河南省新乡市一中2015-2016学年高二下学期第一次周练数学(文)试卷


新乡市一中高二数学周周考一(文科)

命题人:肖乐乐 审题人:姚长征

一、选择题(每题 5 分)

1.若曲线 y ? kx ? ln x 在点 (1, k) 处的切线平行于 x 轴,则 k ? (

)

A.-1 B.1 C.-2 D.2

2.若 f (x) ? ax4 ? bx2 ? c 满足 f ?(1) ? 2 ,则 f ?(?1) ? ( )

A.﹣4

B.﹣2

C.2

D.4

3.设

f

(x) 是可导函数,且 lim ?x?0

f

( x0

? 2?x) ? ?x

f

(x0 )

?

2 ,则

f

?(x0 )

?(



A. 1 2

B. ?1

C. 0

D. ?2

4.设函数 y ? f (x) 的图像如左图,则导函数 y ? f '(x) 的图像可能是下图中的()

5.函数 y ? ln x 的最大值为( ) x

A. e ?1

B. e

C. e2

D. 10 3

6.过点 (1,?1) 且与曲线 y ? x3 ? 2x 相切的直线方程为( )

A. x ? y ? 2 ? 0 或 5x ? 4 y ?1 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0

C. x ? y ? 2 ? 0 或 4x ? 5y ?1 ? 0

D. x ? y ? 2 ? 0

7.曲线 y ? x3 ?1在点 (?1, 0) 处的切线方程为

A. 3x ? y ? 3 ? 0

B. 3x ? y ? 3 ? 0

C. 3x ? y ? 0

D. 3x ? y ? 3 ? 0

8.下列函数中,x=0 是其极值点的是 ( ).

A. y ? ?x3

B. y ? cos2 x

C.y=tan x-x D.y= 1 x ?1
9.函数 y ? 2sin x 的导数 y? ? A. 2 cos x B. ?2 cos x C. cos x D. ? cos x 10.已知函数 f(x)(x∈R)满足 f ?(x) >f(x),则 ( )

A.f(2)< e2 f(0)

B.f(2)≤ e2 f(0)

C.f(2)= e2 f(0)
11.若点 P 是曲线 A.1 B.

D.f(2)> e2 f(0)

上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小值为(

).

C.

D.

12. f (x) 是定义在 (0, ??) 上的非负、可导函数,且满足 xf ?(x) ? f (x) ? 0 ,对任意正数 a, b ,

若 a ? b ,则必有 ( ).

A. af (b) ? bf (a)

B. bf (a) ? af (b)

C. af (a) ? f (b)

D. bf (b) ? f (a)

二、填空题(每题 5 分)

13.曲线 y= x 在点(-1,-1)处的切线方程为________. x?2
14.设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ex,则 f′(1)=________.

15.已知函数 f (x) ? 2 f ?(1) ln x ? x ,则 f (x) 的极大值为

.

16.已知函数 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),则 f′(0)=________. 三、解答题 17.已知函数 f (x) ? xex ( e 为自然对数的底)。 (Ⅰ)求函数 f (x) 的单调递增区间; (Ⅱ)求曲线 y ? f (x) 在点 (1 , f (1)) 处的切线方程。
18.已知 f (x) ? ax2 ? 2 ln x , x ? (0 , e] , 其中 e 是自然对数的底 . (1)若 f (x) 在 x ? 1处取得极值,求 a 的值; (2)求 f (x) 的单调区间;
19.已知 a ? R ,函数 f (x) ? x3 ? 3x2 ? 3ax ? 3a ? 3. (1)求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2) 若 a ? 1,则当 x ?[0,2] 时,求 f (x) 的
最大值.
20.已知 a 为实数,函数 f (x) ? (x2 ? 1)(x ? a) . (1) 若 f ?(?1) ? 0 ,求函数 y ? f (x) 在[- 3 ,1]上的极大值和极小值;
2
(2)若函数 f (x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围.
21.已知函数 f (x) ? a ? ln x . x

(Ⅰ)若 f (x) 在 x ? 3 处取得极值,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 f (x) ? 5 ? 3x 恒成立,求实数 a 的取值范围.
22.已知函数 f(x)=x3- 1 x2+bx+c.
2
(1)若 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求 b 的取值范围; (2)若 f(x)在 x=1 处取得极值,且 x∈[-1,2]时,f(x)<c2 恒成立,求 c 的取值范围.

