2019-2020学年高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质学案苏教版必修4.doc


2019-2020 学年高中数学第一章三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 学案苏教版必修 4
典题精讲 例 1 求函数 y=

3 sin x ? 1 的值域. sin x ? 2

思路分析:此类题型可转化为分式函数值域的求法,即分离常数法,或通过反解 sinx 法,利 用 sinx 的值域确定原函数的值域. 解:由 y=

3 sin x ? 1 2 y ?1 ,得 sinx= . sin x ? 2 3? y 4 2 y ?1 |≤1.解得-2≤y≤ . 3 3? y

∵|sinx|≤1,∴|

∴ymax=

4 ,此时 sinx=1; 3 4 ]. 3

ymin=-2,此时 sinx=-1. ∴函数的值域为[-2,

绿色通道:本题的解法对形如“求 y= 值、最小值)”问题 具有一般性. 变式训练

a sin x ? b a cos x ? b 或 y= 的函数的值域(或最大 c sin x ? d c cos x ? d

(2006 安徽高考卷,理 8) 设 a>0,对于函数 f(x)= ( ) A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值

sin x ? a (0<x<π ),下列结论正确的是 sin x

思 路 解 析 : 令 t=sinx,t∈(0,1 ] , 则 函 数 f(x)= y=1+

sin x ? a (0<x<π ) 的 值 域 为 函 数 sin x

a a ,t∈(0,1]的值域,又 a>0,所以 y=1+ ,t∈(0,1]是一个减函数.故选 B. t t

答案:B 例 2 求下列函数的周期: (1)y=cos2x;(2)y=-2cos(-

1 x-1); 2

(3)y=|sin2x|;(4)y=cos3x+sin2x. 思路分析:(1)复合函数,可以通过变量替换归结为基本三角函数去处理;(2)先用诱导公式 将 ω 转化为正值,再用 T= 倍数法.

2? 来求;(3)可利用绝对值的意义及图象法求;(4)可用最小公 ?

解:(1)把 2x 看成一个新的变量 u,那么 cosu 的最小正周期是 2π ,这就是说,当 u 增加到 u+2π 且必须增加到 u+2π 时,函数 cosu 的值重复出现,而 u+2π =2x+2π =2(x+π ),所以 当自变量 x 增加到 x+π 且必须增加到 x+π 时,函数值重复出现,因此,y=cos2x 的周期为 π.

1 1 2? x-1)=-2cos( x+1),T= =4π . 1 2 2 2 2? ? (3)因为 y=|sinx|的周期是 =π ,故 y=|sin2x|的周期是 . 2 2 2? 2? 4? 6? (4)y1=cos3x 的周期 T1= ;y2=sin2x 的周期 T2= =π ,因为 T1= ,T2= 且4与6的 3 2 6 6 12? 最小公倍的数是 12,所以 T= =2π . 6
(2)y=-2cos(绿色通道:周期的求法除应用定义及有关结论公式外,还可以作出图象,由图象直观判断 求出周期,也是一种重要方法,另外最小公倍数法也要灵活掌握. 变式训练 (2006 湖南高考卷,文 8) 设点 P 是函数 f(x)=sinω x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到

? ,则 f(x)的最小正周期是( ) 4 ? ? A.2π B.π C. D. 2 4 T T ? ? 思路解析:根据图象,知对称中心到对称轴的最短距离为 ,所以 = ,得 T=4· =π . 4 4 4 4
图象 C 的对称轴上的距离的最小值为 所以最小正周期为 π . 答案:B 例 3 若 α 、β 为第三象限角,且 α >β ,则_______________. A.cosα >cosβ B.cosα <cosβ C.cosα =cosβ D.以上都不对 思路解析:取特殊值,对选项进行排除,可知选 D. 答案:D 黑色陷阱:角的概念不清,误将象限角看成区间(π , 象限是增函数,导致选 A. 变式训练 在(0,2π )内,使 sinx>cosx 成立的 x 的取值范围为(

3? )中的角,把 y=cosx 认为在第三 2

)

