21.三角代换


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高考数学母题
[母题]Ⅰ(6-21):三角代换(137)

403

三角代换 [母题]Ⅰ(6-21):(2008 年重庆高考试题)(2009 年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数 y=
x ? 3 的最大值为 M,最小值为 m,则 1? x +

m 的值为( M

)
2 2 3 2

(A)

1 4

(B)

1 2

(C)

(D)

[解析]:由 1-x≥0,x+3≥0 ? -3≤x≤1,设 x=-3+4sin2α ,α ∈[0,

? ? ] ? y=2cosα +2sinα =2 2 sin(α + );由α ∈[0, 2 4

? ? ? 3? ? m 2 2 ] ? α + ∈[ , ] ? sin(α + )∈[ ,1] ? m=2.M=2 2 ? = . 2 4 4 4 4 M 2 2

[点评]:三角把代数与几何建立了联系,实现了勾通,架起了桥梁;其中三角代换可以把复杂的代数问题转化为简单的三
角函数问题来解决,这种解题方法叫 “三角代换” ;三角代换是数学中的一种重要代换,这种代换在解题时常常能起到事半 功倍、豁然开朗的效果.

[子题](1): (2008 年江苏高考试题)设函数 f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意 x∈[-1,1],都有 f(x)≥0 成立,则实数
a 的值为 .

[解析]:因 x∈[-1,1],所以可令 x=cosθ (θ ∈[0,π ]),则 f(x)=acos3θ -3cosθ +1=(a-4)cos3θ +1+[os3θ -3cosθ ]=(a4)cos θ +1+cos3θ ;因 1+cos3θ ≥0,所以 f(x)≥0 ? (a-4)cos θ +1+cos3θ ≥0 ? (a-4)cos θ ≥0 ? a=4. 注:若|x|≤R,则可作代换x=Rcosα,且α∈[0,π],作代换x=Rsinα,则α∈[? ? , ],使得换元恰取尽[-R,R]中的所 2 2
3 3 3

有值;此法适用于求无理函数f(x)中的无理式是 R 2 ? ( x ? a) 2 的形式的值域.

[子题](2): (2006 年全国高中数学联赛江西初赛试题)函数 f(x)= [解析]:f(x)的定义域为[3,4],令 x=(4-3)sin2θ +3,θ ∈[0,


x ? 3 + 12 ? 3x 的值域为

.

? ? ? ? ],则 f(x)=sinθ + 3 cosθ =2sin(θ + ), ≤θ + 2 3 3 3

5? ? 1 ? ≤sin(θ + )≤1 ? f(x)= x ? 3 + 12 ? 3x 的值域为[1,2]. 6 3 2

注:若 x∈[a,b],则可作代换 x=(b-a)sin α+a,且α∈[0, 理函数 f(x)中的无理式的定义域为[a,b]的函数.

2

? b?a a?b ],或 x= cosα+ ,且α∈[0,π ].此法适用于无 2 2 2

[子题](3): (2011 年全国高中数学联赛试题)函数 f(x)= [解析]:令 x=tanα ,α ∈(-

x2 ? 1 的值域为 x ?1

.

? ? ? 1 ? 3? ? ? , ),α ≠ ,f(x)= ,α - ∈(, ) ? sinα -cosα = 2 sin(α - )∈ 2 2 4 sin ? ? cos? 4 4 4 4
2 ]∪(1,+∞). 2

[- 2 ,0)∪(0,1) ? f(x)∈(-∞,-

注:对 a( x ? b)2 ? c (a>0,c>0),可作代换x+b=

? ? c c tanα,且α∈(- , ),则 a( x ? b)2 ? c = . 2 2 cos? a

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[子题系列]:
2 2 2 2

[母题]Ⅰ(6-21):三角代换(137)
2

1.(2008 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知 f(x)=x +(a +b -1)x+a +2ab-b 是偶函数,则函数图象与 y 轴交点的纵坐 标的最大值是 .
2 2 2 2

2.(1993 年全国高中数学联赛试题)实数 x,y 满足 4x ?5xy+4y =5,设 S=x +y ,则

1 1 + = Smax Smin

.

