最新-2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-北京卷 精品


2018 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类) (北京卷)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 9 页,共 150 分.考试时间 120 分钟.考试结束,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案.不能答在试卷上. 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1 .已知全集 U ? R ,集合 A ? x | ? 2 ≤ x≤ 3 , B ? ?x | x ? ?1或x ? 4? ,那么集合

?

?

A

?? B? 等于(
U



A. x | ? 2 ≤ x ? 4

?

? ?

B. x | x ≤ 3或x ≥ 4 D. x | ?1 ≤ x ≤ 3

?

?

C. x | ?2 ≤ x ? ?1
0.5

?

?

?
D. b ? c ? a )

2.若 a ? 2 , b ? log π 3 , c ? log 2 sin A. a ? b ? c B. b ? a ? c

2π ,则( ) 5 C. c ? a ? b

3. “函数 f ( x)( x ? R) 存在反函数”是“函数 f ( x) 在 R 上为增函数”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

0) 的距离小 1,则点 P 的轨迹为( 4.若点 P 到直线 x ? ?1 的距离比它到点 (2,
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线



? x ? y ? 1≥ 0, ? x?2 y 5.若实数 x, y 满足 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? 3 的最小值是( ? x ≤ 0, ?
A.0 B.1 C. 3
*



D.9 )

6. 已知数列 ?an ? 对任意的 p,q ? N 满足 a p?q ? a p ? aq , 且 a2 ? ?6 , 那么 a10 等于 (

A. ?165

B. ?33

C. ?30

D. ?21

7.过直线 y ? x 上的一点作圆 ( x ? 5)2 ? ( y ?1)2 ? 2 的两条切线 l1,l2 ,当直线 l1,l2 关于

y ? x 对称时,它们之间的夹角为(
A. 30 B. 45 C. 60

) D. 90

P 作垂直于平面 8 .如图,动点 P 在正方体 ABCD ? A 1 上.过点 1B 1C1D 1 的对角线 BD

BB1D1D 的直线,与正方体表面相交于 M ,N .设 BP ?x ,MN ? y ,则函数 y ? f ( x) 的
图象大致是( D1 A1 D A M B1 P N B C1 ) y y y y

C

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

2018 年普通高等学校招生全国统一考试

数学(理工农医类) (北京卷)
第Ⅱ卷(共 110 分)
注意事项:
1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9.已知 (a ? i) ? 2i ,其中 i 是虚数单位,那么实数 a ?
2

. .

10.已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 a ? b ? 4 ,那么 b (2a ? b) 的值为 11.若 ? x 2 ? 为

? ?

1? ? 展开式的各项系数之和为 32,则 n ? x3 ?
. (用数字作答)

n

,其展开式中的常数项

4) (2 0) (6 4) , 12. 如图, 函数 f ( x) 的图象是折线段 ABC , 其中 A,B,C 的坐标分别为 (0,,,,,
则 f ( f (0)) ? y ; . (用数字作答) 4 3 2 1 O A C

?x ? 0

lim

f (1 ? ?x) ? f (1) ? ?x

B 1 2 3 4 5 6

x

13.已知函数 f ( x) ? x2 ? cos x ,对于 ? ? , ? 上的任意 x1,x2 ,有如下条件: 2 2
2 2 ① x1 ? x2 ; ② x1 ; ③ x1 ? x2 . ? x2

? π π? ? ?

其中能使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立的条件序号是



14.某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第 k 棵树种植在 点P k ( xk,yk ) 处,其中 x1 ? 1 , y1 ? 1 ,当 k ≥ 2 时,

? ? ? k ?1 ? ? k ? 2 ?? ? xk ? xk ?1 ? 1 ? 5 ?T ? ? ?T ? ??, ? ? 5 ?? ? ? 5 ? ? ? y ? y ? T ? k ? 1 ? ? T ? k ? 2 ?. k k ?1 ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? ?
T (a) 表示非负实数 a 的整数部分,例如 T (2.6) ? 2 , T (0.2) ? 0 .
按此方案,第 6 棵树种植点的坐标应为 ;第 2018 棵树种植点的坐标应 为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3
2

? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2
?

? ?