? ? 5? , )∪(π , ) 4 4 2 ? 5? C.( , ) 4 4
A.(

B.( D.(

? 5? 3? ,π )∪( , ) 4 2 4

? ,π ) 4

思路解析:此题可以用图象法、 特殊值法、 或者常规计算法等多种方法进行求解.利用单位圆 图象解答时,以直线 y=x 为界,角 α 的终边在该直线上方,则有 sinα >cosα ;落在该直 线下方,则有 sinα <cosα ;落在 y=x 上,则有 sinα =cosα .还可在同一坐标系中画出正、 余弦图象进行分析比较. 答案:C

例4

(2005 全国高考巻,理 17) 设函数 f(x)=sin(2x+φ )(-π <φ <0),y=f(x)图象的一条

对称轴是直线 x=

? . 8

(1)求 φ ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间; (3)画出函数 y=f(x)在区间[0,π ]上的图象. 思路分析:(1)可利用对称轴来解决;(2)要注意“整体性”原则;(3)画图时用“五点法”.

? 是函数 y=f(x)的图象的对称轴, 8 ? ∴sin(2× +φ )=±1. 8 ? ? ∴ +φ =kπ + ,k∈Z. 4 2 3? 又∵-π <φ <0,∴φ =. 4 3? 3? (2)由(1)知 φ =,因此 y=sin(2x).由题意,得 4 4 ? 3? ? 2kπ ? ≤2x≤2kπ + ,k∈Z. 2 4 2 3? ? 5? ∴函数 y=sin(2x)的单调增区间为[kπ + ,kπ + ] ,k∈Z. 4 8 8 3? (3)由 y=sin(2x),知 4 ? 3? 5? 7? x 0 8 8 8 8
解:(1)∵x= y

π

?

2 2

-1

0

1

0

?

2 2

故函数 y=f(x)在区间[0,π ]上的图象如图 1-3-2 所示.

图 1-3-2 绿色通道:高考侧重基础知识、 基本技能的考查, 而三角函数是高考考查的重点内容之一, 三角函数的图象与性质经常在高考题中出现, 熟练掌握三角函数的图象与性质是解决此类问 题 的关键. 变式训练 如图 1-3-3,已知正弦函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0)的一个周期的图象,则函数的解析式为 _________________________.

图 1-3-3 思路解析:依题意,知 当 x= ?

5? 7? 时,y=0;当 x= ? 时,y=A;当 x=0 时,y= ? 3 . 2 4

2 5? ? ? ?? ( ? 2 ) ? ? ? 0, ?? ? 3 , ? ? 7? ? 5? ? ? ) ? ? ? , 解之得 ?? ? , ∴ ?? ( ? 4 2 3 ? ? ? A sin ? ? ? 3. ? A ? 2. ? ? ? ?
2 5? x+ ). 3 3 2 5? 答案:y=2sin( x+ ) 3 3
故 y=2sin(

? 1 )的图象,只需将 y=sin x 的图象上( 2 3 ? A.每个 x 的值扩大 4 倍,y 值不变,再向右平移 个单位 3 1 ? B.每个 x 的值缩小 ,y 值不变,再向左平移 个单位 4 3 ? C.每个 x 的值扩大 4 倍,y 值不变,再向左平移 个单位 6 1 ? D.每个 x 的值缩小 ,y 值不变,再向右平移 个单位 4 6 ? 1 1 ? ? 思路解析: x→2x,先缩小 ,又∵- <0,∴右移 3 = . 2 4 3 2 6
例 5 要得到函数 y=sin(2x答案:D 黑色陷阱:y=sin

)

1 1 x 变换成 y=sin2x 是把每个 x 值缩小 ,错误地认为是扩大 4 倍,这 2 4

样就错选 A 或 C;或者把 y=sin2x 变换成 y=sin(2x右平移

? ? ,错误地认为是平移 ,这样导致错选 A 或 B;也可能在平移的时候搞错方向. 6 3

? ? ),即变为 y=sin2(x- ),则应当向 3 6

变式训练 (2006 江 苏 高 考 卷 , 4) 为 了 得 到 函 数 y=2sin( y=2sinx,x∈R 的图象上所有的点( )

x ? + ) , x∈R 的 图 象 , 只 需 把 函 数 3 6

? 6 ? B.向右平移 6 ? C.向左平移 6 ? D.向右平移 6
A.向左平移

1 倍(纵坐标不变) 3 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 3
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)

思路解析:先将 y=2sinx,x∈R 的图象向左平移

? ? 个单位长度, 得到函数 y=2sin(x+ ),x∈R 6 6

的 图象 ,再把 所得 图象上 各点 的横坐 标伸长 到原 来的 3 倍 ( 纵坐标 不变 ), 得 到函数 y=2sin(

x ? + ),x∈R 的图象. 3 6

答案:C 例 6 图 1-3-4 是正弦函数 y1=Asin(ω x+φ )的一个周期的图象.