1.A 【解析】求导得

参考答案

,依题意



∵曲线

在点

处的切线平行于 x 轴,

∴k+1=0,即 k=-1.

2.B

【解析】∵f(x)=ax4+bx2+c,

∴f′(x)=4ax3+2bx,

∴f′(1)=4a+2b=2,

∴f′(﹣1)=﹣4a﹣2b=﹣(4a+2b)=﹣2,

故选 B.

3.B

【解析】

试题分析:因为 lim ?x?0

f

( x0

? 2?x) ? ?x

f

(x0 )

?

?2 lim ?x?0

f

( x0

? 2?x) ? ?2?x

f

(x0 )

?

?2

f

?? x0 ? ?

2

所以 f ?? x0 ? ? ?1 ,故选 B.

考点:导数的概念.

4.D 【解析】

试题分析:由 y ? f (x) 图象知,函数先增,再减,再增,对应的导数值,应该是先大于零,

再小于零,最后大于 0.故选 D.

考点:导数与函数的单调性.

5.A

【解析】

试题分析:

y?

?

1 ? ln x2

x

,

0

?

x

?

e

时,

y?

?

0

,

x

?

e

时,

y?

?

0

,所以当

x

?

1时,取得最大

值, f ?e? ? 1
e

考点:利用导数求最值

6.A

【解析】

试 题 分 析 : 设 切 点 为 (x0 , x03 ? 2x0 ) , 因 为 y? ? 3x2 ? 2 , 所 以 切 线 的 斜 率 为

k ? y? |x?x0 ? 3x02 ? 2 ,所以切线方程为 y ? (x03 ? 2x0 ) ? (3x02 ? 2)(x ? x0 ) ,又因为切线过点

(1, ?1) ,所以 ?1? (x03 ? 2x0 ) ? (3x02 ? 2)(1? x0 ) 即 2x03 ? 3x02 ?1 ? 0 ,注意到 (1, ?1) 是在

曲线 y ? x3 ? 2x 上的,故方程 2x03 ? 3x02 ?1 ? 0 必有一根 x0 ? 1,代入符合要求,进一步整

理 可 得 2(x03 ?1) ? 3(x02 ?1) ? 0 即 2(x0 ?1)(x02 ? x0 ?1) ? 3(x0 ?1)(x0 ?1) ? 0 , 也 就 是

( x0

? 1)(2 x0 2

?

x0

? 1)

?

0



( x0

?1)2 (2x0

? 1)

?

0

,所以

x0

?1或

x0

?

?

1 2

,当

x0

? 1 时,

k ? 3x02 ? 2 ? 1 , 切 线 方 程 为

y ? (?1) ? x ?1 即

x? y?2? 0

;当

1 x0 ? ? 2

时,

k

?

3x02

?

2

?

3 4

?

2

?

?

5 4

,切线方程为

y

?

(?1)

?

?

5 4

(x

?1)

即 5x

?

4y

?1

?

0 ,故选

A.

考点:导数的几何意义.

7.B

【解析】

试题分析:∵ y' ? 3x2 ,∴ k ? y ' x??1 ? 3 ,由点斜式知切线方程为: y ? 3? x ?1? ,即

3x ? y ? 3 ? 0 .

考点:导数的几何意义,切线的求法. 8.B

【解析】显然 x=0 不是 y=-x3,y= 1 的极值点. x ?1
又 y′=(cos2x)′=2cos x(-sin x)=-sin 2x.

