高一函数的奇偶性ppt_图文


y

f (x)=x2

x … -2 -1 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …

O

x

f (x)=|x|
y

问题: 1、对定义域中的每一个x, -x是否也在定义域内? 2、f(x)与f(-x)的值有什么 关系?

x … -2 -1 0 1 2 …
O x

y … 2 1 0 1 2 …

函数y=f(x)的图象 关于y轴对称

1、对定义域中的每一 个x,-x是也在定义 域内; 2、都有f(x)=f(-x)

如果对于函数f(x)的定义域为A。 如果对任意的x∈A,都有 f(-x)= f(x), 那么称函数y=f(x)是偶函数。

(1)下列说法是否正确,为什么?
(1)若f (-2) = f (2),则函数 f (x)是偶函数.

(2)若f (-2) ≠ f (2),则函数 f (x)不是偶函数.

(2)下列函数是否为偶函数,为什么?


(A)

y ? x 4 ? 2 | x | ?1, x ? [?2,3]
(B)

? x ?1 x ? 0 1 y ? , x ? R且x ? 0 y ? ? x ?? x ? 1 x ? 0
(C) (D)

观察下面两个函数填写表格
y 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 x y

3
2 1 -2 -1 0 1 2 3 x

-1
-2 -3

f(x)=x

1 f ( x) ? x

y

x

-3 -2 -1
表(3)

0 1 2 3
2 3
-2

3 2 1 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 x

f(x)=x

-3 -2 -1 0 1

f(-1)= -1=-f(1) -f(2) f(-3)= -3 =-f(3)
……

-x

x

f(-x) = -f(x)

f(x)=x

y x

-3 -2 -1 0 1 2 3 1
1 2

3 2 1

1 1 1 f ( x) ? ? ? -1 x 3 2
表(4)

1 3

-2 -1 0
-1 -2 -3

1

2

3 x

f(-1)= -1 =-f(1)
1 f(-3)= ? =-f(3) 3 ……
1 ? 2

f(-x) = -f(x)

1 f ( x) ? x

函数y=f(x)的图象 关于原点对称

1、对定义域中的每一 个x,-x是也在定义 域内; 2、都有f(-x)=-f(x)

如果对于函数f(x)的定义域为A。 如果对任意一个x∈A,都有 f(-x)=- f(x), 那么称函数f(x)是奇函数 。

如果一个函数f(x)是奇函数或偶函 数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶 性.
判定函数奇偶性基本方法: ∈ ①定义法: 先看定义域是否关于原点对称, 再看f(-x)与f(x)的关系. ②图象法: 看图象是否关于原点或y轴对称.

说明: 1、根据函数的奇偶性

函数可划分为四类:

奇函数 偶函数 既奇又偶函数 f(x)=0 x∈R 非奇非偶函数

非奇非偶函数
如:
y y 3

y=3x+1
2

y=x2+2x
3 2 1

1
-2 -1 0 -1 1 2 3 x

-2 -1 0 -1 -2 -3

1

2

3 x

-2
-3

即是奇函数又是偶函数的函数
如:
y 3 2

1
-2 -1 0 -1 -2 -3 1

y=0
2 3 x

2、奇、偶函数定义的逆命题也成立,即 若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)有成立. 若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)有成立.
3、奇、偶函数性质:

偶函数的

定义域关于原点对称
图象关于y轴对称

奇函数的

定义域关于原点对称
图象关于原点对称。

偶函数的图像特征
如果一个函数是偶 函数,则它的图象 关于y轴对称。
y=x2

反过来, 如果一个函数的图 象关于y轴对称, 则这个函数为偶函 数。

性质:偶函数的定义域关于原点对称
问题: f
解:
y 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

( x) ? x x ???1,2?
,

2

是偶函数吗?

不是。

例:

y=x2

性质:偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。

性质:奇函数的定义域关于原点对称。
问题: f ( x) ? x, x ? ? ?1, ???是奇函数吗? 解:
y 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 1

不是。
2
3 x

-2
-3

例:
y=x3

0

性质:奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致.

六、应用:
例1 判断下列函数的奇偶性 1.y=-2x2+1,x∈R; 是偶函数 是奇函数 2.f(x)=-x|x|; 3.y=-3x+1; 不是奇函数也不是偶函数 4.f(x)=x2,x∈{-3,-2,-1,0,1,2}; 非奇非偶函数 5.y=0,x∈[-1,1]; 既是奇函数也是偶函数

1? x 6. f ( x ) ? ( x ? 1) 1? x

非奇非偶函数 亦奇亦偶函数

7.f ( x) ? x ? 1 1 ? x
2

2

? x2 ? x 例2、证明函数f ( x ) ? ? 2 x ? x ? 是奇函数
例3 如图是奇函数y=f(x)图象 的一部分,试画出函数在y轴 左边的图象。

( x ? 0) ( x ? 0)

y

x 0

例4 已知y=f(x)是R上的奇函数,当x>0时, f(x)=x2 +2x-1 ,求函数的表达式。

练习:判断下列函数的奇偶性:
(1) f ( x) ? x 4 1 (3) f ( x ) ? x ? x ( 2) f ( x) ? x 5 1 ( 4) f ( x ) ? 2 x

(1)解:定义域为R ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即f(-x)=f(x)

(2)解:定义域为R f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x) 即f(-x)=-f(x)

∴f(x)偶函数 ∴f(x)奇函数 (3)解:定义域为{x|x≠0} (4)解:定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x) ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x) 即f(-x)=-f(x) 即f(-x)=f(x)

∴f(x)奇函数

∴f(x)偶函数


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