7.4.2简单的线性规划(二)_图文


7.4 简单的线性规划(2)

知识回顾:
一般地,二元一次不等式: Ax + By + C > 0
在平面直角坐标系中表示直线: Ax + By + C =0 某一侧所有点组成的平面区域. 由于在直线Ax +By +C = 0同一侧的所有点(x,y), 判断方法:“直线定界、特殊点定域” 把它的坐标(x,y)代入Ax +By +C 所得到实数的符 在直线 Ax + By + C = 0的某一侧取一个特殊(x0 , y0), 号都相同. 从 Ax0+ By0+ C 的正负即可判断 Ax + By + C > 0表示 直线哪一侧的平面区域. 特殊地,当C≠0时,常把原点(0,0)作为特殊点.

当C=0 时,常把点(1,0)作为特殊点.

例1: 设z=2x+y,式中变量x,y 满足下列条件
? x ? 4 y ? ?3 ? ? 3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?
y
x ?1

x ? 4y ? 3 ? 0
3 x ? 5 y ? 25 ? 0

求 z 的最大值和最小值.

O

x

分析:先作出 不等式组所表示的平面区域.

解: 先作出可行域,如图所示,z的几何意义:
作直线 l 0 : 2 x ? y ? 0 ,再将直线 l0平移,由图知, y
x ?1

当 l0的平行线 l1过 B点时, 可使 z=2x+y 达到最小值,

C A B
O

x ? 4y ? 3 ? 0
3 x ? 5 y ? 25 ? 0

当 l0的平行线 l2过 A点时, 可使 z=2x+y 达到最大值 .
?x ? 4 y ? 3 ? 0 由? ?x ? 1

x
l0
l2



B (1 , ) 1

l1

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? ? 3 x ? 5 y ? 25 ? 0



A (5 , ) 2

?

z min ? 2 ? 1 ? 1 ? 3 ,

z max ? 2 ? 5 ? 2 ? 12 .

在上述问题中,不等式组是一组对变量x、y的约束 条件,这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,所以 又称线性约束条件. z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式,叫做目标函数. 由于 z=2x+y 又是 x、y的一次 解析式, 所以又叫线性目标函数 . 上述问题就是求线性目标函数 z=2x+y 在线性约束条件 下的最大值和最小值问题. 线性约束条件除了用一次不等式表示外,有时也用 一次方程表示.

线性规划:一般地,求线性目标函数在线性约束条件下 的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题 .

可行解:满足线性约束条件的解 (x,y) 叫做可行解.
可行域:由所有可行解组成的集合叫做可行域 . 最优解:使目标函数取得最大值和最小值的解.

线性规划的图解法步骤: ①画-画出线性约束条件所表示的可行域; ②移-在目标函数所表示的一组平行线中,利用 平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最 小的直线; ③求-通过解方程组求出最优解; ④答-作出答案.

问题: 设z=2x-y,式中变量x,y满足下列条件
? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

y
C

x ?1

求z的最大值和最小值. z表示:
? z表示: 直线y ? 2 x ? z在y轴上的截距
A ( 5 , 2 ) C (1,
? z min ? 2 ?1 ?
22 ) 5 22
?
?

x ? 4y ? 3 ? 0

A
3 x ? 5 y ? 25 ? 0

O

B

x

??

12 5

5

zmax ? 2 ? 5 ? 2 ? 8

例1 已知x、y满足不等式组
? 2 x ? y ? 300 ? ? x ? 2 y ? 250 ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标, 及相应的z的最大值
新疆

王新敞
学案

新疆

王新敞
学案

分析:先画出平面区域,然后在平面区域内寻找 使z=300x+900y取最大值时的整点

解:如图所示平面区域AOBC,点A(0,125), 点B(150,0),点C的坐标由方程组
350 ? x ? ? ? 2 x ? y ? 300 ? 3 ? ? ? ? x ? 2 y ? 250 ? y ? 200 ? 3 ?

得C

(

350 200 , ) 3 3

y 2x+y=300 A C x+2y=250 O 150 B 250 x

令t=300x+900y,即y=,

1 3

x ?

t 900

l:x+3y=0

新疆

王新敞
学案

欲求z=300x+900y的最大值,即转化为求截距 的最大值,从而可求t的最大值,因直线y=-与 直线y=-x平行,故作与y=-x的平行线,当过点 A(0,125)时,对应的直线的截距最大,所 以此时整点A使z取最大值, zmax=300×0+900×125=112500

例2求z=600x+300y的最大值,使式中的x, y满足约束条件
? 3 x ? y ? 300 ? ? x ? 2 y ? 250 ? x ? 0, y ? 0 ?
y 3x+y=300

的整数值.

A

C x+2y=252 B 100 2x+y=0

分析:画出约束条件表示的平面 区域即可行域再解.

O

252

x

例3 已知x、y满足不等式
?x ? 2 y ? 2 ? ?2 x ? y ? 1 ? x ? 0, y ? 0 ?

,求z=3x+y的最小值
y

新疆

王新敞
学案

新疆

王新敞
学案

分析:可先找出可行域,平行移动 直线l0:3x+y=0,找出可行解, 进而求出目标函数的最小值

P x+2y=2 O 0.5 2 2x+y=1 3x+y=0 x

课堂练习
(1)求z=2x+y的最大值,使式中的x、y 满足约束条件
? y ? x, ? ? x ? y ? 1, ? y ? ?1. ?

(2)求z=3x+5y的最大值和最小值, 使式中的x、y满足约束条件
? 5 x ? 3 y ? 15 , ? ? y ? x ? 1, ? x ? 5 y ? 3. ?

小结:
列表

实际问题
作 答

设出变量

寻找约束条件 建立目标函数

转化

线性规划问题
建模

最优解
调 整

四个步骤

图解法 目 标 函 数

三 个 转 化

平移找解法
常用方法

最优整数解

调整优值法

距离,斜率等

课后作业 习题7.4 2


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