百优学堂高考复习讲义《解三角形》


百优学堂 2014 高考专题复习训练

百优学堂高考复习讲义《解三角形》 一、 知识点复习
1、正弦定理及其变形
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C ( R为三角形外接圆半径)

() 1 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C (边化角公式)
(2) sin A ? a b c ,sin B ? ,sin C ? (角化边公式) 2R 2R 2R (3)a : b : c ? sin A : sin B : sin C (4) a sin A a sin A b sin B ? , ? , ? b sin B c sin C c sin C

2、正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边 (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况) 已知 a,b 和 A,求 B 时的解的情况: 如果 sinA≥sinB,则 B 有唯一解;如果 sinA<sinB<1,则 B 有两解; 如果 sinB=1,则 B 有唯一解;如果 sinB>1,则 B 无解. 3、余弦定理及其推论
b2 ? c2 ? a 2 2bc 2 a ? c2 ? b2 cos B ? 2ac 2 a ? b2 ? c2 cos C ? 2ab cos A ?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
4、余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边。 5、常用的三角形面积公式

1 ? 底?高 ; 2 1 1 1 (2) S?ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B (两边夹一角) ; 2 2 2 6、三角形中常用结论 (1) a ? b ? c, b ? c ? a, a ? c ? b(即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2) 在?ABC中,A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B(即大边对大角,大角对大边) (3)在△ABC 中,A+B+C=π ,所以 sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。 A? B C A? B C sin ? cos , cos ? sin 2 2 2 2

(1) S ?ABC ?

1

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二、典型例题
题型 1 边角互化 [例 1 ]在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 3 : 5 : 7 ,则角 C 的度数为 【解析】 由正弦定理可得 a:b:c=3:5:7, ,令 a、 b、 c 依次为 3、 5、 7, 则 cosC= 因为 0
C

1 a 2 ? b 2 ? c 2 32 ? 52 ? 7 2 = =? 2 2 ? 3? 5 2ab

2 ? ,所以 C= ? 3

b、 [例 2 ] 若 a 、 则函数 f ( x ) 的图象与 x 轴 【 c 是 ?ABC 的三边,f ( x) ? b 2 x 2 ? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) x ? c 2 ,



A、有两个交点 B、有一个交点 C、没有交点

D、至少有一个交点

【解析】由余弦定理得 b2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc cos A ,所以

f ( x) ? b2 x2 ? 2bc cos A x ? c2 = (bx ? c cos A)2 ? c2 ? c2 cos2 A ,因为 cos 2 A
因此 f ( x) 0 恒成立,所以其图像与 X 轴没有交点。 题型 2 三角形解的个数 [例 3]在 ?ABC 中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是【 A、 a ? 7 , b ? 14 , A ? 30? ; C、 b ? 4 , c ? 5 , B ? 30? ; 题型 3 面积问题

1,所以 c2 ? c2 cos2 A

0,



B、 b ? 25 , c ? 30 , C ? 150 ? ; D、 a ? 6 , b ? 3 , B ? 60? 。

[例 4] ?ABC 的一个内角为 120°,并且三边构成公差为 4 的等差数列,则 ?ABC 的面积为 【解析】设△ABC 的三边分别:x-4、x、x+4, ∠C=120° ,∴由余弦定理得:﹙x+4﹚? =﹙x-4﹚? +x? -2× ﹙x-4﹚× x× cos120° ,解得:x=10 ∴△ABC 三边分别为 6、10、14。
?S
ABC

1 1 3 ? ab sin C ? ? 6 ?10 ? ? 15 3 2 2 2

题型 4 判断三角形形状 [例 5] 在 ?ABC 中,已知 (a2 ? b2 ) ? sin( A ? B) ? (a2 ? b2 ) ? sin( A ? B) ,判断该三角形的形状。 【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。 方法一: a2[sin( A ? B) ? sin( A ? B)] ? b2[? sin( A ? B) ? sin( A ? B)]
? 2a2 cos A sin B ? 2b2 cos B sin A

由正弦定理,即知 sin 2 A cos A sin B ? sin 2 B cos B sin A
?sin A sin B(sin A cos A ? sin B cos B) ? 0 ? sin 2 A ? sin 2 B

由0

2 A, 2B

2? ,得 2 A ? 2 B 或 2 A ? ? ? 2 B

即 ?ABC 为等腰三角形或直角三角形 方法二:同上可得 2a 2 cos A sin B ? 2b2 cos B sin A

2

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由正、余弦定理,即得: a 2b

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 ? b2a 2bc 2ac

? a2 (b2 ? c2 ? a2 ) ? b2 (a2 ? c2 ? b2 )
即 (a2 ? b2 )(c2 ? a2 ? b2 ) ? 0
? a ? b 或 c 2 ? a 2 ? b2

即 ?ABC 为等腰三角形或直角三角形 【点拨】判断三角形形状问题,一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系, 通过因式分解等方法化简得到边与边关系式,从而判断出三角形的形状; (角化边) 二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系,通过三角恒等变形以 及三角形内角和定理得到内角之间的关系,从而判断出三角形的形状。 (边化角) 题型 5 正弦定理、余弦定理的综合运用 [例 6] (2011 年安徽高考 17)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C.
(I)求角 C 的大小; (II)求 3 sin A ? cos( B ?

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小. 4 解析: (I)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C.
因为 0 ? A ? ? , 所以 sin A ? 0.从而 sin C ? cos C.又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则C ? (II)由(I)知 B ?

?

?
4

3? ? A. 于是 4

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ). 6 3? ? ? 11? ? ? ? 0? A? ,? ? A ? ? , 从而当A ? ? , 即A ? 时, 4 6 6 12 6 2 3
2 sin( A ?

?

?

?
6

) 取最大值 2.

综上所述, 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值为 2,此时 A ?

?
3

,B ?

5? . 12

3


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