显然 x=0 时,y′=0,在 x0 的左右附近 y′正、负变化. ∴x0=0 是 y=cos2x 的极大值点 9.A 【解析】
试题分析:根据导函数运算公式 y' ? ?2 sin x?' ? 2 cos x 可知 A 正确.
考点:导函数的计算公式. 10.D 【解析】
试题分析:函数 f(x)(x∈R)满足 f ?(x) ? f (x) ,则函数为指数函数,可设函数 f (x) ? e2x ,

则导函数 f ' (x) ? 2e2x ,显然满足 f ?(x) ? f (x) , f (2) ? e4 , e2 f (0) ? e2 ,显然 e4 ? e2 ,

即 f (2) ? e2 f (0) ,故选 B.本题入手点是根据函数导数运算法则,构造满足条件函数,从而

解题。 考点:函数与导数运算法则,考查学生的基本运算能力以及转化与化归能力. 11.B

【解析】由已知 y′=2x- ,令 2x- =1,解得 x=1.曲线

在 x=1 处的切

线方程为 y-1=x-1,即 x-y=0.两直线 x-y=0,x-y-2=0 之间的距离为 d= = .

12.A 【解析】
试 题分 析: xf ?(x) ? f (x) ? 0 即 ? xf (x)?' ? 0 ,所 以函数 xf (x) 为 减 函数 ,若 a ? b , 则

af (a) ? bf (b) ; 又

是定义在

上的非负可导函数,所以

.

考点:函数的单调性、导函数. 13.y=2x+1

? ? 【解析】y′=

2 x?2

2

,所以 k=y′|x=-1=2,故切线方程为 y=2x+1.

14.2
【解析】设 ex=t,则 x=ln t(t>0),∴f(t)=ln t+t.∴f′(t)= 1 +1,则 f′(1)=2. t
15. 2 ln 2 ? 2 【解析】对函数求导得 f ?(x) ? 2 f ?(1) ?1 ,令 x ? 1 , f ?(1) ? 2 f ?(1) ?1 得 f ?(1) ? 1 ,所以
x f (x) ? 2 ln x ? x ,f ?(x) ? 2 ?1 ,当 x ? (0, 2) 时,f ?(x) ? 0 ,f (x) 为增函数,当 x ? (2, ??)
x

时, f ?(x) ? 0 , f (x) 为减函数,所以 f (x) 的极大值为 f (2) ? 2 ln 2 ? 2 .
考点:导数的应用. 16.-120 【解析】f′(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x[(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x- 5)]′,∴f′(0)=(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=-120. 17.(1) f (x) 的单调递增区间是 (?1 , ? ?) ;(2) 2ex ? y ? e ? 0 【解析】
试题分析:解: f (x) ? xex ? f ?(x) ? ex (x ?1) ,因此有

(Ⅰ)令 f ?(x) ? 0 ? x ? ?1 ,即函数 f (x) 的单调递增区间是 (?1 , ? ?) ;

(Ⅱ)因为 f (1) ? e , f ?(1) ? 2e ,所以曲线 y ? f (x) 在点 (1 , f (1)) 处的切线方程为:

y ? e ? 2e(x ?1) ,即 2ex ? y ? e ? 0 。 考点:函数的单调性 点评:解决的关键是利用导数的符号判定函数单调性,进而得到递增区间,以及导数几何意 义来得到切线方程,属于基础题。

18.(1)

a

? 1 ;(2)当 a ?

1 e2

时,

f (x) 的减区间是 (0

,

e] ;当 a

?

1 e2

时,

f (x) 的减区间是

(0 , a ) ,增区间是 ( a , e] .

a

a

【解析】

试题分析:(1)函数在 x ? 1 处取得极值即 f '(1) ? 0 可求解 a 的值;(2)首先考虑函数的定义

域,对函数求导得 f '(x) ? 2ax2 ? 2 ,再对实数 a 进行分类讨论分别求单调区间,分类时要做 x

到不重不漏.

试题解析:(1 ) f ?(x) ? 2ax ? 2 ? 2ax2 ? 2 .

x

x

由已知 f ?(1) ? 2a ? 2 ? 0 , 解得 a ? 1 .

经检验, a ? 1 符合题意.

3分

(2) f ?(x) ? 2ax ? 2 ? 2ax2 ? 2 .

x

x

1)当 a ? 0 时, f ?(x) ? 0 , ? f (x) 在 (0 , e] 上是减函数.

