的 单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝对值, 即 d= → |AB· n0|. 线面距离、 面面距离均可转化为点面距离用求点面距离的方法 进行求解.

预习测评 1.若平面 α 的法向量为 μ,直线 l 的方向向量为 ν,直线 l 与 平面 α 的夹角为 θ,则下列关系式成立的是( ) μ·ν |μ·ν| A.cos θ= B.cos θ= |μ||ν| |μ||ν| μ·ν |μ·ν| C.sin θ= D.sin θ= |μ||ν| |μ||ν|

【答案】D 【解析】若直线与平面所成的角为 θ,直线与该平面的法向量 所成的角为 β,则 θ=90° -β.

2.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 BC1 与平面 A1BD 所成 角的余弦值是( ) 2 2 3 3 A. B. C. D. 4 3 3 2

【答案】C

3.(2013 年北京)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为对 角线 BD1 的三等分点,P 到各顶点的距离的不同取值有( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个

4.正三棱柱 ABC-A1B1C1 各棱长均为 1,M 为 CC1 的中点, 则点 B1 到截面 A1BM 的距离为( ) 2 1 3 A. 2 B. C. D. 2 2 2

【答案】B 【解析】除了向量法以外,可借助等积法.

要点阐释 1.用坐标法求空间中角的具体方法 (1)两异面直线所成的角 |a· b| 设直线 a,b 的方向向量为 a,b,其夹角为 θ,则 cos θ= . |a||b| (2)直线与平面所成的角 设直线 l 的方向向量为 a,平面的法向量为 u,直线与平面所 |a· u| 成的角为 θ, a 与 u 所成的角为 φ, 则有 sin θ=|cos φ|= 或 cos θ |a||u| =sin φ.

(3)二面角 ①若 AB,CD 分别是二面角 α-l-β 的两个面内与棱 l 垂直的 → → 异面直线,则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角,如图(1). ②设 n1,n2 是二面角 α-l-β 的两个面 α,β 的法向量,则向 量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)就是二面角的大小,如图(2).

2.利用向量方法求空间距离的主要方法如下: (1)两点间的距离:转化为求向量模的问题. (2)点到平面的距离. 如图所示,BO⊥平面 α,垂足为 O,则点 B 到平面 α 的距离 就是线段 BO 的长度,若 AB 是平面 α 的任意一条斜线段,则在 Rt △BOA 中, → → | BA · BO| → → |BO|=|BA|cos∠ABO= . → |BO| 如果令平面 α 的法向量为 n,考虑到法 向量的方向, 可以得到 B 点到平面 α 的距离 → | AB · n| → 为|BO|= |n| . (3)线面距离、面面距离均可转化为点面距离,用求点面距离 的方法进行求解.

典例剖析 题型一 利用空间向量求空间角 【例 1】 正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 a, 侧棱长为 2 a,求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角. 思路点拨: 建立适当的直角坐标系, 求线面的夹角转化为求线 与线的夹角.

【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,0,0), B(0, a,0), A1(0,0, ? ? ? ? a 3 a ? ? 2a),C1?- a, , 2a?,取 A1B1 中点 M,则 M?0,2, 2a?, 2 2 ? ? ? ? ? → 3 → ? → ? 连结 AM、 MC1, 有MC1=?- a,0,0? , AB = (0 , a, 0) , AA 1=(0,0, ? 2 ? ? 2a).

→ → → → 由于MC1· AB=0,MC1· AA1=0,∴MC1⊥面 ABB1A1. ∴∠C1AM 是 AC1 与侧面 A1B 所成的角 θ. ? ? a 3 a → ? → ? ? ? ∵AC1=?- a, , 2a?,AM=?0, , 2a?, 2 2 2 ? ? ? ? 2 2 a 9a → → 2 ∴AC1· AM=0+ +2a = . 4 4 2 2 2 3 a a a 3 → → 2 2 而|AC1|= + +2a = 3a,|AM|= +2a = a. 4 4 4 2 2 9a 4 3 → → ∴cos〈AC1,AM〉= = . 3a 2 3a× 2 → → ∴〈AC1,AM〉=30° ,即 AC1 与侧面 AB1 所成的角为 30° .

【例 2】 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PB⊥底面 ABCD,CD ⊥PD,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD= PB=3.点 E 在棱 PA 上,且 PE=2EA.求二面角 A-BE-D 的余弦 值.

思路点拨: 建立适当的直角坐标系, 求二面角的余弦值转化为 求两直线的方向向量的余弦值.