图 1-3-4 (1)写出 y1 的解析式; (2)若 y2 与 y1 的图象关于直线 x=2 对称,写出 y2 的解析式; (3)指出 y2 的周期、频率、振幅和初相. 思路分析:本题是一道识图题,解题的关键是找到关键点确定 φ ,可通过代特殊值求解. 解:(1)由图易知 A=2,T=7-(-1)=8,ω = ∴y1=2sin( 2sin(-

? +φ )=0. 4 ? ? ? ∴φ = .∴y1=2sin( x+ ). 4 4 4

? x+φ ),将点(-1,0)代入,得 4

2? 2? ? ? = . T 8 4

(2)作出与 y1 的图象关于直线 x=2 对称的图象, 可以看出 y2 的图象相当于将 y1 的图象向右平 移 2 个单位得到的. ∴y2=2sin[

? ? ? ? (x-2)+ ]=2sin( x- ). 4 4 4 4

(3)从图象上可以看出,该函数的周期 T=8,振幅 A=2, 初相 φ =-

? 1 1 ,频率 f= ? . T 8 4

绿色通道:这是一道识图题,所谓识图,就是通过所给的图象找到函数的特征及解题的信 息,实际上是对观察能力和信息加工能力的考查.就三角函数的图象来说,应能从图象上发 现函数的最值、周期、对称性、对应的函数值等. 变式训练 (2006 四川高考卷,理 5) 下列函数中,图象的一部分如图 1-3-5 所示的是( )

图 1-3-5

? ) 6 ? C.y=cos(4x- ) 3
A.y=sin(x+ 思路解析:从图象看出, 向左平移了

? ? ? ? ? ? 个单位得到, 即 y=sin2(x+ )=sin(2x+ )=cos( ? +2x+ )=cos(2x- ). 2 6 6 3 3 6

1 ? ? ? T= + = ,所以函数的最小正周期为 π ,函数应为 y=sin2x 4 12 6 4

? ) 6 ? D.y=cos(2x- ) 6
B.y=sin(2x-

答案:D 例 7 初速度为 v0,发射角为 θ ,则炮弹上升的高度 y 与 v0 之间的关系式(t 是飞行时间) 为( ) A.y=|v0t| B.y=|v0|·sinθ ·t C.y=|v0|·sinθ ·t-

1 2 |g|·t 2

D.y=|v0|·cosθ ·t

思路解析:本题是与物理知识相结合的题目,如图 1-3-6 所示,由速度的分解可知炮弹上升 的速度大小为|v0|·sinθ .

图 1-3-6 故炮弹上升的高度为 y=|v0|·sinθ ·t-

1 2 |g|t . 2

答案:C 绿色通道:跨学科的题目要注意知识间的内在联系,找出问题 的本质,转化为数学问题 . 同时也要注意物理里面公式的正确使用,以及对问题 的准确分析. 变式训练 在 200 米高山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°、60°,则塔高为( )

400 米 3 200 3米 C. 3
A.

B.

400 3米 3 200 D. 米 3 400 米. 3

思路解析:如图 1-3-7,设塔高为 h 米,则 200tan30°=(200-h)tan60°,∴h=

图 1-3-7

答案:A 例 8 某港口水深 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,下面是时间与水深数据: t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0

