福建省安溪一中、惠安一中、养正中学10-11学年高二数学下学期期末联考试卷 理 新人教A版【会员独享】


养正中学、惠安一中、安溪一中 2010—2011 学年度高二(下)期末 联考

数学试卷 (选修 2-2,2-3,4-2,4-4)
(考试时间为 120 分钟,满分为 150 分)

?

? (x
i ?1

n

i

? x )( y i ? y ) ? x)
2

?

?

参考公式:1. b ?

? (x
i ?1

n

a ? y ?bx
i

2. K

2

?

n ( ad ? bc )

2

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

(n=a+b+c+d 为样本容量)

第Ⅰ卷

(选择题

共 50 分)

一、选择题: (本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置.) 1.已知 x 与 y 之间的一组数据如右,则 y 与 x 的线性回归方程为 y=bx+a 必过( ) x 0 1 2 3 y 1 3 5 7

A.点 ? 2 , 2 ?

B.点 ?1 . 5 , 0 ?

C.点 ?1, 2 ?

D.点 ?1 . 5 , 4 ?

2. 设某种植物由出生算起长到 1m 的概率为 0.8,长到 2m 的概率为 0.4,现有一个 1m 的 这种植物,它能长到 2m 的概率是( ) A.0.32 B.0.4 C.0.5 D.0.8 3.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中,直线 l: y ? kx ? 2 ? 0 与曲线 C:
? ? 2 cos ? 相交,则 k 的取值范围是(

) 。
k? R

A 4 A

k ? ?

3 4

B

k ? ?

3 4

C

D

k ? R 但k ? 0

6 本不同的书平均分成三堆,每堆两本,不同的分法种数是(



C6C4

2

2

B

C6C4C2 A3
3

2

2

2

C

6A3

3

D

C

3 6

5.分类变量 X 和 Y 的列联表如右:则下列说法中正确的是(



A.ad-bc 越小,说明 X 与 Y 关系越弱 B.ad-bc 越大,说明 X 与 Y 关系越强 C.(ad-bc)2 越大,说明 X 与 Y 关系越强 D.(ad-bc)2 越接近于 0,说明 X 与 Y 关系越强
用心 爱心 专心

y1 a c 总计 a+c x1 x2

y2 b d b+d

总计

a+b c+d a+b+c+d
1

不共面的四个定点到平面 ? 的距离都相等,这样的平面 ? 共有( ) A 3个 B 4个 C 6个 D 7个 7 从不同号码的 5 双鞋中任取 4 只,其中恰好有 1 双的取法种数为( ) A 120 B 240 C 280 D 60 8、锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个,花生馅汤圆 5 个,豆沙馅汤圆 4 个,这三种汤圆的外部特 征完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆,则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为( ) 6 A.
8 91
2

B.

25 91
n

C.

48 91

D.
2n

60 91

( 9、设 1 ? x ? x ) ? a 0 ? a 1 x ? ? ? a 2 n x

,
n

则 a 2 ? a 4 ? ? ? a 2 n 的值为( D.
3
n



3

n

?1 2

3

n

?1 2

A.

B.

C.

3 ?2

10、.位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向 为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是
( x , y ), 则 x ? y ? 2 5 的概率为(
2 2

1 2

.质点 P 移动 5 次后位于点

) ( )
7 8

( )1

( )

15 16

( )

13 16

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分.请把答案填在答题纸的相应位置 11.曲线 y= lo g
x 在矩阵
2

M= ? ?

?0 ?1
2 3

1? ? 作用下变换的结果是曲线方程 ? 0?
4 5

.

12.若随机变量 X ~ N ( ? , ? ) , ? ? 8 且 p(x<4)=a, 则 p(x<12)=________(用 a 表示) 13. ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) 的展开式中的 x 的系数是___________
2

3

14 马老师从课本上抄录一个随机变量 ? 的概率分布律如下表:
x
P (? ? x )

1 ?

2 !

3 ?

请小牛同学计算 ? 的数学期望.尽管“! ”处完全无法看清,且两个“?”处字 迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案
E?

=

.

15. 某数学老师身高 176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173cm、170cm、和 182cm. 因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.
用心 爱心 专心 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、 (本小题满分 13 分)选修 4—2 矩阵与变换 已知矩阵 A= ? ?
? 1 ??1 a? ?2? ? ,A 的一个特征值 ? ? 2 ,其对应的特征向量是 ? 1 ? ? ? ? ? ? b? ?1 ?

(1)求矩阵 A ; (2)若向量 ? ? ? ? ,计算 A 5 ? 的值. ? ? ?4? (3)若矩阵 B= ? ?
?1 ?0 0 ? -1 ? ,求 A B ? ? 1?

?7?

17.(本小题满分 13 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?
? x ? cos ? ,
2

? y ? 1 ? 2 cos ? .

