江苏省宿迁市高中数学第章推理与证明第课时数学归纳法导学案无答案苏教版选修222


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第 7 课时 数学归纳法(2)

【教学目标】会用数学归纳法证明有关正整数 n 的整除、不等式、数列等问题. 【自主学习】
一般地,证明一个与自然数 n 有关的命题 P(n),有如下步骤:

(1)证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立;

(2)假设当 n=k(

)时命题成立,证明当

时命题也成立 ,综合

(1)(2),对一切自然数 n(n≥ n0 ),命题 P(n)都成立.
【合作探究】

例 1 设 n ? N* , f (n) ? 5n ? 2 ? 3n?1 ?1 .

(1)当 n ? 1,2,3,4 ,计算 f (n) 的值;

(2)你对 f (n) 的值有何猜想?用数学归纳法证明你的猜想.

例 2 在平面上画 n 条直线,且任何两条直线都相交,其中任何 3 条直线不共点,问:这 n 条直线将平面分成多少个部分?
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例 3 数列{an}满足 Sn=2n-an(n∈N*). (1)计算 a1,a2, a3,a4,并由此猜想通项公式 an; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.
【回顾反思】1.用数学归纳法证明不等式的关键是由 n=k 时成立得 n=k+1 时成立,主要 方法有:①放缩法;②利用基本不等式;③作差比较法等. 2.解决数列问题“归纳—猜想—证明”题的关键环节: (1)准确计算出前若干具体项,这是归纳、猜想的基础. (2)通过观察、分析、比较、联想,猜想出一般结论. (3)用数学归纳法证明之. 【学以致用】 1.三个连续自然数的立方和能被 9 整除.
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2.设 n ? N* , n ? 1, 求证:1? 1 ? 1 ??? ? 1 ? n

23

n

3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=a2n+a1n-1,且 an>0,n∈N*. (1)求 a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式;(2)证明通项公式的正确性.

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