5分

2a(x ? a ) (x ? a )

2)当 a ? 0 时, f ?(x) ?

a

a.

x

①若 a ? e ,即 a ? 1 ,

a

e2

则 f (x) 在 (0 , a ) 上是减函数,在 ( a , e] 上是增函数;

a

a

②若 a ? e a

,即 0

?

a

?

1 e2

,则

f

(x) 在 (0

,

e] 上是减函数.

综上所述,当 a

?

1 e2

时,

f

(x) 的减区间是 (0

,

e] ,

10 分

当a

?

1 e2

时,

f

(x) 的减区间是 (0

,

a ) ,增区间是 ( a , e] .

a

a

12 分

考点:1.函数的极值;2.利用导数判函数的单调性;3.分类讨论思想.

19.(1) 3(a ?1)x ? y ? 4 ? 3a ? 0 ,(2)2

【解析】 试题分析:(1)导数几何意义即切线的斜率;(2)求导数,列表判断单调性,分情况讨论.

试题解析:(Ⅰ)由已知得: f ?(x) ? 3x2 ? 6x ? 3a ? f ?(1) ? 3a ? 3 ,且

f (1) ? 1 ? 3 ? 3a ? 3 ? 3a ? 1 ,所以所求切线方程为: y ?1 ? (3a ? 3)(x ?1) ,

即为: 3(a ?1)x ? y ? 4 ? 3a ? 0 ;

考点:导数几何意义,利用导数求极值,分类讨论思想.

20.(1) f (x) 在 x ? ?1 取得极大值为 f (?1) ? 2 ; f (x) 在 x ? ? 1 取得极小值为 f (? 1) ? 50

3

3 27

(??,? 3 ] [ 3,? ?) (2)

【解析】 试题分析:解:(1)∵ f ?(?1) ? 0 ,∴ 3 ? 2a ? 1 ? 0 ,即 a ? 2 .

∴ f ?(x) ? 3x2 ? 4x ? 1 ? 3(x ? 1)(x ? 1) .

2分

3

由 f ?(x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? ? 1 ; 3

由 f ?(x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? ? 1 .

4分

3

因此,函数 f (x) 的单调增区间为 (? 3,?1) , (? 1,1) ;单调减区间为 (?1,? 1) .

2

3

3

f (x) 在 x ? ?1 取 得 极 大 值 为 f (?1) ? 2 ; f (x) 在 x ? ? 1 取 得 极 小 值 为 3

f (? 1) ? 50 .

7分

3 27

(2) ∵ f (x) ? x3 ? ax2 ? x ? a ,∴ f ?(x) ? 3x2 ? 2ax ? 1.

∵函数 f (x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,∴ f ?(x) ? 0 有实数解. 9 分

∴ D ? 4a2 ? 4 ? 3?1 ? 0 ,∴ a2 ? 3 ,即 a ? ? 3 或 a ? 3 .

因此,所求实数 a 的取值范围是 (??,? 3 ] [ 3,? ?) . 考点:导数的运用

12 分

点评:主要是考查了导数在研究函数中的单调性的运用,属于中档题。

21.(Ⅰ) a ? ?3 (Ⅱ)[2, ??)

【解析】

试题分析:解:(Ⅰ)函数

f

(x)

定义域为 (0, ??) ,

f

'( x)

?

?

x?a x2



由 f ??3? ? 0 ,得 a ? ?3.

当 a ? ?3 时,由 f ?(x) ? 0 ,得 0 ? x ? 3 ,由 f ?(x) ? 0 ,得 x ? 3 ,所以 f (x) 在 (0,3) 上单

调递增,在 (3, ??) 上单调递减,即 f (x) 在 x ? 3 处取得极大值,符合题意。 (Ⅱ)设 g(x) ? f (x) ? 3x ? 5 ? a ? ln x ? 3x ? 5 ,则当 x ? 0 时, g(x) ? 0 恒成立.
x 由 g(1) ? a ? 2 ? 0 ,得 a ? 2 .

g ?( x)

?

