2014-2015学年高中人教数学选修2-2同步课件第一章导数及其应用1.2.1几个常用的函数的导数_图文


? 1.2 导数的计算 ? 1.2.1 几个常用函数的导数

能用导数定义求函数 y=c,y=x,y=x2,y=x3,y =1x,y= x的导数,能利用所给基本初等函数的导数公 式,求简单函数的导数.

? 本节重点:几个常见函数的导数.
? 本节难点:函数导数的求法及常见函数导 数的应用.

? 我们知道,导数的几何意义是曲线在某一 点处的切线的斜率,物理意义是运动物体 在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数y =f(x),如何求它的导数呢?
根据导数的定义,求函数 y=f(x)的导数,就是求出
当 Δx 趋近于 0 时,ΔΔyx所趋近的那个定值.

几个常用函数的导数
原函数 f(x)=c f(x)=x f(x)=x2 f(x)= f(x)=

导函数 f′(x)=0 f′(x)=1 f′(x)=2x f′(x)= f′(x)=

? [例1] 求函数f(x)=π+2的导数. ? [解析] ∵π+2为常数,∴f′(x)=0. ? [点评] π是常数,不是变量.

[例 2] 求函数 y=1x在点(1,1)处的切线方程. [解析] ∵k=y′=-x12,
当 x=1 时,k=-1,
∴切线方程为:y-1=-(x-1),即 x+y-2=0.
? [分析] 先利用导数公式求得斜率,再求 切线方程.

求函数 y=1x在点???-3,-13???处的切线方程. [解析] y′=???1x???′=-x12, 切线的斜率 k=y′|x=-3=-19. 又切线过点???-3,-13???. 所以切线方程为 y-???-13???=-19(x+3), 即 x+9y+6=0.

[例 3] 如图,设直线 l1 与曲线 y= x相切于点 P,直 线 l2 过点 P 且垂直于 l1,若 l2 交 x 轴于 Q 点,又作 PK 垂 直于 x 轴于点 K,求 KQ 的长.

? [分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即

可.
[解析] 设 P(x0,y0),则 kl1=

=1 2 x0

.

∵直线 l1 与 l2 垂直,则 kl2=-2 x0,

∴直线 l2 的方程为 y-y0=-2 x0(x-x0).

∵点 P(x0,y0)在曲线 y= x上,

∴y0= x0.

在直线 l2 的方程中令 y=0,

则- x0=-2 x0(x-x0).

∴x=12+x0,即 xQ=12+x0.
又 xK=x0,∴|KQ|=xQ-xK=12+x0-x0=12.
? [点评] x轴上两点间的距离公式d=|x2- x1|.

? 曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x =2所围成的三角形的面积为________.

[答案]

8 3

[解析]

∵y′=liΔmx→0

(x+Δx)3-x3 Δx

=liΔmx→0[3x2+3x·Δx+(Δx)2]=3x2. ∴切线的斜率为 y′|x=1=3×12=3, ∴切线方程为 y-1=3(x-1),

与 x 轴的交点为???23,0???,与直线 x=2 的交点为(2,4). ∴S=12???2-23???×4=83.

? 一、选择题

? 1.函数f(x)=3x2在x=1处的导数为

()

? A.2

B.3

? C.6

D.12

? [答案] C

? [解析] ∵f′(x)=6x,∴f′(1)=6×1=6.

? 2.一个物体的运动方程为s(t)=1-t+t2, 其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物 体在3秒末的瞬时速度是

?( )

? A.7米/秒

B.6米/秒

? C.5米/秒

D.8米/秒

? [答案] C

? [解析] v(t)=s′(t)=-1+2t,

? ∴v(3)=-1+2×3=5(米/秒),故选C.

3.函数 y=x+1x在 x=0 处的导数是 ( )

A.2

5 B.2

C.0
? [答案] D

D.不存在

[解析] f′(0)=liΔmx→0 ΔΔyx=liΔmx→0 f(0+ΔΔxx)-f(0), ∵f(0)不存在,∴f′(0)不存在.

? 二、填空题
? 4.y′=0表示函数y=c图象上每一点处的 切线斜率都为________.
? [答案] 0
? [解析] 由y′=(c)′=0及导数的几何意义可 知切线斜率都为0.

5.已知 f(x)= x,则 f′(4)=________.

[答案]

1 4

[解析] ∵f′(x)=21 x.∴f′(4)=214=14 .

三、解答题 6.若直线 y=-x+b 为函数 y=1x图象的切线,求 b 及切点坐标.

[解析] 设切点坐标为(x0,y0), 因为 y′=???1x???′=-x12,所以切线斜率为 k=-x120. 所以切线方程为 y-x10=-x120(x-x0) 即 y=-x120x+x20 .又切线方程为 y=-x+b,

∴?????x-20=x120= b -1

,解得?????xb0==21 或?????xb0==--21

? 即当b=2时,切点为(1,1); ? 当b=-2时,切点为(-1,-1).


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