高二数学 三垂线定理 ppt_图文


三垂线定理
P A o

a

α

三、三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这

个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜 线垂直。 PA⊥α ① ? PA⊥a ② a⊥平面PAO ③ a α ? a⊥PO AO⊥a ? PO 平面PAO
P
a α
① 线面垂直 性质

A

o



线线垂直

线面垂直 性质 判定定理

线线垂直

理解、深化: P ⒈为什么称为“三垂线”定理?
三种垂直关系: ①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直 即:直线PA⊥平面α, 射影AO⊥a,斜线PO⊥a。
α A o

a

⒉这个定理的实质是什么?
三垂线定理实质是空间两条直线垂直的判定,把

空间垂直转化为相交垂直。起到“降维”的作用



3 .如果将定理中“在平面内”
的条件去掉,结论仍然成立吗?
例如:当 a⊥? 时, a⊥c 但 a不垂直于b 直线a 在一定要在平面内, 如果 a 不在平面内, α 定理就不成立。
a

b c

四、定理应用
例1 如图;PA⊥面ABC,AB是圆O的直径。 C 是圆 O 上的任一点(异于 A.B 两点 ). 则图中 直角三角形的个数是( ) D A 1个 B 2个 P C 3个 D 4个

A
C

B

思 考

三垂线定理解题的关键:找三垂!

怎么找?
一找直线和平面垂直 二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直 P

α

A

O

a

注意:由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件

思维发散题组
例2 利用三垂线定理证明下列各题:

(1) PA⊥正方形ABCD所在平面,O为对角线BD的中点 求证:PO⊥BD,PC⊥BD (2) 已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,M是BC的中点, 求证:BC⊥AM (3) 在正方体AC1中,求证:A1C⊥B1D1,A1C⊥BC1 D1 P P C
1

A

A1 D

A (2) M
B

C A

B1 D
(3) C

O B (1) C

B

(1) PA⊥正方形ABCD所在平

P A B D

面,O为对角线BD的中点,
求证:PO⊥BD,PC⊥BD 证明: ∵ABCD为正方形

O

O为BD的中点
∴ AO⊥BD 又AO是PO在ABCD上的射影

C

??

PO⊥BD

同理,AC⊥BD

AC是PC在ABCD上的射影

??

PC⊥BD

(2) 已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,
M是BC的中点, 求证:BC⊥AM 证明: ∵ PB=PC M是BC的中点

P

C

A
M B ?? BC⊥AM

?? PM ⊥BC
∵PA⊥平面PBC
∴PM是AM在平面PBC上的射影

D1 (3) 在正方体AC1中,

C1
B1

求证:A1C⊥BC1 , A1C⊥B1D1
证明: ∵在正方体AC1中 A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C

A1

D
A B

C

∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影

C1
B1 C B

由三垂线定理知
A1C⊥BC1

A1

同理可证, A1C⊥B1D1

我们要学会从纷繁的空间图形中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件
P A O

解 题 反 思

α
A1

A

O

a

α
P

a

P

B1

C1 A M B C

C B

使用三垂线定理还应注意些什么?

解 题 反 思

三垂线定理是平面
的一条斜线与平面内的 直线垂直的判定定理, 这两条直线可以是: ①相交直线 ②异面直线 P

α

e d c A

O b

a

五、小



三垂线定理:在平面内的一条直线,如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也 和这条斜线垂直。 1°定理中四条线均针对同一平面而言 2°应用定理关键是找“基准面”这个参照系 3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”

七、作业: (1)必做题:P24 2 (2)选做题:
在四面体ABCD中,已知AB⊥CD,AC⊥BD 求证:AD⊥BC


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