π?

? 2π ? ? ?

16. (本小题共 14 分) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,AC ? BC ? 2 ,?ACB ? 90 ,AP ? BP ? AB ,PC ? AC . (Ⅰ)求证: PC ? AB ; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 APB 的距离. A C P

B

17. (本小题共 13 分) 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少 有一名志愿者. (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (Ⅲ)设随机变量 ? 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 ? 的分布列.

18. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

2x ? b ,求导函数 f ?( x ) ,并确定 f ( x) 的单调区间. ( x ? 1)2

19. (本小题共 14 分) 已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 4 上,对角线 BD 所在直线的斜率为 1.

1) 时,求直线 AC 的方程; (Ⅰ)当直线 BD 过点 (0,
(Ⅱ)当 ?ABC ? 60 时,求菱形 ABCD 面积的最大值. 20. (本小题共 13 分) 对于每项均是正整数的数列 A:a1,a2, ,an ,定义变换 T1 , T1 将数列 A 变换成数列

n,a1 ?1 ,a2 ?1 , ,an ?1 . T1 ( A):
对于每项均是非负整数的数列 B:b1,b2, ,bm , 定义变换 T2 ,T2 将数列 B 各项从大到小 排列,然后去掉所有为零的项,得到数列 T2 ( B) ; 又定义 S (B) ? 2(b1 ? 2b2 ?
2 ? mbm ) ? b12 ? b2 ? 2 . ? bm

设 A0 是每项均为正整数的有穷数列,令 Ak ?1 ? T2 (T1 ( Ak ))(k ? 0, 1, 2, ) . (Ⅰ)如果数列 A0 为 5,3,2,写出数列 A1,A2 ; (Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列 A ,证明 S (T1 ( A)) ? S ( A) ; (Ⅲ) 证明: 对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 A0 , 存在正整数 K , 当 k ≥ K 时,

S ( Ak ?1 ) ? S ( Ak ) .

2018 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类) (北京卷)参考答案

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.D 2.A 3.B 4.D 5.B 6 .C 7.C 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. ? 1 10. 0 11.5 10 12. 2 ?2 13.② 14. (1 , 2)

8.B

(3 , 402)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (共 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ?

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2 2 2

π? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 6? 2 ?
因为函数 f ( x) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 , 所以

2π ? π ,解得 ? ? 1 . 2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

π? 1 ?? . 6? 2

2π , 3 π π 7π 所以 ? ≤ 2 x ? ≤ , 6 6 6
因为 0 ≤ x ≤ 所以 ?

1 π? ≤ sin ? ? 2 x ? ? ≤1 , 2 6? ? ? ? π? 1 3 ? 3? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? . 6? 2 2 ? 2?
P

因此 0 ≤ sin ? 2 x ?

16. (共 14 分) 解法一: (Ⅰ)取 AB 中点 D ,连结 PD,CD . AP ? BP , ? PD ? AB . AC ? BC , ? CD ? AB .

A C

D

B

PD CD ? D , ? AB ? 平面 PCD . PC ? 平面 PCD , ? PC ? AB . (Ⅱ) AC ? BC , AP ? BP , ?△ APC ≌△BPC . 又 PC ? AC , ? PC ? BC .
又 ?ACB ? 90 ,即 AC ? BC ,且 AC

P E A C B

PC ? C ,

? BC ? 平面 PAC . 取 AP 中点 E .连结 BE,CE . AB ? BP ,? BE ? AP . EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影, ? CE ? AP . ??BEC 是二面角 B ? AP ? C 的平面角.
在 △BCE 中, ?BCE ? 90 , BC ? 2 , BE ?

3 AB ? 6 , 2

? sin ?BEC ?

BC 6 . ? BE 3 6 . 3
P H D A C B

? 二面角 B ? AP ? C 的大小为 arcsin
(Ⅲ)由(Ⅰ)知 AB ? 平面 PCD , ? 平面 APB ? 平面 PCD . 过 C 作 CH ? PD ,垂足为 H . 平面 APB 平面 PCD ? PD ,

? CH ? 平面 APB . ? CH 的长即为点 C 到平面 APB 的距离. 由(Ⅰ)知 PC ? AB ,又 PC ? AC ,且 AB ? PC ? 平面 ABC . CD ? 平面 ABC , ? PC ? CD .
在 Rt△PCD 中, CD ?

