人教版(A)必修一第一章函数单调性2_图文


冷水江一中 孙祝梧

观察下列各个函数的图象,并说说它们 分别反映了相应函数的哪些变化规律:

1、观察这三个图象,你能说出图象的特征吗? 2、随x的增大,y的值有什么变化?

画出下列函数的图象,观察其变化规律:

f(x) = x

1、从左至右图象上升还是下降 上升 ____?

∞,+∞) 上,随着x的增大,f(x)的值随 2、在区间 (________ 增大 着 ______ .

画出下列函数的图象,观察其变化规律:

f(x) = x2

∞,0] 1 、在区间 (____ 上, f(x) 的值随着 x 的增大而 ______ 减小 . 2、 在区间 (0,+∞) _____ 上,f(x)的值随着x的增大而 增大 . _____

在区间 ? 0, ? ? ? 上任取两个x1 , x2,得到f ( x1 ) ? x
2 f ( x2 ) ? x2 ,当x1 ? x2时,有f ( x1 ) ? f ( x2 ),这时我

2 1

们就说函数f ( x) ? x 在区间 ? 0, ? ? ? 上是增函数.
2

一、函数单调性定义 1.增函数

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 , x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x) 在区间D上是增函数.

2.减函数

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1, x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在 区间D上是减函数 .

注意:
1 、函数的单调性是在定义域内的某个区间上 的性质,是函数的局部性质; 2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1, x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是增函数和减函数.

二.函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间D上是增 函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在 这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y=f(x)的单调区间.

y
o y x x

y

在(-∞,+∞) 是减函数 在(-∞,0) 和(0,+∞) 是减函数
b ? ? - ?, - ? 在? 2a ? ?

在(o y x x

∞,+∞)是
增函数
在(-∞,0) 和(0,+∞) 是增函数
? b ? ? , ?? ? 在 ? 2a ? ?

o y

o
y

o

x

增函数 ? b ? ? , ?? ? 在 ? 2a ? ? 减函数

o

x

增函数 b ? ? - ? 在? - ?, 2a ? ? 减函数

例1、下图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在 每个区间上,它是增函数还是减函数?

解:函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5] 其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)是减函数, 在区间[-2,1), [3,5] 上是增函数。

例2、证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
证明: 设x1,x2是R上的任意两个实数,且x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=(3x1+2)- (3x2+2) =3( x1-x2 ) 由x1<x2,得x1-x2<0 于是f(x1)-f(x2)<0 即f(x1)<f(x2) 所以,函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
---定号 --下结论 ---取值 ---作差 ---变形

我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压 强p将增大。试用函数的单调性证明之。

k 例3、物理学中的玻意耳定律 p ? V (k为正常数 ) 告诉

证明:根据单调性的定义,设V1,V2是定义域 取值 (0,+∞)上的任意两个实数,且V1<V2,则 作差 V2 ? V1 k k p (V1 ) ? p (V2 ) ? ? ? k 变形 V1 V2 V1V2 由V1,V2∈ (0,+∞)且V1<V2,得V1V2>0, V2- V1 >0
又k>0,于是 p(V1 ) ? p(V2 ) ? 0
定号



也就是说,当体积V减少时,压强p将增大.

k 所以,函数 p ? V , V ? (0,??)是减函数. 结论

p (V2 ) ? p(V1 )

三.判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤: 1 任取x1,x2∈D,且x1<x2;

2 作差f(x1)-f(x2);
3 变形(通常是因式分解和配方);

4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
5 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性).

思 考?

1.判断函数f

2 (x)=-x +2x+3

的单调区间,并对其减区间加 以证明。

2. 函数y =-x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的 的单调区间.
f?x? = -x2+ 2? x + 3
8 6

4

2

-1 0

-5

5

10

-2

-4

-6

-8

调区间,并对其增区间加以证明。

x ?1 3.判断函数f (x)= 的单 x?3

研究:

1 函数 y ? x ? x

的单调性。 呢?

a y ? x ? ,(a ? 0) x


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