【解析】以 B 为原点,以 BC、BA、BP 分别为 x,y,z 轴建 立如图所示的空间直角坐标系. 设平面 EBD 的一个法向量为 n1=(x,y,1), → → 因为BE=(0,2,1),BD=(3,3,0),

? 1 → ? ?x=2, ? ?n1· BE=0, ?2y+1=0, 由? 得? 所以? ? → ?3x+3y=0, ? ?y=-1, BD=0 ?n1· 2 ? ?1 1 ? 于是 n1=? ,- ,1?. 2 ? ?2 又因为平面 ABE 的一个法向量为 n2=(1,0,0), 1 6 所以 cos〈n1,n2〉= = . 6 6 6 所以二面角 A-BE-D 的余弦值为 . 6

1.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90° ,AB=AD=PD=2,CD=4, E 是 PB 的中点,以 DA,DC,DP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立直 角坐标系. (1)求异面直线 AE 与 CP 所成角的余弦值; (2)若点 F∈平面 ABCD,且 FE⊥面 PBC,求 F 点坐标; (3)求直线 AB 与平面 PBC 所成的角的正弦值.

【解析】 (1)由题意得 A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),C(0,4,0), ∵E 为 PB 中点,∴E(1,1,1), → → ∴AE=(-1,1,1),CP=(0,-4,2), → → -2 AE· CP 15 → → ∴cos〈AE,CP〉= = =- . 15 → → 3×2 5 |AE||CP| 15 ∴异面直线 AE 与 CP 所成角的余弦值为 . 15

→ (2)设 F(x,y,0),∴EF=(x-1,y-1,-1),

? 1 → → ? ?x=2, ? EF · PC = 0 , ?1 1 ? → ∵EF⊥面 PBC, ∴? ∴? ∴F? , ,0?. 1 ?2 2 ? → → ? ? EF · BC = 0. ? y= . ? 2 ? 1 1 → ? → (3) 由 (2) 知 EF = ?-2,-2,-1? 是平面 PBC 的法向量 AB = ? ? → → (0,2,0), 设直线 AB 与平面 PBC 所成角为 α, 则 sin α=|cos 〈AB, EF〉
→ → ? ? -1 ? ? AB · EF ? ? 6 ? ? | =? = 6 = . → → ? ?2× ? 6 |EF|? ? ?|AB|· 2?

6 ∴直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 . 6

题型二 利用空间向量求空间距离 【例 3】 如图, 在平行四边形 ABCD 中, AB=AC=1, ∠ACD =90° ,将它沿对角线 AC 折起,使 AB 与 CD 成 60° 角,求 B,D 两点间的距离.

思路点拨:两点间的距离转化为向量模的运算.

【解析】 → → → → ∵∠ACD=90° ,∴AC· CD=0,同理AC· BA=0. → → ∵AB 与 CD 成 60° 角,∴〈BA,CD〉=60° 或 120° . → → → → 又BD=BA+AC+CD, → → →2 → 2 → 2 → → → → → → ∴BD· BD=|BA| +|AC| +|CD| +2BA· AC+2BA· CD+2AC· CD → → ? ? 4 ? 〈 BA ,CD〉=60° ?, → → =3+2×1×1×cos 〈BA, CD〉 =? → → ? ?, ?2 ?〈BA,CD〉=120° → ∴|BD|=2 或 2,即 B,D 两点间的距离为 2 或 2.

【例 4】 已知正方形 ABCD 的边长为 4,E,F 分别是 AB, AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC=2,求点 B 到平面 EFG 的 距离. 思路点拨: 建立适当的坐标系,点到面的距离转化为两点间距离.

【解析】 解法一:由题设可知 CG,CB,CD 两两垂直,由此可建立空间直角坐标系,用向量法求解.如图 所示,以 C 为原点,线段 CB,CD,CG 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 Cxyz. 由题意知 C(0,0,0), A(4,4,0), B(4,0,0), D(0,4,0), E(4,2,0), → → → → F(2,4,0), G(0,0, 2).BE=(0,2,0), BF=(-2,4,0), BG=(-4,0,2), GE → =(4,2,-2),EF=(-2,2,0).

→ 设向量BM⊥平面 GEF,垂足为 M,则 M,G,E,F 四点共面, → → → → → 故存在实数 x,y,z,使BM=xBE+yBF+zBG,即BM=x(0,2,0)+ y(-2,4,0)+z(-4,0,2)=(-2y-4z,2x+4y,2z). → → → → → → 由 BM⊥平面 GFF,得BM⊥GE,BM⊥EF,于是BM· GE=0, → → BM· EF=0, ?4,2,-2?=0, ??-2y-4z,2x+4y,2z?· ? ?-2,2,0?=0, 即??-2y-4z,2x+4y,2z?· ?x+y+z=1, ?

