最新精品(衡水中学专用)高考数学解题技巧大揭秘专题二十一 问题数学思想在解题中的应用(一)


专题二十一 问题数学思想在解题中的应用(一) 1? 2 2 1.设平面点集 A={(x,y)|(y-x)? ?y-x?≥0},B={(x,y)|(x-1) +(y-1) ≤1},则 A∩B 所表示的平面图形的面积为( 3 3 4 π A. π B. π C. π D. 4 5 7 2 答案: D [数形结合,画出图象,可知集合 B 表示的是一个圆面,集合 A 表示的图形 在圆(x-1)2+(y-1)2=1 内的部分正好是圆面积的一半,因此 A∩B 所表示的平面图形的面 π 积是 ,选 D.] 2 x2 y2 3a 2.设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 上一点,△ a b 2 F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 1 A. 2 2 3 4 B. C. D. 3 4 5 ). ). 3 3 ? 答案:C [由题意可得|PF2|=|F1F2|,∴2? ?2a-c?=2c,∴3a=4c,∴e=4.] x-y≤10, ? ? 3.设变量 x,y 满足?0≤x+y≤20, ? ?0≤y≤15, A.20 B.35 C.45 D.55 答案:D 则 2x+3y 的最大值为( ). [根据不等式组确定平面区域,再平移目标函数求最大值.作出不等式组对 2 应的平面区域(如图所示),平移直线 y=- x,易知直线经过可行域上的点 A(5,15)时,2x+ 3 3y 取得最大值 55,故选择 D.] 25 4.过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|= ,|AF|<|BF|, 12 则|AF|=________. 1? 解析 设过抛物线焦点的直线为 y=k? ?x-2?, y =2x, ? ? 1 联立得? 整理得 k2x2-(k2+2)x+ k2=0, 1? ? 4 ? ?y=k?x-2?, k2+2 1 x1+x2= 2 ,x1x2= . k 4 k2+2 25 1 |AB|=x1+x2+1= 2 +1= , 得 k2=24 代入 k2x2-(k2+2)x+ k2=0 得 12x2-13x+3 k 12 4 1 3 1 5 =0,解之得 x1= ,x2= ,又|AF|<|BF|,故|AF|=x1+ = . 3 4 2 6 答案 5 6 2 1.函数的主干知识、函数的综合应用以及函数与方程思想的考查一直是高考的重点内 容之一.高考试题中,既有灵活多变的客观性小题,又有一定能力要求的主观性大题,难度 有易有难,可以说是贯穿了数学高考整份试卷,高考中所占比重比较大. 2.数形结合思想的考查常以数学概念、数学式的几何意义、函数图象、解析几何等为 载体,多数以选择题、填空题出现,难度中等. (1)对于函数与方程思想,在解题中要善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式 和妙用函数与方程的相互转化的关系是应用函数与方程思想解题的关键. (2)在运用数形结合思想分析问题时,要注意三点:①理解一些概念与运算法则的几何 意义以及曲线的代数特征,对题目中的条件和结论既分析其几何意义,又分析其代数意义; ②恰当设参、合理用参,建立关系,由形思数,以数想形,做好数形转化;③确定参数的取 值范围,参数的范围决定图形的范围. 必备知识 ?函数与方程思想 (1)函数思想就是用运动和变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,并通过函 数形式建立函数关系,然后利用函数有关的知识(定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、 周期性、对称性、图象、导数)使问题得以解决.函数思想贯穿于高中数学教学的始终,不 仅在函数各章的学习,而且在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时也起着十分 重要的作用. (2)方程的思想,是分析数学问题中变量间的等量关系,从而建立方程或方程组,通过 解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.在实际问题的 解决过程中,函数、方程、不等式等常常互相转化.因此,函数与方程的思想是高考考查的 重点知识. ?数形结合思想 (1)数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问 题的一种重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化, 抽象 问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学规 律性与灵活性的有机结合. (2)数形结合的思想方法应用广泛,如解方程、不等式问题,求函数的值域、最值问题、 三角函数问题,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推 理,大大简化了解题过程. 必备方法 1.在高中数学的各个部分,都有一些公式和定理,这些公式和定理本身就是方程,如 等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等,当试题与这些问题有关时,就需 要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量. 2.函数与不等式也可以相互转化,对于函数 y=f(x),当 y>0 时,就转化为不等式 f(x) >0,借助于函数图象与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式. 3.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、 复数的几何意义等都实现以形助数的途径, 当试题中涉及这些问题的数量关系时, 我们可以 通过形分析这些数量关系,达到解题的目的. 构造函数、利用函数性质解决有 关问题 [来源:学#科#网] 函数思想, 不仅是利用函数的方法来研究解决有关函数问题, 更重要的是运用函数的观 点去分析、解决问题,它的精髓是通过建立函数关系或构造函数,再运用函数的图象和性质 去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决. 【例 1】设 f(x)=ln(x+1)+ 3 线 y= x 在(0,0)点相切. 2 (1)求 a,b 的值; (2)证明:当 0<x<2 时,f(x)< [审题视点] 9x . x+6 x+1+ax+b(a,b∈R,a,b 为常数),曲线 y=

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