3x2

?x x2

?

a

.方程

g ?( x)

?

0

有一负根

x1

和一正根

x2



x1

?

0

?

x2

.其中

x1

不在函数

定义域内.

? g(x) 在 (0, x2 ) 上是减函数,在 (x2 , ??) 上是增函数.即 g(x) 在定义域上的最小值为 g(x2 ) .

依题意只需

g(x2 )

?

0

,即

g(x2 )

?

a x2

? ln

x2

? 3x2

?5

?

0

.又

3x22

?

x2

?a

?

0

,所以

a x2

? 3x2

?1,

a x2

?

0 ,?

x2

?

1. 3

所以 g(x2 ) ? 3x2 ?1? ln x2 ? 3x2 ? 5 ? 0 ,

即 6x2 ? 6 ? ln x2 ? 0 .

令 h(x) ? 6x ? 6 ? ln x ,则 h'(x) ? 6x ?1 x



x

? (1 , ??) 3

时,

h' ( x)

?

0

,所以

h(x)

是增函数。由

h(1)

?

0

,所以

6 x2

?

6

?

ln

x2

?

0



解集为[1,??) ,即 x2 ? 1,所以 a ? 3x22 ? x2 ? 2 .即 a 的取值范围是[2, ??) .

解法二: f (x) ? 5 ? 3x ,即 a ? x ln x ? 3x2 ? 5x

设 g(x) ? x ln x ? 3x2 ? 5x ,则, g ' (x) ? ln x ? 6x ? 6 设 h(x) ? g ' (x) ,则 h' (x) ? 1? 6x , h(1) ? g ' (1) ? 0
x 当 x ? (1,??) 时, h' (x) ? 0 , h(x) ? g ' (x) 是减函数

?h(x) ? h(1) ? 0 ,即 g(x) 是减函数, g(x) ? g(1) ? 2

当 x ? (0,1) 时,先证 ln x ? x ?1, 设 F (x) ? ln x ? (x ?1) , F ' (x) ? 1? x ? 0 ,
x F (x) 在 (0,1) 上是增函数且, F (x) ? F (1) ? 0 ,即 ln x ? x ?1,

当 x ? (0,1) 时, g(x) ? x ln x ? 3x2 ? 5x ? x(x ?1) ? 3x2 ? 5x ? ?2(x ?1)2 ? 2 ? 2

由 g(1) ? 2 ,? g(x) 的最大值为 2,即 a 的取值范围是[2, ??) .

考点:函数的极值;解不等式 点评:求较复杂函数的性质,常用到导数。导数对求函数的单调区间、最值、不等式等问题 都有很大作用。

22.(1)当 x= 1 时,g(x)max= 1 ,∴b≥ 1 .

6

12

12

(2) c 的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).

【解析】 试题分析:(1)解 ≥0.即 3x2-x+b≥0,

(1)f′(x)=3x2-x+b,因 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则 f′(x)

∴b≥x-3x2 在(-∞,+∞)恒成立.设 g(x)=x-3x2. 当 x= 1 时,g(x)max= 1 ,∴b≥ 1 .

6

12

12

(2)由题意知 f′(1)=0,即 3-1+b=0,∴b=-2.x∈[-1,2]时,f(x)<c2 恒成立,只需 f(x)

在[-1,2]上的最大值小于 c2 即可.

因 f ′ (x)=3x2-x-2, 令 f ′ (x)=0, 得 x=1 或 x=- 2 . ∵
3

f(1)=- 3 +c,f( ? 2 )= 22 +c,f(-1)= 1 +c,f(2)=2+c.

2

3 27

2

∴f(x)max=f(2)=2+c,∴2+c<c2.解得 c>2 或 c<-1,所以 c 的取值范围为(-∞,-1)∪(2,

+∞).

考点:本题主要考查应用导数研究函数的单调性、最值及不等式恒成立问题。

点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,通过研究函数的单调性,明确了极值情况。

通过研究函数的单调区间、最值情况,得到使不等式恒成立的参数范围。不等式恒成立问题

的一般解法是,通过构造函数,转化成求函数的最值。


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