(? 为参数) ,点 M 的坐

标为 ( ? 1,1) ;若以该直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, (1)请将点 M 的直角坐标化为极坐标(限定 ? ? 0, ? ? ? ? ? ? ) ; (2)求出以 M 为圆心,半径为 2 的圆的极坐标方程. (3)若点 N 是曲线C上的任一点,求线段 MN的长度的最大值和最小值. 18.(本小题满分 13 分) 某班主任对全班 50 名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表 所示: 积极参加班级 不太主动参加 合计 工作 班级工作 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一 6 19 25 般 合计 24 26 50 (1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少? 抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少? (2)试运用独立性检验的思想方法点拨:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有 关系?并说明理由.(参考下表) 2 P(K ≥ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k) 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 k 10.828

用心

爱心

专心

3

19 (本小题满分 13 分) 如图, A , B 两点之间有 6 条网线并联,它们能通过的最大信息 量分别为 1,1, 2, 2, 3, 4 现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量

(I)设选取的三条网线由 A 到 B 可通过的信息总量为 x ,当 x ? 6 时,则保证信息畅 通 求线路信息畅通的概率; (II)求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望

20、 (本小题满分 14 分)在一次抗洪抢险中,准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下 的一只巨大汽油罐。已知只有 5 发子弹备用,且首次命中只能使汽油流出,再次命
2

中才能引爆成功.每次射击命中的概率都是 3 ,每次命中与否互相独立。 (I)求恰好射击 5 次引爆油罐的概率; (II)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为 ? ,求 ? 的分布列及 ? 的数学期 望。

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? ln ( x ? a ) ? x ? x 在点 x ? 0 处取得极值.
2

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ) 若关于 x 的方程 f ( x ) ? ?
5 2 x ? b 在区间 [0, 2 ] 上有两个不等实根, b 的取值范围; 求
n
2

? n ?1? (Ⅲ)证明:对于任意的正整数 n ,不等式 ? ? ? n ?

? e

n ?1

都成立.

用心

爱心

专心

4

养正中学、惠安一中、安溪一中 2010—2011 学年度高二(下)期末联考

数学试卷 参考答案
一.选择题: (本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.D 2.C 3.A 4.B 5.C 6.D 7.A 8.C 9.B 10.B 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分. x 11. y= 2 12. 1-a 13..15 14.2 15. 185 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分 16.解: (1) A= ? ?
? 1 ??1 2? ?; ? 4?
? ?1
1 ?2

(2)矩阵 A 的特征多项式为 f ( ? ) ? 当 ?1 ? 2时 ? 1 ? ? ? ? ? ?1 ?
?2m ? n ? 7 得 m ? 3, n ? 1 ? ?m ? n ? 4

? ?4

? ? ? 5? ? 6? 0 ,得 ?1 ? 2, ? 2 ? 3
2

,

?2?

, 当 ? 2 ? 3时 , 得 ? 2 ? ? ? . ? ? ?1?

?1?

由 ? ? m ? 1 ? n? 2 , 得



∴ A 5 ? ? A 5 (3? 1 ? ? 2 ) ? 3( A 5? 1 ) ? A 5? 2
? 3 = ( ? 1 ? 1)? ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? 1 ? ? 339 ?
5 5 5 5

?2?

?1?

? 435 ?

(3)∵det(A)=6 ∴ A ? 1

? ? ? ? ? ? ?
2

2 3 1 6
2

-

1? ?2 ? ? 3 ? ∴ A ?1 B ? ? 3 1 ? ?1 ? ? 6 ? ?6

-

1? ? 3 ?? 1 ? 1 ?? 0 ?? 6 ?

? 0 ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ?

2 3 1 6
1 ?1

1 ? ? 3 ? 1 ? ? ? 6?
? ? 1,? ? ? 3? 4

17. 解: (1)? ?

( ? 1) ? 1 ?
3? 4 ).

2 , 又点 M 在第二象限内, ta n ? ? 且

.

即点 M 的极坐标 ( 2 ,

(2) 所求的圆的极坐标方程是 (3) M N ?
?
4

? ? 2 2 cos(
2

3? 4

??)
2 2

( x ? 1) ? ( y ? 1)
2
2

?

(co s ? ? 1) ? (1 ? 2 co s ? ? 1)
2
2 2

co s ? ? 6 co s ? ? 1 ?

(co s ? ? 3) ? 8 ,

用心

爱心

专心

5

故当 co s ? ? 0 时, M N 取最小值1;当 co s ? ? ? 1 时, M N 取最大值 2 2 18.解:(1)积极参加班级工作的学生有 24 人,总人数为 50 人,概率为 不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有 19 人,概率为
50 ? (18 ? 19 ? 6 ? 7 ) 24 ? 25 ? 24 ? 26
2

24 50

?

12 25



19 50

.

(2) K
2

2

?

?

150 13

? 11 . 5 ,

∵K >6.635, ∴有 99%的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系. 19.解: (I)? 1 ? 1 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 ,? P ( x ? 6 ) ?
1? C2 ?C2
1 1

C6

3

?

1 4

? 1 ? 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? 7 ,? P ( x ? 7 ) ? ? 1 ? 3 ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 ? 8 ,? P ( x ? 8 ) ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 9 ,? P ( x ? 9 ) ? ? P ( x ? 6) ? 1 4 ? 1 4 ? 3 20
1 10

5 20 3 20

?

