2018版高中数学人教B版选修2-1学案:3.1.1 空间向量的线性运算 完美版


3.1.1 空间向量的线性运算
学习目标 1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等的概 念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差,了解向量加法的交换律和结合 律.3.掌握数乘向量运算的意义及运算律.
知识点一 空间向量的概念 思考 类比平面向量的概念,给出空间向量的概念.

梳理 (1)在空间,把具有________和________的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的

________或______. 空间向量也用有向线段表示,有向线段的________表示向量的模,向量 a 的起点是 A,终点

是 B,则向量 a 也可记作A→B,其模记为________. (2)几类特殊的空间向量

名称

定义及表示

零向量

起点与终点重合的向量叫做__________,记为 0

单位向量

________的向量称为单位向量

相反向量 与向量 a 长度________而方向________的向量,称为 a 的相反向量,记为-a

相等向量

方向________且模________的向量称为相等向量,________且________的有 向线段表示同一向量或相等向量

共线向量或

平行向量

有向线段所在的直线叫做向量的基线.如果空间中一些向量的基线 ____________,则这些向量叫做________或________

知识点二 空间向量的加减运算及运算律 思考 1 下面给出了两个空间向量 a、b,作出 b+a,b-a.
思考 2 由上述的运算过程总结一下,如何求空间两个向量 的和与差?下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则?
梳理 (1)类似于平面向量,可以定义空间向量的加法和减法运算.
O→B=O→A+A→B=a+b, C→A=O→A-O→C=a-b. (2)空间向量加法交换律 a+b=________, 空间向量加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c). 知识点三 数乘向量运算 思考 实数 λ 和空间向量 a 的乘积 λa 的意义是什么?向量的数乘运算满足哪些运算律?
梳理 (1)实数与向量的积 与平面向量一样,实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λa 仍然是一个向量,称为向量的数乘运算, 记作 λa,其长度和方向规定如下: ①|λa|=________. ②当 λ>0 时,λa 与向量 a 方向相同;当 λ<0 时,λa 与向量 a 方向________;当 λ=0 时,λa

=0. (2)空间向量数乘运算满足以下运算律 ①λ(μa)=________; ②λ(a+b)=____________.

类型一 有关空间向量的概念的理解

例 1 给出以下结论:

①两个空间向量相等,则它们的起点和终点分别相同;②若空间向量 a,b 满足|a|=|b|,则 a

=b;③在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,必有A→C=A→1C1;④若空间向量 m,n,p 满足 m=n, n=p,则 m=p.其中不正确的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

反思与感悟 在空间中,向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一

致,两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条

件是大小相等,方向相反.

跟踪训练 1 (1) 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,下列四对向量:①A→B与C→1D1;②A→C1与B→D1; ③A→D1与C→1B;④A→1D与B→1C.其中互为相反向量的有 n 对,则 n 等于( )

A.1

B.2

C.3

D.4

(2)如图,在长方体 ABCD-A′B′C′D′中,AB=3,AD=2,AA′=1,则分别以长方体

的顶点为起点和终点的向量中:

①单位向量共有多少个? ②试写出模为 5的所有向量. ③试写出与向量A→B相等的所有向量.

④试写出向量A→A′的所有相反向量.
类型二 空间向量的加减运算
例 2 如图,已知长方体 ABCDA′B′C′D′,化简下列向量表达式,并在图中标出化简 结果的向量. (1)A→A′-C→B; (2)A→A′+A→B+B′→C′.
引申探究 利用例 2 题图,化简A―A―→′+A――′――B―→′+―B―′―――C―′→+――C―′――A→.
反思与感悟 (1)首尾顺次相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终 点的向量,即A→1A2+A→2A3+A→3A4+…+An-1An=A→1An. (2) 首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为 0.如图,O→B+B→C+C→D+ D→E+E→F+F→G+G→H+H→O=0.
(3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算,即 a-b=a+(-b). (4)由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内,成为同一个平面内的两个向量,而平 面向量满足加法交换律,因此空间向量也满足加法交换律. (5)空间向量加法结合律的证明:如图,(a+b)+c=(O→A+A→B)+B→C=O→B+B→C=O→C,a+(b +c)=O→A+(A→B+B→C)=O→A+A→C=O→C, 所以(a+b)+c=a+(b+c).