3.(2007 年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)函数 y=x+ 1 ? x 2 的值域是

.

4.(2010 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设函数 f(x)= 4 ? x + x ? 2 的最大值为 M,最小值为 m,则 M 与 m 的乘积 为 . . 5.(2006 年全国高中数学联赛福建初赛试题)函数 y= 3x ? 4 + 3 ? 4 x 的最大值与最小值之和为 6.(2010 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)函数 f(x)=2x- 4 x ? x 2 的值域是 7.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若实数x、y满足x +y =1,则
2 2

. .

2 xy 的最小值是 x ? y ?1

8.(2010 年全国高中数学联赛江西初赛试题)函数 f(x)=

1 ? x2 的值域是 x?2

.

9.(2002 年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知函数 f(x)=

1 (1-x+ 1 ? 2 x ? 2 x 2 ),x∈[2,4],则该函数的值域是_____. 2x
2

10.(2004 年同济大学保送生考试数学试题)试用三角函数求函数 f(x)=4-2x +x 1 ? x 2 的最大值与最小值.

[子题详解]:
2 2 2 2 0 1.解:由 a +b =1,令 a=cosθ ,b=sinθ ? a +2ab-b = 2 sin(2θ +45 )≤ 2 .

2.解:令 x= S cosθ y= S sinθ ,则 S(4-5sinθ cosθ )=5 ? S(40 3.解:令 x=cosθ (θ ∈[0,π ]),则 y= 2 sin(θ +45 )∈[-1, 2 ].

5 8 1 1 sin2θ )=5 ? + = . 2 5 Smax Smin

2 0 0 0 4.解:令 x=-2+6sin θ (θ ∈[0 ,90 ]),则 f(x)= 6 cosθ + 6 sinθ =2 3 sin(θ +45 )∈[ 6 ,2 3 ] ? Mm=6 2 .

5.解:令 x=-

4 25 5 5 5 3 5 21 2 0 0 + sin θ (θ ∈[0 ,90 ]),则 y= sinθ + cosθ ? m= ,M= . 3 12 2 2 3 6

6.解:f(x)=2x- 4 x ? x 2 =2x- 4 ? ( x ? 2)2 ,设 x-2=2cosα ,α ∈[0,π ],则 y=4cosα -2sinα +4=2 5 cos(α +φ )+4,其中 cosφ =
2 5

,φ 为锐角,所以当α =0 时,ymax=8,当α +φ =π 时,ymin=4-2 5 .
sin 2? 2 xy 2 = (令 sinθ +cosθ =t+1,则 t∈[- 2 -1, 2 -1] ? sin2θ =(t+1) -1 x ? y ? 1 cos? ? sin ? ? 1

7.解:令 x=cosθ ,y=sinθ ?

2 =t +2t)=t+2∈[1- 2 , 2 +1].

8.解:令 x=cosθ (θ ∈[0,π ]),则 f(x)= 9.解:f(x)=

sin ? 3 ;令 A(-2,0),P(cosθ ,sinθ ),则 f(x)=kAP∈[0, ]. cos? ? 2 3

1 1 1 1 3 1 1 ? sin ? 1 [ -1+ ( ? 1)2 ? 1 ],令1- =tanα ∈[ , ],则y=f(x)= ,取单位圆上的点P(cosα ,sinα ), 2 x x 2 4 2 cos? x 1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ,kOA递增, 递减;当tanα = 时, f(x)max= cos? cos? 2 3 1 5 ?1 ;当tanα = 时, f(x)min= . 4 4 4

A(0,1),-kPA=

10.解:令 x=cosθ (θ ∈[0,π ]),则 f(x)=

1 5 5 5 sin2θ -cos2θ +3= sin(2θ -φ )+3∈[+3, +3]. 2 2 2 2

(1995 年第六届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)实数 x,y 满足 x

2

–3xy+y

2

= 2,则 x

2

+ y 2 的值域


解 :由




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