? ?x=15, ? 11 ?x-5z=0, ? ? 7 x + 3 y + 2 z = 0 , ? ? y =- , 即 解得 11 ? ?x+y+z=1, ? ? 3 z= . ? ? 11 ?2 2 6? → ∴BM=(-2y-4z,2x+4y,2z)=?11,11,11?. ? ? ? 2 ?2 ? 2 ?2 ? 6 ?2 2 11 → ? ? +? ? +? ? = ∴|BM|= . 11 ?11? ?11? ?11? 2 11 即点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11

→ 解法二:利用BE在平面 EFG 的一个法向量 n 上的射影求点 B ?→ n ? ?. 到平面 EFG 的距离,即 d=?BE· | n | ? ? → → 建立如解法一中图所示的坐标系, 同解法一得BE=(0,2,0), GE → =(4,2,-2),EF=(-2,2,0). 设平面 GEF 的一个法向量为 n=(x,y,z),则有 → ? ? ?n· GE=0, ?2x+y-z=0, ? 即? ? → ?-x+y=0. ? EF=0, ?n· 令 x=1,则 y=1,z=3,∴n=(1,1,3). 点 B 到平面 GEF 的距离为 ?→ n ? ? ?0,2,0?· ?1,1,3?? ? ? 2 11 ? ? d= BE· ?= 11 . |n|?=? ? 11 ? ?

方法点评: 用法向量法求点到平面的距离. 垂线段常常不必作 出来, 只需设出垂线段对应的向量或平面的法向量, 利用向量垂直 的条件转化为解方程组求其法向量. 利用法向量法求点到平面的距离的方法如下: 设 n 是平面 α 的法向量,AB 是平面 α 的一条斜线,则点 B 到 → |AB· n| 平面 α 的距离为 ,如图所示. |n | 面面距离可转化为点面距离求解.

2. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2, E, F, G 分别是 C1C, D1A1,AB 的中点,求点 A 到平面 EFG 的距离.

【解析】如图,建立空间直角坐标系,则 A(2,0,0),E(0,2,1), → → → F(1,0,2),G(2,1,0),∴EF=(1,-2,1),EG=(2,-1,-1),GA= (0,-1,0),设 n=(x,y,z)是平面 EFG 的一个法向量, → ? ?n· EF=0, 则? → ? EG=0, ?n·
? ?x-2y+z=0, ∴? ? ?2x-y-z=0,

∴x=y=z,可取 n=(1,1,1), → |GA· n| 1 3 ∴d= = = , |n | 3 3 即点 A 到平面 EFG 的距离为 3 . 3

误区解密 【例 5】 如图,正三角形 ABC 的边长为 2a,CD 是 AB 边上 的高,E,F 分别为 AC 和 BC 边上的中点,现将△ABC 沿 CD 翻 折成直二面角 A - DC - B ,则二面角 B - AC - D 的余弦值为 ________.

20 错解:- . 7 错因分析: 分清二面角的两个半平面的法向量的夹角是等于二 面角,还是它的补角.

正解:如图,建立空间直角坐标系 Dxyz,则 D(0,0,0),A(0,0, → → a),B(a,0,0),C(0, 3a,0),∴AB=(a,0,-a),AC=(0, 3a,- → a),DB=(a,0,0). → 由题设知,DB为平面 ACD 的一个法向量.

→ 设平面 ACB 的一个法向量为 n=(x, y,z),而AB=(a,0,-a), → ? ? n · AB =xa-az=0, → BC=(-a, 3a,0),则? → ? BC=-ax+ 3ay=0. ?n· 3 令 x=1,得 z=1,y= , 3 ? 3 ? ? ∴平面 ACB 的一个法向量为 n=?1, ,1? ?. 3 ? ? a 21 → → ∴n· DB=a.∴cos〈n,DB〉= = . 7 1 a· 1+ +1 3 21 ∴二面角 B-AC-D 的余弦值为 . 7

课堂总结 1.建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中 所涉及的点、线、面,把立体几何问题转化为向量问题. 2.通过向量运算,研究点、直线、平面之间的关系(夹角、距 离等问题). 3.根据运算结果的几何意义来解释相关问题.


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