跟踪训练 2 在如图所示的平行六面体中,求证:A→C+A→B′+AD→′=2AC→′.
类型三 数乘向量运算 例 3 如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设A→A1=a,A→B=b,A→D=c,M,N, P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 表示以下各向量:
(1)A→P;(2)A→1N;(3)M→P+N→C1.
引申探究 若把本例中“P 是 C1D1 的中点”改为“P 在线段 C1D1 上,且PCD1P1=12”,其他条件不变,如 何表示A→P?
反思与感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合:利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则, 将目标向量转化为已知向量. (2)明确目标:在化简过程中要有目标意识,巧妙运用中点性质. 跟踪训练 3 如图,在空间四边形 OABC 中,M,N 分别是对边 OA,BC 的中点,点 G 在 MN 上,且 MG=2GN,如图所示,记O→A=a,O→B=b,O→C=c,试用向量 a,b,c 表示向量 O→G.

1.下列命题中,假命题是( )

A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小

B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同

C.只有零向量的模等于 0

D.空间中任意两个单位向量必相等

2.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,与向量A→D相等的向量共有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

3.向量 a,b 互为相反向量,已知|b|=3,则下列结论正确的是( )

A.a=b

B.a+b 为实数 0

C.a 与 b 方向相同

D.|a|=3

4.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,已知下列各式: ①(A→B+B→C)+C→C1;②(A→A1+A→1D1)+D→1C1;③(A→B+B→B1)+B1C1;④(A→A1+A→1B1)+B→1C1.其中 运算的结果为A→C1的有________个. 5.化简 2A→B+2B→C+3C→D+3D→A+A→C=________.

1.一些特殊向量的特性 (1)零向量不是没有方向,而是它的方向是任意的. (2)单位向量方向虽然不一定相同,但它们的长度都是 1. (3)两个向量模相等,不一定是相等向量,反之,若两个向量相等,则它们不仅模相等,方 向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量. 2.空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量:向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键,灵活运用相 反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向

量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果. 提醒:完成作业 第三章 3.1.1

答案精析
问题导学 知识点一 思考 在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量. 梳理 (1)大小 方向 长度 模 长度 |a|或|A→B| (2)零向量 模为 1 相等 相反 相同 相等 同向 等长 互相平行或重合 共线向量 平行向量 知识点二 思考 1 如图,空间中的两个向量 a,b 相加时,我们可以先把向量 a,b 平移到同一个平面 α 内,以任意点 O 为起点作O→A=a,O→B=b,则O→C=O→A+O→B=a+b,A→B=O→B-O→A=b- a.
思考 2 先将两个向量平移到同一个平面,然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平 行四边形法则)运算即可;图 1 是三角形法则,图 2 是平行四边形法则. 梳理 (2)b+a 知识点三 思考 λ>0 时,λa 和 a 方向相同;λ<0 时,λa 和 a 方向相反;λa 的长度是 a 的长度的|λ|倍. 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律: ①分配律:λ(a+b)=λa+λb, ②结合律:λ(μa)=(λμ)a. 梳理 (1)①|λ||a| ②相反 (2)①(λμ)a ②λa+λb 题型探究 例1 B 跟踪训练 1 (1)B (2)解 ①由于长方体的高为 1,所以长方体的四条高所对应的向量A→A′,―A―′→A ,―B―B′→,―B―′→B , ―C―C′→,―C′ ―→C,―DD―′→,D―′→D,共 8 个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为 1,故单 位向量共有 8 个. ②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为 5,故模为 5的向量有A―D→′,D―′→A,A―′→D, D―A→′,B―C→′, C―′→B ,B―′→C,C―B→′.

