2019-2020学年高中数学 第2章《等差等比数列》教案 新人教A版必修5.doc


2019-2020 学年高中数学 第 2 章《等差等比数列》教案 新人教 A 版 必修 5
一、课前检测、创设情境 设数 列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a 1 ? 5 , an?1 ? Sn ? 3n , n ? N .设 bn ? Sn ? 3n ,求
*

数列 ?bn ? 的通项公式; 解:依题意, Sn?1 ? Sn ? an?1 ? Sn ? 3n ,即 Sn?1 ? 2Sn ? 3n , 由此得 Sn?1 ? 3n?1 ? 2(Sn ? 3n ) . 因此,所求通项公式为 b n ? Sn - 3n ? 2 n 。 二、知识梳理、复习回顾 1.在解决等差数列问题时,如已知,a1,an,d, S n ,n 中任意三个,可求其余两个。 解读:

2.补充的一条性质 1)项数为奇数 2n ? 1 的等差数列有:

s奇 n ? s ? s ? an ? a中 , s2n?1 ? (2n ?1)an s偶 n ? 1 奇 偶
s2n ? n(an ? an?1 )

2)项数为偶数 2 n 的等差数列有: 解读:

s奇 a ? n , s偶 ? s奇 ? nd s偶 an?1

?a n ?1 ? a n ? d(定义) ? 2a n ?1 ? a n ? a n ? 2 3.等差数列的判定:{an}为等差数列 ? ? ? ?a n ? An ? B(关于n的“一次函数”) ?S ? An2 ? Bn(缺常数项的“二次函 数”) ? n
即: {an} ? an ?1 ? an ? d (d为常数) ? 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N*)

? an ? kn ? b ? sn ? An2 ? Bn ;
解读:

4.三个数成等差可设:a,a+d,a+2d 或 a-d ,a,a+d; 四个数成等差可设:a-3d,a-d,a+d,a+3d. 解读:

5.等差数列与函数:1)等差数列通项公式与一次函数的关系:从函数的角度考查等差数列 的通项公式:an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an 是关于 n 的一次式;从图像上看,表示等差数 列的各点(n, an )均匀排列在一条直线上,由两点确定一条直线的性质,不难得出,任两 项可以确定一个 等差数列.k=d=

a n ? a1 a ? am ,d= n ,由此联想点列(n,an)所在直线的 n ?1 n?m

斜率.2)点 (n,S n ) 在没有常数项的二次函数 Sn ? pn2 ? qn 上。其中,公差不为 0. 解读:

6.等差数列前 n 项和最值的求法(结合二次函数的图象与性质理解) 1)若等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,则前 n 项和 Sn 有最大值。 (ⅰ)若已知通项 an ,则 Sn 最大 ? ?

? an ? 0 ; ? an ?1 ? 0
q 的非零自然数时 Sn 最大; 2p

(ⅱ)若已知 Sn ? pn2 ? qn ,则当 n 取最靠近 ?

2)若等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,则前 n 项和 Sn 有最小值 (ⅰ)若已知通项 an ,则 Sn 最小 ? ?

? an ? 0 ; ? an ?1 ? 0
q 的非零自然数时 Sn 最小。 2p

(ⅱ)若已知 Sn ? pn2 ? qn ,则当 n 取最靠近 ? 解读:

7.等差数列的定义、通项公式、求和公式、性质等 等 定义 差 数 列 {an}为等差数列 ? an+1-an=d(常数) ,n∈N+ ? 2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N+) 1) an = a1 +(n-1)d= ak +(n-k)d; an = dn + a1 -d ? kn ? b 通项公式 2)推广:an=am+(n-m)d. 3)变式:a1=an-(n-1)d,d= an)所在直线的斜率. 1)S n ? 求和公式

a n ? a1 a ? am ,d= n ,由此联想点列(n, n ?1 n?m

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) d d ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? )n ? A ? n 2 ? B ? n 2 2 2 2
a1 ? a n S n a1 ? a2 ? ? ? ? ? an d = = =a1+(n-1) · =an+(n-1) · (- 2 n n 2

2)变式:

d ). 2
等差中项 1) 等差中项: 若 a、 b、 c 成等差数列, 则 b 称 a 与 c 的等差中项, 且 b=

a?c ; 2

a、b、c 成等差数列是 2b=a+c 的充要条件.2)推广:2 an = an?m ? an?m
1 重 2 3 要 4 性 5 增 减 性

m ? n ? l ? k ? am ? an ? al ? ak ( 反 之 不 一 定 成 立 ) ; 特 别 地 , 当 m ? n ? 2 p 时 , 有 am ? an ? 2a p ;特例:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…。
下标成等差数列且公差为 m 的项 ak,ak+m,ak+2m,…组成的数列仍为等差数 列,公差为 md.

sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等差数列。
d? a n ? a1 a m ? a n ? ( m ? n) n ?1 m?n

d ? 0 ? ?a n ? 为递增数列



d ? 0 ? ?a n ?为常数列 d ? 0 ? ?a n ? 为递减数列

其 它 性 质

1 2

an=am+(n-m)d. 若数列{an}是公差为 d 的等差数列,则数列{λ an+b}(λ 、b 为常数)是 公差为λ d 的等差数列; 若{bn}也是公差为 d 的等差数列, 则{λ 1an+λ 2bn} (λ 1、λ 2 为常数)也是等差数列且公差为λ 1d+λ 2d. an=an+b,即 an 是 n 的一次型函数,系数 a 为等差数列的公差; Sn=an +bn,即 Sn 是 n 的不含常数项的二次函数;
2

3

三、典型例题分析、引导 探究、当堂检测 题型 1 等差数列的基本运算 例1 在等差数列{an}中, (1)已知 a15=10,a45=90,求 a60; (2)已知 S12=84,S20=460,求 S28; (3)已知 a6=10,S5=5,求 a8 和 S8.
82 ? a ?? ? ?a15 ?a1 ?14d ? 10 ? 1 3 解:(1)方法一: ? ?? a ? a ? 44 d ? 90 8 45 1 ? ?d ? ? 3 ?

∴a60=a1+59d =130.

方法 2 d ?

a n ?a m a 45 ?a15 8 8 ? ? , an=am+(n-m)d ? a60=a45+(60-45)d=90+15× =130. n?m 45 ? 15 3 3
2

(2)不妨设 Sn=An +Bn,
2

∴? ?

?12 2 A ? 12B ? 84
2

?A ? 2 ?? ?20 A ? 20B ? 460 ?B ? ?17 ?

∴Sn=2n -1 7n (3)∵S6=S5+a6=5+10=15, 又 S6=

∴S28=2×28 -17×28=1092
a 6 ? a1 ?3 6 ?1

2

6(a1 ?a 6 ) 6(a1 ?10) 6(a ?10) ? ∴15= 1 即 a1=-5 2 2 2

而 d=

∴a8=a6+2 d=16

S8=

8(a1 ?a 8 ) ? 44 2

变式训练 1 设{an}为等差数列, Sn 为数列{an}的前 n 项和, 已知 S7=7, S15=75, Tn 为数列{ 的前 n 项和,求 Tn. 解:设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+

Sn } n

1 n(n-1)d. 2

∵S7=7,S15=75,

?7a1 ? 21d ? 7, ?a1 ? 3d ? 1, ∴? 即? ?15a1 ? 105d ? 75, ?a1 ? 7d ? 5.


解得 a1=-2,d=1.

Sn 1 1 n?5 =a1+ (n-1)d=-2+ (n-1)= . n 2 2 2 S S S 1 1 ∴ n ?1 - n = . ∴数列{ n }是等差数列,其首项为-2,公差为 . n ?1 n 2 n 2 1 2 9 ∴Tn= n - n. 4 4
小结与拓展:基本量的思想:常设首项、公差及首项,公比为基本量,借助于消元思想及解 方程组思想等。等差数列中,已知五个元素 a1,an,n,d,Sn 中的任意三个,便可求出其余 两个.

题型 2 例2

等差数列的判定与证明 已知数列{an}满足 2an+1=an +an+2(n∈N ),它的前 n 项和为 Sn,且 a3=5,S6=36.
*

求数列{a n}的通项公式; 解:∵2an+1=an+an+2,∴{an}是等差数列,设{an}的首项为 a1,公差为 d,
?a1+2d=5 ? 由 a3=5,S6=36 得? ?6a1+15d=36 ?

,解得 a1=1,d=2.
n

∴an=2n-1.

变式训练 2 在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2 .设 bn= n-1,证明:数列{bn}是等差数列; 2 an+1 2an+2 an 证明:由已知 an+1=2an+2 得 bn+1 = n = = n-1+1=bn+1. n 2 2 2
n n

an

又 b1=a1=1,

因此{bn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列.

小结与拓展:证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是:1)利用定义,证明 an-an-1(n ≥2)为常数;2)利用等差中项,即证明 2an=an-1+an+1(n≥2). 题型 3 例3 等差数列的性质 设等差数列 ?an ? 的首项及公差 均是正整数,前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1 , a4 ? 6 , _ _.答案:4020

S3 ? 12 ,则 a2010 =_

变式训练 3

在等差数列{an}中,已知 log2(a5+a9)=3,则等差数列{an}的前 13 项的和

S13=________.答案:52
解:∵log2(a5+a9)=3,∴a5+a9=2 =8. 13×(a1+a13) 13×(a5+a9) 13×8 ∴S13= = = =52. 2 2 2
3

小结与拓展:解决等差(比)数 列的问题时,通常考虑两类方法:①基本量法,即运用条 件转化成关于 a1 和 d(q)的方程;②巧妙运用等差(比)数列的性质(如下标和的性质、 子数列的性质、和的性质).一般地,运用数列的性质,可化繁为简. 四、归纳与总结(以学生为主,师生共同完成) 1.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要,但用“基本量法”并树 立“目标意识”,“需要什么,就求什么” ,既要充分合理地运用条件,又要时刻注意题 的目标,往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果. 2.等差数列{an}中,当 a1<0,d>0 时,数列{an}为递增数列,Sn 有最小值;当 a1>0,d <0 时,数列{an}为递减数列,Sn 有最大值;当 d=0 时,{an}为常数列 .

3.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.


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