AC ? A ,

1 3 AB ? 2 , PD ? PB ? 6 , 2 2

? PC ? PD2 ? CD2 ? 2 .
? CH ? PC CD 2 3 ? . PD 3

? 点 C 到平面 APB 的距离为

2 3 . 3

解法二: (Ⅰ) AC ? BC , AP ? BP , ?△ APC ≌△BPC . 又 PC ? AC , ? PC ? BC . AC BC ? C ,

? PC ? 平面 ABC . AB ? 平面 ABC , ? PC ? AB .
(Ⅱ)如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C ? xyz .

0,, 0) A(0, 2,, 0) B(2, 0, 0) . 则 C (0, 0,t ) . 设 P(0,
PB ? AB ? 2 2 ,
? t ? 2 , P(0, 0, 2) .
取 AP 中点 E ,连结 BE,CE . E y A C z P H x B

AC ? PC , AB ? BP ,
? CE ? AP , BE ? AP . ??BEC 是二面角 B ? AP ? C 的平面角.

E (0, 11) , , EC ? (0, ?1 , ?1) , EB ? (2, ?1, ?1) ,

? cos ?BEC ?

EC EB EC EB

?

2 3 . ? 3 2 6

? 二面角 B ? AP ? C 的大小为 arccos

3 . 3

(Ⅲ) AC ? BC ? PC , ? C 在平面 APB 内的射影为正 △ APB 的中心 H , 且 CH 的长为点 C 到平面 APB 的距离. 如(Ⅱ)建立空间直角坐标系 C ? xyz .

BH ? 2HE ,

?2 2 2? ? 点 H 的坐标为 ? , , ? . ?3 3 3?

? CH ?

2 3 . 3 2 3 . 3
3 A3 1 , ? 2 4 C5 A4 40

? 点 C 到平面 APB 的距离为
17. (共 13 分)

解: (Ⅰ)记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 EA ,那么 P( EA ) ? 即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是

1 . 40
4 A4 1 ? , 2 4 C5 A4 10

(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ,那么 P( E ) ? 所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P ( E ) ? 1 ? P ( E ) ?

9 . 10

(Ⅲ)随机变量 ? 可能取的值为 1,2.事件“ ? ? 2 ”是指有两人同时参加 A 岗位服务, 则 P(? ? 2) ?
3 C52 A3 1 ? . 3 4 C5 A4 4

所以 P (? ? 1) ? 1 ? P (? ? 2) ?

3 , ? 的分布列是 4

?
P
18. (共 13 分)

1

3

3 4

1 4

2( x ? 1)2 ? (2 x ? b) 2( x ? 1) 解: f ?( x) ? ( x ? 1)4
? ?2 x ? 2b ? 2 ( x ? 1)3 2[ x ? (b ? 1)] . ( x ? 1)3

??

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? b ? 1 .

当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时, f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(??,b ? 1)

b ?1

(b ?11) ,

(1 , ? ?)

?

0

?

?

当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时, f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(??, 1)

(1,b ? 1)

b ?1

(b ? 1, ? ?)

?

?

0

?

, 上单调递增, 所以,当 b ? 2 时,函数 f ( x) 在 (??,b ? 1) 上单调递减,在 (b ? 11) , ? ?) 上单调递减. 在 (1 1) 上单调递减,在 (1,b ? 1) 上单调递增,在 (b ? 1, ? ?) 上 当 b ? 2 时,函数 f ( x) 在 (??,
单调递减. 当 b ? 1 ? 1 ,即 b ? 2 时, f ( x ) ? 上单调递减. 19. (共 14 分) 解: (Ⅰ)由题意得直线 BD 的方程为 y ? x ? 1 . 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD . 于是可设直线 AC 的方程为 y ? ? x ? n .