③与向量A→B相等的所有向量(除它自身之外)有A―′―B→′,D→C及D―′―C→′. ④向量A―A→′的相反向量有―A′―→A ,―B′―→B ,―C′ ―→C,―D′ ―→D. 例 2 解 (1)―AA―′→-C→B=A―A→′-D→A=A―A→′+A→D=A―D→′. (2)A―A→′+A→B+B―′―C→′=(A―A→′+A→B)+B′→C′=A―B→′+B―′――C→′=A―C→′.向量A―D→′、A―C→′如 图所示.
引申探究 解 结合加法运算 A―A→′+A―′―B→′=A―B→′,A―B→′+B―′―C→′=―AC―′→,―AC―′→+―C―′→A =0. 故A―A→′+A―′―B→′+B―′―C→′+―C―′→A =0. 跟踪训练 2 证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形, ∴A→C=A→B+A→D,A→B′=A→B+A→A′,A→D′=A→D+A→A′, ∴A→C+A→B′+A→D′ =(A→B+A→D)+(A→B+A→A′)+(A→D+A→A′)=2(A→B+A→D+A→A′). 又∵A→A′=C→C′,A→D=B→C, ∴A→B+A→D+A→A′=A→B+B→C+C→C′=A→C+C→C′=A→C′. ∴A→C+A→B′+A→D′=2A→C′. 例 3 解 (1)A→P=A→D1+D→1P =(A→A1+A→D)+12A→B =a+c+12b. (2)A→1N=A→1A+A→N =-A→A1+A→B+12A→D =-a+b+12c. (3)M→P+N→C1=(M→A1+A→1D1+D→1P)+(N→C+C→C1)