图 1-3-8 据上述数据描成的曲线如图 1-3-8 所示,经拟合,该曲线可近似地看成正弦函数 y=Asinω t+B 的图象. (1)试根据数据表和曲线,求出 y=Asinω t+B 的表达式; (2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于 4.5 米是安全的,如果某船的吃水度 (船底与水面的距离)为 7 米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离 港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略离港所用的时间)? 思路分析:(1)从拟合曲线, 可知函数 y=Asinω t+B 的周期; 由 t=0 时的函数值和 t=3 时函数 取得最大值,可求得 ω ,A,B 的值,即得函数的表达式. (2)根据(1)中求得的函数表达式,求出函数值不小于 4.5+7=11.5(米)的时段即可. 解:(1)从拟合的曲线可知函数 y=Asinω t+B 在一个周期内水深由最大变为最小需要 9-3=6 个小时,此为半个周期,所以函数的最小正周期为 12 小时,因此 又当 t=0 时,y=10;当 t=3 时,ymax=13,所以 B=10,A=13-10=3. 于是所求函数解析式为 y=3sin

2? ? =12,ω = . ? 6

? t+10. 6

(2)由于船的吃水深度为 7 米,船底与海底的距离不少于 4.5 米,故在船舶航行时水深 y≥7+4.5=11.5(米).

? ? 1 t+10≥11.5,可得 sin t≥ . 2 6 6 ? ? 5? ∴2kπ + ≤ t≤2kπ + (k∈Z). 6 6 6
令 y=3sin ∴12k+1≤t≤12k+5(k∈Z). 取 k=0,则 1≤t≤5;取 k=1,则 13≤t≤17. ∴该船在凌晨 1 点至 5 点,下午 1 点至 5 点均可以安全进港. 而取 k=2 时,则 25≤t≤29(不合题意). 要在一天之内在港口停留的时间最长,就应从凌晨 1 点(1 点到 5 点都可以)进港,而下午 5 点(即 13 点到 17 点之间)前离港,在港内停留的时间最长为 16 小时. 绿色通道:解答类似的数学应用题, 首先要保持自信的心态, 不要被复杂的问题 表述吓倒, 要耐心地一点点地得到题中的有用信息,然后动脑筋解决问题 . 变式训练 某动物种群数量 1 月 1 日低至 700,7 月 1 日高至 900,其总量在此两值之间依正弦曲线变 化. (1)画出种群数量关于时间变化的图象; (2)求出种群数量作为时间 t 的函数表达式(其中 t 以年初以来的月为计量单位).

思路分析:根据给出的数据要计算出要求函数的周期、振幅等数据. 解:(1)种群数量关于时间变化的图象如图 1-3-9 所示. (2)设表示该曲线的三角函数为 y=Asin(ω t+φ )+k,

图 1-3-9 由已知平均数量为 800,最高数量与最低数量之差为 200,数量变化周期为 12 个月, 得振幅 A= 即ω=

2? ? = ,k=800. 12 6

200 =100, 2

又 7 月 1 日种群数量达到最高,

? ? ×7+φ = . 6 2 2? ∴φ =. 3
∴ ∴种群数量关于时间 t 的函数表达式为 y=100sin

? (t-4)+800. 6

问题 探究 问题 很多三角函数都是周期函数,你可有几种方法来确定三角函数的周期呢? 导思:周期的求法除可以应用定义及有关结论公式外,还可以作出图象,由图象直观判 断求出周期,也是一种重要方法,当然最小公倍数法也要灵活掌握. 探究:(1)定义法:如 y=2sin( ∴y=2sin(

x ? - )的周期是 4π . 2 6

x ? 1 ? x ? - +2π )=2sin[ (x+4π )- ]=2sin( - ), 2 6 2 2 6 6

(2)公式法:一般地,函数 y=Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ )(其中 A、ω 、φ 为常数, A≠0,ω >0)的周期 T= 周期 T=

? . ?

2? ,函数 y=Atan(ω x+φ )(其中 A、ω 、φ 为常数,A≠0,ω >0)的 ?

如 y=2sin(

? ? ,y=|tan2x|的周期为 . 2 2 x x x x (4)最小公倍数法:如函数 y=sin +cos ,因为 y=sin 周期为 4π ,y=cos 周期为 6π , 2 3 2 3
(3)图象法:如 y=|sin2x|的周期为

x ? ? ? 2? - )的周期 T= =4π ,y=-2tan(3x+ )的周期 T= . 1 2 6 6 3 2

故 y=sin

x x +cos 的周期为 12π . 2 3


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