2 1) 上单调递减,在 (1 , ? ?) ,所以函数 f ( x) 在 (??, x ?1

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, 2 2 由? 得 4 x ? 6nx ? 3n ? 4 ? 0 . y ? ? x ? n ?
因为 A,C 在椭圆上, 所以 ? ? ?12n ? 64 ? 0 ,解得 ?
2

4 3 4 3 ?n? . 3 3

设 A,C 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), ( x2,y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

3n 3n 2 ? 4 , x1 x2 ? , y1 ? ? x1 ? n , y2 ? ? x2 ? n . 2 4

所以 y1 ? y2 ?

n . 2

所以 AC 的中点坐标为 ?

? 3n n ? ,?. ? 4 4? ? 3n n ? , ? 在直线 y ? x ? 1 上, ? 4 4?

由四边形 ABCD 为菱形可知,点 ? 所以

n 3n ? ? 1 ,解得 n ? ?2 . 4 4

所以直线 AC 的方程为 y ? ? x ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . (Ⅱ)因为四边形 ABCD 为菱形,且 ?ABC ? 60 , 所以 AB ? BC ? CA . 所以菱形 ABCD 的面积 S ?

3 2 AC . 2
2 2

由(Ⅰ)可得 AC ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ?

2

?3n2 ? 16 , 2

所以 S ?

? 4 3 3 4 3? (?3n 2 ? 16) ? ? ?n? ?. ? 4 3 3 ? ? ?

所以当 n ? 0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 . 20. (共 13 分) (Ⅰ)解: A0: 5, 3, 2,

T1 ( A0 ): 3, 4, 2, 1, A1 ? T2 (T1 ( A0 )): 4, 3, 2, 1; T1 ( A1 ): 4, 3, 2, 1, 0, A2 ? T2 (T1 ( A1 )): 4, 3, 2, 1.
(Ⅱ)证明:设每项均是正整数的有穷数列 A 为 a1,a2, ,an , 则 T1 ( A) 为 n , a1 ? 1, a2 ? 1 , 从而 , an ? 1 ,

S (T1 ( A)) ? 2[n ? 2(a1 ?1) ? 3(a2 ?1) ?

? (n ? 1)(an ?1)]

?n2 ? (a1 ?1)2 ? (a2 ?1)2 ?

? (an ?1)2 .

又 S ( A) ? 2(a1 ? 2a2 ? 所以 S (T1 ( A)) ? S ( A)

2 ? nan ) ? a12 ? a2 ?

2 , ? an

? 2[n ? 2 ? 3 ?

? (n ? 1)] ? 2(a1 ? a2 ?

? an ) ?n2 ? 2(a1 ? a2 ?

? an ) ? n

? ?n(n ? 1) ? n2 ? n ? 0 ,
故 S (T1 ( A)) ? S ( A) . (Ⅲ)证明:设 A 是每项均为非负整数的数列 a1,a2, ,an . 当存在 1≤ i ? j ≤ n ,使得 ai ≤ a j 时,交换数列 A 的第 i 项与第 j 项得到数列 B , 则 S ( B) ? S ( A) ? 2(ia j ? jai ? iai ? ja j ) ? 2(i ? j )(a j ? ai ) ≤0 . 当存在 1≤ m ? n ,使得 am?1 ? am?2 ? 则 S (C ) ? S ( A) . 所以 S (T2 ( A)) ≤ S ( A) . 从而对于任意给定的数列 A0 ,由 Ak ?1 ? T2 (T1 ( Ak ))(k ? 0, 1, 2, ) 可知 S ( Ak ?1 ) ≤ S (T1 ( Ak )) . 又由(Ⅱ)可知 S (T1 ( Ak )) ? S ( Ak ) ,所以 S ( Ak ?1 ) ≤ S ( Ak ) . 即对于 k ? N ,要么有 S ( Ak ?1 ) ? S ( Ak ) ,要么有 S ( Ak ?1 ) ≤ S ( Ak ) ?1 . 因为 S ( Ak ) 是大于 2 的整数,所以经过有限步后,必有 S ( Ak ) ? S ( Ak ?1 ) ? S ( Ak ?2 ) ? 即存在正整数 K ,当 k ≥ K 时, S ( Ak ?1 ) ? S ( Ak ) . .

? an ? 0 时,若记数列 a1,a2, ,am 为 C ,

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