=12A→A1+A→D+12A→B+12A→D+A→A1 =32A→A1+32A→D+12A→B =32a+12b+32c. 引申探究 解 A→P=A→D1+D→1P =A→A1+A→D+23A→B=a+c+23b. 跟踪训练 3 解 O→G=O→M+M→G=O→M+23M→N=12O→A+23(M→O+O→C+C→N)=12a+23[-12a+c+ 12(b-c)] =16a+13b+13c. 当堂训练 1.D 2.C 3.D 4.4 5.0
风,没有衣裳;时间,没有居所;它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且,还有诗和远方的田野。你赤手空拳来到人世间,为了心中的那片海不顾一切。 运动太多和太少,同样的 损伤体力;饮食过多与过少,同样的损伤健康;唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康。 秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少 年路岁月极美,在于它必然的流逝。 春花、秋月、夏日、冬雪。 你必汗流满面才得糊口,直到你归了土;因为你是从土而出的。你本是尘土,仍要归于尘土。 我始终相信,开始在内心生活得更严肃的人,也会在外表上开始生 活得更朴素。在一个奢华浪费的年代,我希望能向世界表明,人类真正需要的的东西是非常之微少的。世界上的事情,最忌讳的就是个十全十美,你看那天上的月亮,一旦圆满了,马上就要 亏厌;树上的果子,一旦熟透了,马上就要坠落。凡事总要稍留欠缺,才能持恒。 只有经历过地狱般的磨砺,才能练就创造天堂的力量;只有流过血的手指,才能弹出世间的绝响。时光只顾 催人老,不解多情,长恨离亭,滴泪春衫酒易醒。梧桐昨夜西风急,淡月朦胧,好梦频惊,何处高楼雁一声? 如果你长时间盯着深渊,深渊也会盯着你。 所有的结局都已写好 所有的泪水也 都已启程 却忽然忘了是怎么样的一个开始 在那个古老的不再回来的夏日 无论我如何地去追索 年轻的你只如云影掠过 而你微笑的面容极浅极淡 逐渐隐没在日落后的群岚 遂翻开那发黄的 扉页 命运将它装订得极为拙劣 含着泪 我一读再读 却不得不承认青春是一本太仓促的书 记忆是无花的蔷薇,永远不会败落。 我也要求你读书用功,不是因为我要你跟别人比成就,而是因 为,我希望你将来会拥有选择的权利,选择有意义,有时间的工作,而不是被迫谋生。 尽管心很累 很疲倦 我却没有理由后退 或滞留在过去与未来之间 三千年读史,不外功名利禄;九万里悟道,终归诗酒田园。 这是一个最好的时代,这是一个最坏的时代这是一个智慧的年代,这是一个愚蠢的年代;这是一个光明的季节,这是一个黑暗的季 节;这是希望之春,这是失望之冬;人们面前应有尽有,人们面前一无所有;人们正踏上天堂之路,人们正走向地狱之门。 我有所感事,结在深深肠。 你一定要“离开”才能开展你自己。 所谓父母,就是那不断对着背影既欣喜又悲伤,想追回拥抱又不敢声张的人。 心之所向 素履以往 生如逆旅 一个人的行走范围,就是他的世界。因为爱过,所以慈悲;因为懂得,所以宽容。 刻意去找的东西,往往是找不到的。天下万物的来和去,都有他的时间。 与善人居,如入芝兰之室,久而自芳也;与恶人居,如入鲍鱼之肆,久而自臭也。 曾经沧海难为水,除却巫山不是 云。 回首向来萧瑟处,归去,也无风雨也无晴。 半生闯荡,带来家业丰厚,儿孙满堂,行走一生的脚步,起点,终点,归根到底,都是家所在的地方,这是中国人秉持千年的信仰,朴素, 但有力量。风吹不倒有根的树我能承受多少磨难,就可以问老天要多少人生。心,若没有栖息的地方,到哪里都是流浪...如果有来生,要做一只鸟,飞越永恒,没有迷途的苦恼。东方有火红 的希望,南方有温暖的巢床,向西逐退残阳,向北唤醒芬芳。如果有来生,希望每次相遇,都能化为永恒。不乱于心,不困于情。不畏将来,不念过往。如此,安好。 笑,全世界便与你同声 笑,哭,你便独自哭。 一辈子,不说后悔,不诉离伤。上帝作证,我是真的想忘记,但上帝也知道,我是真的忘不了 如果其中一半是百分百的话那就不是选择了而是正确答案了,一半一半, 选哪一半都很困难,所以这才是选择。跟着你,在哪里,做什么,都好。眠。我倾尽一生,囚你无期。择一人深爱,等一人终老。痴一人情深,留一世繁华。断一根琴弦,歌一曲离别。我背 弃一切,共度朝夕。 人总是在接近幸福时倍感幸福,在幸福进行时却患得患失。路过的已经路过,留下的且当珍惜 我相信,真正在乎我的人是不会被别人抢走的,无论是友情,还是爱情。 我还是相信,星星会说话,石头会开花,穿过夏天的木栅栏和冬天的风雪之后,你终会抵达! 每一个不曾起舞的日子,都是对生命的辜负。 每个清晨都像一记响亮的耳光,提醒我,若不学 会遗忘,就背负绝望。 那一年夏天的雨,像天上的星星一样多,给我美丽的晴空,我们都有小小的伤口,把年轻的爱缝缝又补补,我会一直站在你左右,陪你到最后的最后。 如果一开始就知道是这样 的结局,我不知道自己是不是会那样的奋不顾身。 黄昏是一天最美丽的时刻,愿每一颗流浪的心,在一盏灯光下,得到永远的归宿。 因为有了因为,所以有了所以。既然已成既然,何必再