1 4

2 20

? 3 4

1 10

?

1 10

?

(II)? 1 ? 1 ? 2 ? 4 , P ( x ? 4 ) ?

,? 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 2 ? 2 ? 5 , P ( x ? 5 ) ?

3 20

∴线路通过信息量的数学期望
? 4? 1 10 ? 5? 3 20 ? 6? 1 4 3 4 ?7? 1 4 ? 8? 3 20 ? 9? 1 10 ? 6 .5

答: (I)线路信息畅通的概率是

(II)线路通过信息量的数学期望是 6 .5


20. 解: (Ⅰ)∵每次命中与否互相独立.且每次射击命中的概率都是
∴是一个独立重复试验, 记“恰好射击 5 次引爆油罐”的事件为事件 A, 表示前四次有一次射中且第五次一定击中,



. 用心 爱心 专心 6

(Ⅱ)射击次数 ξ 的可能取值为 2,3,4,5. 当 ξ=2 时,表示两枪都击中, 当 ξ=3 时,表示前两枪中有一枪击中且第三枪一定击中, 当 ξ=4 时,表示前三枪中有一枪击中且第四枪一定击中, 当 ξ=5 时,表示前四枪中有一枪击中且第五枪一定击中, ∴

P ( ? ? 2) ? ( 2 ) 3

2

?

4 9



P ( ? ? 3) ? C 2 ? ( 2 ) ? 3
1 2

1 3

?

8 27



1 2 4 4 8 4 1 1 2 P ( ? ? 4) ? C 3 ? ( 2 ) ? ( ) ? ? ? ? ; P ( ? ? 5) ? 1 ? . 3 3 27 9 27 27 9
∴ξ 的分布列为

. E( ? ) ? 2 ?

4 9

? 3?

8 27

? 4?

4 27

? 5?

1 9

?

79 27

∴所求 ξ 的数学期望为


2

21.解: (Ⅰ)∵ f ( x ) ? ln ( x ? a ) ? x ? x , ∴ f (x) ?
'

1 x?a

? 2x ?1
2

∵函数 f ( x ) ? ln ( x ? a ) ? x ? x 在点 x ? 0 处取得极值, ∴ f ' ( 0 ) ? 0 ,即当 x ? 0 时 ∴
1 a ? 1 ? 0 ,则得 a ? 1 .
5 2 x ? b ,∴ ln( x ? 1 ) ? x
2 2

1 x? a

? 2x ?1 ? 0 ,

(Ⅱ)∵ f ( x ) ? ?

? x ? ?

5 2

x ? b,

∴ ln( x ? 1) ? x ?

3 2

x ? b.
2

令 h ( x ) ? ln( x ? 1) ? x ?

3 2

x ( x ? ? 1) ,

用心

爱心

专心

7

则 h '( x ) ?

1 x ?1

? 2x ?

3 2

? ?

( 4 x ? 5 )( x ? 1) 2 ( x ? 1)

.

∵ x ? ?1 , ∴ 令 h '( x ) ? 0 , 解得 ? 1 ? x ? 1 ;令 h '( x ) ? 0 , 解得 x ? 1 , ∴可得如下当 x ? ?0 , 2 ? 时, h ' ( x ), h ( x ) 随 x 的变化情况表:
x
h'(x) h(x)

0
5 2

(0,1) + ↗
5 2

1 0
ln 2 ? 1 2

(1,2) ↘
?

2
13 6
ln 3 ? 1

0

∵“关于 x 的方程 f ( x ) ? ?

x ? b 在区间 [0, 2 ] 上有两个不等实根”等价于“在
2

x ? [0, 2 ] 内,函数 h ( x ) ? ln( x ? 1) ? x

?

3 2

x 的图像和直线 y ? b 有两个交点” , 1 2 ).

∴由上表可知, b ? [ln 3 ? 1, ln 2 ?

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? x ? x ( x ? ? 1) ,
2

则 f '( x ) ?

1 x ?1

? 2x ?1 ? ?

x ( 2 x ? 3) x ?1

.

∵解 f '( x ) ? 0 得 ? 1 ? x ? 0 ,解 f '( x ) ? 0 得 x ? 0 , ∴ f ( x ) 在 ? ? 1, 0 ? 递增,在 (0, ? ? ) 递减, ∴当 x ? ? ? 1, ?? ? 时, f ( x ) ? f (0 ) ? 0 . ∵
1 n 1 n ? ?1且 1 n 1 1 2 1 ? 1) ? ( ) ? ? 0, n n n ? 0,

∴ f ( ) ? 0 ,即 ln( ∴ ln(
n ?1 n ) ?
2

n ?1 n
2

, n ln(

2

n ?1 n

) ? n ? 1 , ln (

n ?1 n

)

n

2

? n ? 1 ? ln e

n ?1

,

? n ?1? ∴? ? ? n ?

n

? e

n ?1

.

用心

爱心

专心

8


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