最新人教A版选修4-1高中数学达标测试8 圆的切线的性质及判定定理及答案


达标测试(八) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.AB 是⊙O 的切线,在下列给出的条件中,能判定 AB⊥CD 的是( A.AB 与⊙O 相切于直线 CD 上的点 C B.CD 经过圆心 O C.CD 是直径 D.AB 与⊙O 相切于 C,CD 过圆心 O 【解析】 【答案】 圆的切线垂直于过切点的半径或直径. D ) 2.已知⊙O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 30°,过 C 点的切线 PC 与 AB 的延 长线交于 P,PC=5,则⊙O 的半径是( A. 5 3 3 B. ) 5 3 6 C.10 【解析】 如图,连接 OC, D.5 ∠PAC=30°, 由圆周角定理知, ∠POC=2∠PAC=60°, 由切线性质知∠OCP=90°. ∴在 Rt△OCP 中,tan∠POC= ∴OC= PC . OC PC tan∠POC A = 5 5 3 = . tan 60° 3 【答案】 3.如图 2?3?13,CD 切⊙O 于 B,CO 的延长线交⊙O 于 A,若∠C=36°,则 ∠ABD 的度数是( ) 图 2?3?13 A.72° C.54° 【解析】 连接 O B.63° D.36° B. ∵CD 为⊙O 的切线,∴∠OBC=90°. ∵∠C=36°,∴∠BOC=54°. 又∵∠BOC=2∠A,∴∠A=27°, ∴∠ABD=∠A+∠C=27°+36°=63°. 【答案】 B 4.如图 2?3?14 所示,⊙O 是正△ABC 的内切圆,切点分别为 E,F,G,点 P 是弧 EG 上的任意一点,则∠EPF=( ) 图 2?3?14 A.120° C.60° 【解析】 B.90° D.30° 如图所示,连接 OE,OF. ∵OE⊥AB,OF⊥BC,∴∠BEO=∠BFO=90°, ∴∠EOF+∠ABC=180°, 1 ∴∠EOF=120°,∴∠EPF= ∠EOF=60°. 2 【答案】 C 5.如图 2?3?15 所示,AC 切⊙O 于 D,AO 的延长线交⊙O 于 B,且 AB⊥BC, 若 AD∶AC=1∶2,则 AO∶OB=( ) 图 2?3?15 A.2∶1 C.1∶2 【解析】 B.1∶1 D.1∶1.5 如图所示,连接 OD,OC,则 OD⊥AC. ∵AB⊥BC,∴∠ODC=∠OBC=90°. ∵OB=OD,OC=OC, ∴△CDO≌△CBO,∴BC=DC. ∵ AD 1 = ,∴AD=DC, AC 2 1 ∴BC= AC. 2 又 OB⊥BC,∴∠A=30°, 1 AO 2 ∴OB=OD= AO,∴ = . 2 OB 1 【答案】 二、填空题 6.如图 2?3?16,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=5,BC=12,⊙O 分别与 边 AB,AC 相切,切点分别为 E,C.则⊙O 的半径是________. A 图 2?3?16 【解析】 连接 OE,设 OE=r, ∵OC=OE=r,BC=12, 则 BO=12-r,AB= 122+52=13, 由△BEO∽△BCA,得 即 BO OE = , AB AC 12-r r 10 = ,解得 r= . 13 5 3 10 3 【答案】 7.如图 2?3?17,在半径分别为 5 cm 和 3 cm 的两个同心圆中,大圆的弦 AB 与小圆相切于点 C,则弦 AB 的长为______cm. 图 2?3?17 【解析】 连接 OA,OC, ∵AB 是小圆的切线, 1 ∴OC⊥AB,∴AC= A 2 ∵在 Rt△AOC 中, B. AC= 52-32=4(cm), ∴AB=8 cm. 【答案】 8 8.如图 2?3?18 所示,圆 O 的半径为 1,A,B,C 是圆周上的三点,满足∠ ABC=30°,过点 A 作圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P,则 PA=________. 图 2?3?18 【解析】 连接 OA.∵AP 为⊙O 的切线, ∴OA⊥AP. 又∠ABC=30°,∴∠AOC=60°. ∴在 Rt△AOP 中,OA=1,PA=OA·tan 60°= 3. 【答案】 三、解答题 9.如图 2?3?19, 已知 D 是△ABC 的边 AC 上的一点, AD∶DC=2∶1, ∠C=45°, ∠ADB=60°,求证:AB 是△BCD 的外接圆的切线. 【导学号:07370040】 3 图 2?3?19 【证明】 如图,连接 OB,OC,OD,设 OD 交 BC 于 E. 所对的圆周角, 因为∠DCB 是 ∠BOD 是 所对的圆心角, ∠BCD=45°, 所以∠BOD=90°. 因为∠ADB 是△BCD 的一个外角, 所以∠DBC=∠ADB-∠ACB=60°-45°=15°, 所以∠DOC=2∠DBC=30°, 从而∠BOC=120°. 因为 OB=OC,所以∠OBC=∠OCB=30°. 在△OEC 中, 因为∠EOC=∠ECO=30°, 所以 OE=EC. 在△BOE 中,因为∠BOE=90°,∠EBO=30°,所以 BE=2OE=2EC, 所以 CE CD 1 = = , BE DA 2 所以 AB∥OD,所以∠ABO=90°, 故 AB 是△BCD 的外接圆的切线. 10. 如图 2?3?20, AB 是⊙O 的直径, 点 P 在 BA 的延长线上, 弦 CD⊥AB 于 E, ∠POC=∠PCE. 图 2?3?20 (1)求证:PC 是⊙O 的切线; (2)若 OE∶EA=1∶2,PA=6,求⊙O 半径. 【解】 (1)证明:在△OCP 与△CEP 中, ∵∠POC=∠PCE,∠OPC=∠CPE, ∴∠OCP=∠CEP. ∵CD⊥AB,∴∠CEP=90°, ∴∠OCP=90°. 又∵C 点在圆上,∴PC 是⊙O 的切线. (2)法一:设 OE=x,则 EA=2x,OC=OA=3x. ∵∠COE=∠AOC,

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