说何必。想念是人最无奈的时候唯一能做的事情。你受的苦,会照亮你的路。 我希望有个如你一般的人。 如这山间清晨一般明亮清爽的人,如奔赴古城道路上阳光一般的人,温暖而不炙热,覆盖我所有肌肤。由起点到夜晚,由山野到书房,一切问题的答案都很简单。我希望有个如你一般的人, 贯彻未来,数遍生命的公路牌。 岁月极美,在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪说并用程这为再年余生,风雪是你,成多每内淡是你,清贫是你,荣华是你,心底温柔是你,并用光 所内为界,也是你。个人的遭遇,命运的多舛都使我被迫成熟,这一切的代价都当是日后活下去的力量。送你的白色沙漏,是一个关于成长的礼物,如果能给你爱和感动,我是多么的幸福,我有过 很多的朋友,没有谁像你一样的温柔,每当你牵起我的手,我就忘掉什么是忧愁。很多故事不就是因为没有结局才有了继续等下去的理由。 有些人,有些事,是不是你想忘记,就真的能忘记?也许有 那么一个时侯,你忽然会觉得很绝望,觉得全世界都背弃了你,活着就是承担屈辱和痛苦。这个时候你要对自己说,没关系,很多人都是这样长大的。风平浪静的人生是中年以后的追求。当 你尚在年少,你受的苦,吃的亏,担的责,扛的罪,忍的痛,到最后都会变成光,照亮你的路。 你要做一个不动声色的大人了。不准情绪化,不准偷偷想念,不准回头看。去过自己另外的生 活。你要听话,不是所有的鱼都会生活在同一片海里。有人说,鲁迅是杂文,胡适是评论;鲁迅是酒,胡适是水。酒让人看到真性情,也看到癫狂,唯有水,才是日常所需,是真生活。有时 候会很自豪地觉得,我唯一的优势就是,比你卑微。于是自由。再也读不到传世的檄文,只剩下廊柱上龙飞凤舞的楹联。再也找不见慷慨的遗恨,只剩下几座既可凭吊也可休息的亭台。再也 不去期待历史的震颤,只有凛然安坐着的万古湖山。 呼兰河这小城里边,以前住着我的祖父,现在埋着我的祖父。 诗意上来时,文字不要破坏它。 水,看似柔顺无骨,却能变得气势滚滚, 波涌浪叠,无比强大;看似无色无味,却能挥洒出茫茫绿野,累累硕果,万紫千红;看似自处低下,却能蒸腾九霄,为云为雨,为虹为霞…… 一切达观,都是对悲苦的省略 我们孩还发多夫 道知道了,就得看不我们后心回的”家“,不是起用看把一个有邮递区号、邮差找得到的家,后心天能们后心回的”家“,不是空于而,风每都到小是一段时光。 它们能够躲过所有凝视的目 光,却躲不过那些出其不意投来的目光。 中国人对待自然环境与外国人截然不同,外国人注意到的是人如何改变土地,而中国人关注的是土地怎样改变了人。、堂皇转眼凋零,喧腾是短命的别名。在流光溢彩的日子里,生命被铸上妖 冶的印记。托尔斯泰说:“忧来无方,窗外下雨,坐沙发,吃巧克力,读狄更斯,心情又会好起来,和世界妥协。” 成熟是一种明亮而不刺眼的光辉,一种圆润而不腻耳的声响,一种不再需要 对别人察言观色的从容,一种终于停止向周围申诉求告的大气,一种不理会喧闹的微笑,一种洗刷了偏激的淡漠,一种无需声张的厚实,一种能够看的很远却并不陡峭的高度。我不要天堂, 我只要底线。因为没有底线,就没有自由。 宠辱不惊,看庭前花开花落;去留无意,望天上云卷云舒。 如果你想知道周围有多么黑暗,你就得留意远处的微弱光线。如果我没有刀,我就不能保护你。如果我有刀,我就不能拥抱你。“今 天比昨天慈悲,今天比昨天智慧,今天比昨天快乐。这就是成功。” 没有悲剧就没有悲壮,没有悲壮就没有崇高 我们都在阴沟里,但仍有人仰望星空。 没有人性的觉醒,权力与财富只使人 更粗鄙堕落。 满地都是六便士,他却抬头看见了月亮。走出酒吧的那一刹,我被遽然刺来的阳光下了一跳。闭上眼,我想起了我的收音机。它已经很旧很老,退役多年了。


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